CHAPITRE II. — MOUVEMENT RELATIF D*UN POINT

On a ainsi la trajectoire absolue, ainsi que la loi du mouvement sur cette trajectoire, c'est-à-dire que Ton connaît d'une manière complète le mouvement absolu, par le moyen des deux mouvements composants.

Analytiquement, le problème de la composition et de la décomposition des mouvements est une pure question de transformation de coordonnées.

Soient^', t]', C les coordonnées de l'origine des axes mobiles; désignons par a, a', a"; b, b', b" ; c, c\ c" les cosinus des angles formés par ces axes mobiles avec les axes fixes; c'est-à-dire posons

a r= cos cT, ^, a'-— cosj, ^, a" ■=. cos z^ 5,

è7=:C0S^,YÎ, 6':=:: COSJ,YÎ, 6'^ =: COS^, Yî,

C=:COS.r,C, c'=:C0S7,Ç, c"i=:cos>c,Ç;

enfin soient x, j, z les coordonnées relatives du point dont nous étudions le mouvement. Les formules générales de transformation donnent les valeurs suivantes pour les coordonnées du même point par rapport aux axes fixes

'^■:^l^ ^ ax -\- a! y -\- a" z^ nz=ir\' -^ bx ^ b'y + b" z,

Ç ri:^ Ç' --h C^ 4- c' y -h c" Z.

En différentiant ces équations une première, puis une seconde fois, on trouverait les relations qui existent, d'abord entre les vitesses, puis entre les accélérations des divers mouvements considérés.

Ce sont ces relations que nous allons établir géométriquement dans les deux paragraphes suivants.

Composition d'un nombre quelconque de mouvements, — Il est aisé de comprendre qu'on peut avoir à composer non pas seulement deux, mais un nombre quelconque de mouvements.

Un point se meut sur un bateau, le bateau se meut à la surface de la Terre, la Terre tourne autour de la ligne des pôles; enfin cet axe du monde lui-même se transporte aux divers points de l'orbite elliptique que décrit notre globe autour du Soleil. Le mouvement absolu du point doit être considéré comme composé de tous ces divers mouvements; et l'on peut

effectuer cette composition de proche en proche, au moyen des principes que nous venons de poser, absolument comme s'il n'y avait que deux mouvements.

Le mouvement du point sur le bateau est un mouvement relatif: en considérant le mouvement du bateau par rapport à la Terre comme un mouvement d'entraînement, et composant ces deux mouvements, on trouvera le mouvement du point mobile par rapport à la Terre.

Le mouvement qu'on obtient par cette composition est encore un mouvement relatif, puisque la Terre n'est pas en repos, et la rotation diurne autour de la ligne des pôles est un nouveau mouvement d'entraînement, par rapport au mouvement que nous venons de déterminer : la composition de ces deux derniers mouvements donnera le mouvement du point mobile par rapport à des axes de direction constante, passant par le centre de la Terre, et ainsi de suite.

§ VL — Composition des vitesses.

Bornons-nous d'abord au cas de deux mouvements composants. La vitesse absolue d'un point, à chaque instant ^, peut se déduire par une construction très simple de la vitesse relative du même point et de la vitesse dite à' entraînement ^ c'est-à-dire de la vitesse d'un point qui coïnciderait avec le point mobile M à l'époque t et qui resterait ensuite invariablement lié aux axes mobiles.

Soient M {fig- 6i) la position du mobile à l'époque t, AB sa trajectoire relative. Au bout du temps t' cette trajectoire, par l'effet du mouvement des axes, s'est trouvée transportée en A'B', les divers points M, N, P, . . . venant en M^ N', P',

Si le point M n'avait pas de mouvement relatif, il serait en M' au bout du temps t'; mais on sait qu'il se déplace sur sa trajectoire relative et qu'au lieu de se trouver en M' il occupe la position N' à l'époque t'. Il suit de là que :

M'N' est le déplacement relatif du point mobile ; MN' est son déplacement absolu;

MM' est le déplacement du point du système de comparaison qui coïncidait avec M, à l'époque t.