CHAPITRE lï. — MOUVEMENT RELATIF D*UN POINT

A la simple inspection de la figure, et quel que soit Tintervalle t' — t^ on reconnaît que :

Théorème I. — La corde du chemin réellement parcouru dans un temps quelconque est la résultante (^) de la corde du déplacement relatif et de celle du chemin suivi par le point lié aux axes y qui coïncidait avec le point mobile à l'instant initial.

Parallélogramme des vitesses, — Imaginons maintenant que l'intervalle t' — t tende indéfiniment vers zéro : les cordes tendront de plus en plus à se confondre avec leurs arcs, et à la limite elles auront pour valeurs respectivement

r dt^ Vj. dt, Vc dt,

si Ton se reporte à la définition de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. En inême temps la figure MNN'M' a pour limite un parallélogramme, et nous venons de voir que les côtés infiniment petits et la diagonale de ce parallélogramme sont proportionnels aux vitesses Vr, Ve, v. Si donc sur la vitesse relative et la vitesse d'entraînement on construit un parallélogramme semblable à celui-ci {Jig'. 62), la diagonale de ce parallélogramme représentera, en grandeur et en direction, la vitesse absolue du mobile.

Donc :

Théorème II. — La vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.

Cette proposition est connue sous le nom de parallélogramme des vitesses.

On peut observer que, si les vitesses Ve, Vr changeaient de rôle, c'est-à-dire si la première élait une vitesse relative et la deuxième une vitesse d'entraînement, la construction qui donne la vitesse absolue conduirait à un résultat parfaitement identique au précédent. Dans ce sens, on confond souvent les deux vitesses Ve, Vyy sous le nom de composantes de la vitesse absolue : c'est là une chose parfaitement indifférente,

(') On sait ce que nous entendons par une droite résultante de deux autres.

au point de vue géométrique. Au point de vue de la réalité des choses, il faut bien remarquer que l'une des composantes est la vitesse du mobile, observée d'une certaine manière, el que l'autre est une vitesse d'entraînement qui n'a aucun rapport nécessaire avec le mouvement de ce mobile.

Si l'on se proposait de trouver la vitesse relative, les données étant la vitesse absolue et la vitesse d'entraînement, on aurait à construire un côté d'un parallélogramme, connaissant la diagonale et le deuxième côté. On peut aussi considérer le côté inconnu MV,. {Jig. 63) comme la diagonale du parallélogramme MVV;.Vé, ce qui conduit au théorème suivant :

Théorème III. — La vitesse relative est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse d'entratnement prise en sens contraire.

Problème général de la composition des vitesses,

La règle que nous venons de démontrer pour un mouvement, composé de deux mouvements donnés seulement, s'étend sans difficulté au cas où les mouvements composants sont en nombre quelconque.

Dans ce cas, la vitesse MB {fig» 64), fournie par la composition de Ve et de t^,,, doit être considérée comme une deuxième vitesse relative v'^^ ; en la composant avec la deuxième vitesse d'entraînement, on aura une nouvelle résultante MC, et l'on continuerait ainsi tant qu'on aurait de nouvelles vitesses à composer. La vitesse absolue est la ligne qui ferme le polygone de toutes les vitesses composantes : c'est leur résultante^ dans le sens géométrique du mot. On a donc le théorème général :

Théorème IV. — Quel que soit le nombre des mouvements à composer, la vitesse absolue est la résultante de toutes les vitesses correspondantes.

Ce théorème est indépendant de l'ordre dans lequel on considère les vitesses composantes. Il permet de déterminer la direction et la grandeur de la vitesse absolue : soit géométriquement, en construisant le polygone des vitesses, soit ana-