CHAPITRE I. — MOUVEHBNT SIMPLE d'uN POINT

l'on composera toutes ces droites : la résultante est la normale cherchée.

Cette solution, qu'il est très simple d'obtenir directement en employant la formule

se trouve dans V Analyse des infiniment petits (^).

Application à l'hyperbole. — Dans ce cas, les courbes (A') sont au nombre de deux et se réduisant chacune à un point ifig. 35). On a

d'où

dr ' dri

Deuxième formule : Expression du rapport de deux arcs infiniment petits, — Considérons toujours un déplacement infiniment petit de la droite OM {fig. 29) et désignons par dsy ds' les arcs décrits par les points M et M' sur deux courbes données quelconques.

On a

ds = MN de.

ds'=:M'Wde;

ds __ MN

^^^ ■ ds''~ WW'

Application. — Soit un triangle M M' M'' i/^g* 36), variable de forme et de position suivant une loi quelconque; on donne V enveloppe de chacun de ses côtés et les courbes décrites par les sommets M, M' : on demande la normale au lieu du troisième sommet W.

Soient ds, ds', ds" les arcs décrits par les points M, M', M''; MB, M'B' les normales aux courbes (M) et (M') ; enfin M'^B" la

(') Section II, Proposition X. Le marquis de l'Hôpital cite Tchirnhaus et Fatio comme ayant résolu avant lui des cas particuliers de cette question.

normale demandée. On a, en menant les normales aux courbes

ds^MB^ ds' M B^ ds" M'B'

ds'^m'A'' d^~M'A"' ds ~ M\'

En multipliant ces relations membre à membre, il vient

MB.M^B .M B^

^■~MAJrA'.M''A^ ^ ■''

équation d'où Ton tire le rapport

ivrB''

On est ramené à un problème de Géométrie élémentaire,

lequel consiste à mener par un point M" une droite qui soit

coupée par deux autres droites dans un rapport déterminé.

ds Formule de Newton. — Newton a donné du rapport -r^ une

expression qu'on ramènerait aisément à la forme (2).

Menons les tangentes MA, M'A {fig. 87) et considérons la position inûniment voisine de la droite mobile comme une transversale coupant les trois côtés du triangle AMM'. En écrivant que le produit de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres, il vient

OW .kW .dszzzOU.k^.ds',

d'où

, , . , ds OM.AM

Cette formule résout immédiatement le problème suivant :

Une droite mobile détache d'une courbe donnée un arc constant : trouver le point où cette droite touche son enveloppe.

Pour exprimer que Tare intercepté est constant, il suffit d'écrire que les chemins infiniment petits dsj ds\ parcourus respectivement par les points M et M', sont égaux.

( ' ) Cette relation est vraie pour un polygone variable d'un nombre quelconque de côtés. Elle se trouve dans la Statique de Mobius pour le cas seulement où les côtés du polygone sont de grandeur constante.