CD1PITRB III. — FROTTEMENT ET VISCOSITÉ DES LIQUIDES
figure par CD, CD' seront sur une autre surface voisine dont v.d el c' d' représentent deux arêtes. Ainsi tout le système
Fi n . n5.
des points matériels considéré sera finalement compris entre le plan ab et la surface cd, c' d'. Ceu\ de ces points qui, au dernier instant, se trouveront entre ab el CD, CD' auront, en vertu de la permanence, les mêmes masses et les mêmes vitesses que ceux qui j étaient d'abord.
Cela posé, appliquons à toute la masse liquide que nous venons de définir le théorème de la quantité de mouvement, en prenant pour axe de projection la perpendiculaire OX au plan YZ.
D'après le raisonnement que nous avons déjà fait bien des fois, il n'y a pas à s'occuper de la partie géométrique commune au volume initial et au volume final. De plus, les vitesses entre CD, cd, CD', t'A' étant perpendiculaires à OX, la quantité de mouvement du liquide correspondant n'entrera pas dans notre équation. Nous aurons donc seulement à tenir compte du liquide AB, ab, dont la masse est
et dont la vitesse a pour projection
3^8 HÏDBAULIQCE.
en désignant par g l'angle de la vitesse v avec le plan YZ, angle qui ne se projette pas en vraie grandeur dans la ligure.
La quantité de mouvement que nous venons de calculer se rapportant à l'étal initial du liquide, il faut changer son signe pour la faire figurer au premier membre de noire équation ordinaire. Comme il n'y a d'ailleurs rien autre chose à écrire, ce premier membre est simplement
Passons aux termes qui y représentent les projections des impulsions des forces extérieures. Les réactions du plan sont' de deux natures, tangentielles et normales. Nous ne nous occuperons pas des premières, qui n'onl pas de projections sur l'axe que nous avons choisi, cl nous désignerons par F la somme des réactions normales, en faisant abstraction de la pression atmosphérique. L'impulsion projetée de celle force est
Fdl,
La pression atmosphérique ne doit pas entrer en ligne de compte, car nous avons vu que, sur un corps limité de toute part, la somme algébrique des projections sur un axe quelconque est nulle.
Enfin il ne reste plus qu'à tenir compte de l'impulsion du poids du liquide que nous considérons, soil
— Vsiuadt.
On a donc, en supprimant le facteur di,
= Û(*sina=F -Psina, H
d'où
F = Psina -t-flii -sin S.
ff
La partie Psina dépendant de l'action de la pesanteur est la pression qu'exercerait le système solide DCA B CD' reposant sur le plan YZ. L'autre partie de la pression F est égale au poids d'un cylindre liquide qui aurait pour base la section
CIUP1TBB III. — FROTTEMENT ET VISCOSITfi DES LIQUIDES.
droite 12 du courant AB, ei pour longueur le double de In hauteur — due à la vitesse v, les arêtes faisant avec la base du cylindre l'angle |3 que !a direction du courant, prise au point où sa vitesse est v, faii avec le plan qu'il rencontre. On peut aussi mettre celle partie de F sous la forme
n 0 («!»£*, si» p ff
et dire que c'est le poids d'un cylindre du liquide, ayant pour base la section oblique faite au point A dans la veine supposée cylindrique par un plan parallèle au plan VZ et pour hauteur le double de la hauteur due à la vitesse i> sin |3, projection rectangulaire de v sur OX.
Si le plan rencontré était peu étendu, les vitesses du liquide au delà de ce plan feraient des angles obtus avec OX, et la force F serait diminuée, parce que la quantité de mouvement projetée finale serait algébriquement plus petite que dans le cas précédent. Il en serait de même si au lieu du plan on avait une surface convexe. Par la raison contraire, si, au moyen de rebords adaptés au plan pressé par le liquide, on obligeait le courant à le quitter en faisant des angles aigus avec la normale OX, ou si l'on faisait arriver le liquide'sur une surface concave, la pression F serait plus grande. On peut ainsi augmenter la force d'une roue hydraulique, en garnissant de liteaux les côtés des palettes qui reçoivent le choc de l'eau.
Aux premiers instants de la rencontre du plan parle fluide, avant que le régime permanent soit établi, la pression esl beaucoup plus grande, parce que les valeurs absolues des vitesses dans l'espace a&D'C'CD diminuent très-rapidement.
Si le plan, au lieu d'êlre fixe, était mobile, tout ce que nous venons de dire subsisterait □ la condition de remplacer la vitesse absolue v par la vitesse relative.
Résistance d'un fluide au mouvement d'un solide.
L'expérience a constaté que si, dans un courant de grandes dimensions transversales, on plonge un corps solide, la résultante des pressions horizontales que celui-ci reçoit du liquide
38o HVDfllOLIOUE.
en mouvement est, à peu près pour un même corps, proportionnelle au carré de la vitesse relative- En soumettant à cotte expérience une plaque mince, puis un cube, puis un prisme d'une longueur triple, Dubual a reconnu :
i° Que la pression sur la face opposée au courant est plus grande que la pression hydrostatique;
3° Que la pression sur la face d'aval où a lieu un remous est au contraire plus petite;
3" Que la résultante de ces deux forces peut Être représentée par la formule
dans laquelle II est le poids de l'unité de volume du liquide, A l'aire de la section transversale du corps; c la vitesse relative du liquide; K un coefficient qdi est, suivant Dubuat, i ,43 pour la plaque mince, 1,17 pour le cube et 1,10 pour le prisme. Si les plans antérieur et postérieur sont remplacés par des surfaces convexes, le coefficient K diminue.
La résistance de l'air suit des lois analogues. Pour un train composé de n wagons, A étant toujours la surface de front en mètres carrés, v la vitesse en mètres par seconde, on admet l'expression
Corps flottants. — Si l'on appelle A la section droite de la partie plongée d'un prisme, la formule de la résistance est, d'après l'expérience, la même que dans le cas précédent. Si le prisme est terminé reclangulairemcm et que sa longueur soit de trois à six fois sjfi, on a environ K=i,io.
Avec une poupe suffisamment aiguë, on peut avoir K = 1 ,00.
Si l'on ajoute à un bateau prismatique une proue formée, soil de deux plans verticaux d'une saillie égale à la largeur du bateau, soit d'une surface cylindrique verticale à base demi-circulaire, on a à peu près
