CHIP. 11. — MOU V KM EST DES SYSTÈMES BATÊMELS QUELCONQUES

Nous ne nous arrêterons pas à parler des autres problèmes Je Dynamique, qui ont exercé, après celui du centre d'oscillation, la sagacité des ^i'-iniuïtres des doux derniers siècles, avant que l'art de traiter ces problèmes fût réduit à des règles fixes.

Pour résoudre ces questions, que Bernoulli, Clairaul, Euler se proposaient entre eux, on faisait usage de divers principes, parmi lesquels se dislingue surtout celui des forces vives, dû à Huygens. Ce principe si simple et si général a en même temps un caractère d'individualité séduisant, car il a été trouvé dès le début par son inventeur, el nous l'avons exposé dans cet Ouvrage avant d'avoir fait la Dynamique proprement dite; mais il a l'inconvénient de ne donner qu'une seule équation. Il suffit, nous l'avons vu, pour la solution des questions de mouvement dans le cas des systèmes à liaison complète, c'est-à-dire de la presque totalité des machines. Dans le cas général, son utilité est beaucoup restreinte. Nous avons vu d'ailleurs que l'équation unique fournie par le principe des forces vives a une grande importance au point de vue pratique, puisqu'elle fait connaître le travail développé par les forces, indépendamment des circonstances accessoires du mouvement.

Le Traité de Dynamique de d'Alemberl, qui parut en t j4^> mit fin à ces espèces de défis, en offrant une méthode directe el générale pour résoudre, ou du moins pour mettre en équation tous les problèmes de Dynamique que l'on peut imaginer. Celle méthode réduit toutes les lois du mouvement des corps à celles de leur équilibre, et ramone ainsi la Dynamique à la Statique. Le principe de d'Alemberl (*) ne fournit pas immédiatement les équations nécessaires pour In solution des problèmes de Dynamique, mais il apprend à les déduire des conditions de l'équilibre.

Or Lagrange a réduit toute ia Statique à une formule générale qui donne les lois de l'équilibre de tous les systèmes de

(*) I] cil inutile <lo racler quo nona n'avons pas ici de nouveau principe proprement du. LS principe <!e d'Alemberl est pour nous un théorème comme celui iirs vitrâtes wrluplles; cependant on applique mal|;ré soi le nom de principe! il cm jiru|i(isïliuns si riipitiles, qu'on ne peut se nsmulie il les confondre sous une appellation unique avec tous les théorèmes |iarticuliuri.

64 BTNUtlQDE.

corps tLn-s par Uni de forces qu'on voudra. On pourra (ion c iiussi réduire à une formule générale loute la Dynamique,

Considérons chaque point m de noiro système matériel

Uireeiemenl appliquée, et de In force intérieure, qui résulte îles al lions exercées sur lui par les autres points du système; on pourrn regarder ce point comme isolé et lui appliquer la théorie du mouvement d'un point libre. L'accélération totale du mouvement du point m a la même direction que la résultante des fori'i's qui ugissi'ut sur lui, ci la grandeur de celle accélération est telle, qu'en la multipliant par la masse du point, on obtient un produit égal à ta résultante dont il vient d'être question.

Or, si l'on se reporte à la définition de la force d'inertie d'un point, on voil que, si l'on ajoutait la force d'inertie du point m aux forces de toute nature qui lui sont appliquées, ce point se trouverait en équilibre, puisque la force d'inertie, que l'on joint aux forces réelles, est égale et directement opposée à la résultante de ces forces réelles.

Ce premier point élant bien établi, faisons pour chaque point matériel du système ce que nous venons de faire pour l'un d'eux, c'est-à-dire introduisons la force d'inertio de chaque [loinl, et considérons toutes ces forces fictives comme appliquées chacune au point correspondant, en même temps que la. force extérieure F, et la force intérieure provenant des liaisons mutuelles de nos divers points; il est clair que nous aurons constitué ainsi un ensemble de forces en équilibre.

Cei équilibre n d'nilleurs lieu, quelle que soit la nature du système matériel dont nous nous occupons, puisque toutes nos forces sont distribuées par groupe de trois, lesquelles se font séparément équilibre el sont appliquées à un même point matériel. Ainsi ;

TllÊORt«B. — Il y a équilibre à chaque instant entre les forces extérieures directement appliquées aux divers points d'un système quelconque en mouvement, les forces d'inertie de ces points el les furves intérieures résultant des liaisons du système matériel.

DiqilizM b/C

CnAP. 11. — ItOUVEMEST DES SYSTÈMES MATERIELS QUELCONQUES. C5

Ce qu'on peut énoncer aussi :

Étant donné un système quelconque en mouvement, il y a équilibre, en vertu de la constitution du système, entre les fbri.es réellement ngis.fttntcs { force S cxlôritMi rc^ J et les forces •/' 'inertie des divers points.

Cet énoncé cesserai! d'clre exact, si l'on supprimait les mois : en vertu de la constitution du système.

L'équilibre de nos trois espèces de forces s'exprime par l'équation des vilesses virtuelles, qui prend la forme

Cette équation a lieu, quels que soient les déplacements représentés par &)-,-, 5:r, puisqu'il résulte de notre analyse que les coefficients de ces quantités sont tous séparément

Mais nous avons vu en Statique que, toutes les fois qu'on assignait, aux divers points d'un système quelconque, des déplacements virtuels compatibles avec les liaisons de ce système, la somme des travaux virtuels de toutes les forces introduites pour tenir compte de ces liaisons était identiquement nulle, comme composée d'une série uo quantités égales deux à deux ei de signes contraires. Nous' pouvons donc écrire

à la condition de ne pas oublier que, dans cette nouvelle forme de l'équation, les déplacements ôxi, o/,, 3s, ne sont plus quelconques, niais essentiellement compatibles avec les liaisons du système.

Tel est le fameux théorème de d'Alembert, au moyen duquel toute question de mouvement se ramène immédiatement à une question d'équilibre.

Quand il s'agit d'un point matériel libre ou d'un système de points matériels isolés pouvant se mouvoir les uns par rapport aux autres d'une manière quelconque sous l'action dus forces qui leur sont directement appliquées, le théorème de d'Alembert n'est d'aucune utilité. En effet, que l'on veuille appliquer ee théorème ou poser à la manière ordinaire les équa-

Il I -i m m ■ 1 il- I pi I ■ i.p- '■■ i. . » .1 m,

ta niasse d'un des points; les déplacements ô.r,-, ày it is, étant tous arbitraires, l'équation (?) ne peut avoir lieu qu'autant que les coefficients des indéterminées sont tous nuls séparément. On doit donc avoir dans ce cas

v iPx,

or ces équations sont précisément les équations ordinaires du mouvement.

Mais quand on imagine des liaisons quelconques, un certain nombre de coordonnées des points du système ne sont plus arbitraires, et nous allons voir que le théorème de d'Alembert donne toujours juste autant d'équations qu'il en faut pour déterminer celles qui restent, différant par là du principe des forces vives, qui ne donne jamais qu'une seule équation, quel que soit le système auquel on l'applique.

Supposons qu'il y ait n points dans le système, cl k équations de condition entre les coordonnées de ces points. 11 n'y aura que 3n — k coordonnées arbitraires, et, parsuite, il faudra trouver 3n — k équations. Soient

fi{x„ jv, z,,

les équations de condition. Pour que le déplacement du système soit compatible avec les liaisons existantes nu moment •

considéré, ii faut que les variations àr ( , 5>v, âîi soienl telles qu'en remplaçante,^,,!, par ,r, + ôx,, j-, + <y-,, z,-+-âs<, et laissant f constant dans k's i'-i; u;itions précédentes, ces équations soient encore vérifiées. Or ceci c\ige qu'on ait

le signe S s'élcndanl à tous les points matériels du système. On a ainsi h équations, desquelles on peut tirer les valeurs

leurs dans l'équation générale, il ne reste plus que 3n — coefficients à annuler, ce qui donne précisément les 3k — /<' équations dont on a besoin.

Lagrange a présenté celte élimination d'une manière tout ù

fjii C' ii'.-f-il-' < l ■ tl« iii.m-nl ■ 1. 1 .iii. , J. in I . .|i ii,

plèle est en deliors du plan de cet ouvrage. Supposons que l'on ail profité des équations île Maison pour exprimer les 3« coordonnées inconnues en fonction de 3k — h variables quelconques

q» fM-fc

Les quantités q sont dès lors absolument indépendantes, comme les coordonnées d'un système de points libres, ei les formules do Lagrange donnent immédiatement les équations différentielles auxquelles ces nouvelles variables doivent salis- Les équations de Lagrange, transformées par Poisson el par M. Hamilion, ont fourni à un grand nombre de géomètres la matière de travaux fort intéressai ils, parmi lesquels je me bornerai à mentionner les nombre uses publications de Jucobi. Ces travaux doivent être considérés comme purement analytiques; ils ont présenté sous un jour tout à fait nouveau la théorie des équations aux différences partielles du premier ordre: nouvel exemple des liens d'utilité réciproque qui existent entre la Mécanique et la haute Analyse.

C8 DT1MMIQUE.

Application du principe de d'Alembert à lu détermination dus charges dynamiques îles appuis Ct supports.

Nous avons appris, en Slalique, à. déleruiiner les efforts qui s'exercent sur 1rs appuis d'une machine en équilibre, ainsi que sur les diverses pièces de la machine elle-même. Ces efforts éprouvent des modifications considérables quand on considère lit machine il:uts l'étal de mouvement, surtout dans le cas de vitesses un peu uoLililes; el lu déterminât ion de leurs valeurs eonsLitue aujourd'hui une des parties les plus importantes de la Mécanique appliquée.

Or le principe de d'Alenihert nous donne le droit de considérer un système quelconque en mouvement comme .s'il était en éqnilibie, pourvu qu'on ajoute aux forces données et aux réactions inconnues les farces d'inertie des divers points. Les équations de la Slalique subsisteront donc, à ta condition d'y faire figurer les forces d'inertie. Ce sont les termes dépendant de ces forces qui font la différence des tensions el réactions statiques aux tensions el réactions dynamiques.

Supposons, par exemple, une corde SO alertant un poids P. Dans le cas de l'équilibre, on o, pour déterminer la tension T du la corde, l'équation

Mais si le poids est animé d'un mouvement vers le haut, dont l'accélération soit l'équation précédente ne subsiste plus : elle est remplacée par la relation

La tension est donc plus grande que dans l'équilibre.

Si au contraire -jjt est négatif, la tension devient inférieure

au poids P; elle serait nulle si = — g; ce qui doit Cire en