CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE D UN POINT. Ol
§ IV. — De l'accélération dans les mouvements simultanés.
Nous avons réduit Tétude d'un mouvement curviligne quelconque à celle de trois mouvements rectilignes simultanés, et nous avons donné sous une forme élégante les relations de grandeur et de direction qui existent entre la vitesse
ds propre du mobile -r et les vitesses de ses projections sur
, dx dy dz trois axes coordonnés -j-y -j-y -i--
at at at
Cherchons de même les lois qui régissent les accélérations
de ces divers mouvements, a savoir -r^, -rrr^ —fr^ —rz '
dt^ dt* dt^ dt^
Étudions d'abord le cas d'une trajectoire rectiligne.
Mouvement rectiligne.
Soient {fig* 43) MD la trajectoire, kxy ky^ kz trois axes que nous supposerons, pour fixer les idées, rectangulaires. De l'équation
(l) ç^^rrzç^COSa,
a étant constant, on déduit
dvx dv
c'est-à-dire, en désignant par j^ et par j l'accélération de la projection et l'accélération du mobile lui-même,
(2) yx=ycosa,
équation de même forme que l'équation (i).
Ainsi, dans le cas du mouvement rectiligne, tous les résultats qui sont relatifs aux projections des vitesses s'appliquent aux accélérations, et nous pouvons énoncer, relativement à la projection orthogonale ou oblique du mouvement rectiligne, le théorème général suivant :
Théorème I. — Dans le mouvement rectiligne, la résultante des vitesses des trois projections du point mobile est dirigée suivant la trajectoire de ce mobile et égale à sa vitesse v;
62 PREHIÈRF SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.
la résultante des accélérations des projections est aussi dirigée suivant la trajectoire rectiligne : elle a pour valeur -=-•
En supposant toujours le mouvement rectiligne, on trouverait des relations projectives du même genre entre les dérivées du troisième, du quatrième ordre, etc., si Ton voulait
s'en occuper.
Mouvement curviligne.
Les théorèmes relatifs aux vitesses s'appliquent à une trajectoire curviligne aussi bien qu'à une trajectoire rectiligne; en effet, tant qu'on s'occupe seulement de deux points infiniment voisins, il est permis de remplacer une courbe quelconque par sa tangente.
Au contraire, la courbure de la trajectoire intervient nécessairement dans les questions qui se rapportent aux accélérations, questions dans lesquelles on doit considérer sur la trajectoire, non plus deux, mais trois points infiniment voisins, deux éléments consécutifs.
En effet, dans le cas où la trajectoire MM' est une ligne courbe [Jig, 44), Tangle a n'est pas constant, et la différentiation de l'équation (i) produit
. o X • • d' cos a (3) y^zziy cosa-hf^ ^p--
L'équalion ( i ) cesse donc d'avoir lieu, et l'accélération de la projection n'est pas la projection de l'accélération du mobile;
ou, si l'on veut, la résultante des quantités ya:,yV»y^> ^^^s le mouvement curviligne, n'est pas dirigée suivant la tangente à
la trajectoire; elle n'a pas pour valeur ^•
On est ainsi averti de l'existence d'un nouvel élément, qui dépend, on ne saurait en douter, de la courbure de la trajectoire du mobile : c'est en cherchant, par une étude approfondie, à apprécier l'influence de cette courbure, que nous arriverons à donner la relation géométrique qui existe entre les éléments du second ordre différentiel, dans les divers mouvements simultanés qui nous occupent.
Mais auparavant faisons une application de ce qui est déjà acquis, afin de bien éclaircir toutes ces notions primordiales.
