QUELCONQUE

Dans ce que nous appelons un système matériel quelconque, e'esl-à-din: iluns un ensemble de points matériels indépendantou liés entre eux, immobiles ou animes de mouvements arbitraires, il existe à chaque instant un point géométrique, qui jouit de propriétés tantes particulières.

Les coordonnées x„ y it z, de ce point, qu'Euler appelle centre d'inertie, et qui est plus généralement connu sous la dénomination fort impropre de centre de gravité (*), sont déterminées par les relations suivantes, qui constituent la vértial>[r définition du centre de gravité :

M désignant la masse totale (lu système, ou la somme 2m des masses partielles.

(*) l'air la deuxième l'iniio iU- cul Onvr:^-c, Slatiyat, p. 100.

5» DY!(JUMQt!l.

Diffé reniions ces équations par rapport au temps, il vient

Os relations définissent la vitesse du centre de gravité. Une deuxième différenlialion nous fera connaître Y accélération de re même point(') :

Bempiaçons les quantités qui figurent sous le signe 2 par leurs valeurs tirées des équations du mouvement

les termes qui représentent les projections des forces intérieures disparaissent dans la sommation, et les équations (3)

lm fi|.ri'v.ïmis .lu wrMc et Xaecclrtallaii awi liii'li hvilnj ,M mie jnni' fii'liiin |;i'iinicLi-i'nn3 <|ui' l'irM|<n.', ivnrinhle, les cquiilions {il uélinï.seilt un point bien ut dont la pi.tlliun .huit l'inlOi Mur de celui-ci reste

CD\r. II. — MOUVEMENT DES SYSTÈMES MATERIELS QUELCONQUES. J I

deviennent

Les équations (4 ) sont celles du mouvement d'un point de masse M, sollicité par une force dont les projections sur trois axes rectangulaires sont respectivement égales aux sommes des projections de toutes les forces du système. Or celte force n'est autre chose que celle à laquelle nous avons donné le nom de résultante de translation des forces dont les composantes sont réunies sous le signe ~. Donc :

Théorème. — Le centre de gravité d'un système de corps quelconque se meut comme un point matériel dont la masse serait égale à la masse totale des corps considérés, et auquel serait appliquée la résultante de translation des forces données (•).

]! ne faut pas s'exagérer l'importance de ce théorème dans le cas général. En effet, il arrivera bien rarement qu'on puisse déterminer directement par les équations (4) le mouvement du centre de gravité, indépendamment des mouvements individuels des points matériels du système. Il faudrait, pour cela, que les projections de la résultante de translation dépendissent uniquement du temps / cl des coordonnées x it y„ z, ; or il est évident qu'en général les quantités 2X, 2V, ZZ seront des fonctions des coordonnées de tous les points donnés, et l'intégration isolée du groupe (4) ne sera pas possible.

Mais une conséquence bien importante de notre théorème

otite Maternant dans les raison Moments destinés à eUblir lu théorèmes qui l'appliNm-nt ni corps (le ln nature. En effet, un corps Je dimensions quelconque* peut toujours itre asihuili- (au moins lliviiriijiicmtnt) à an point malèriel dem Ils coordonnées torsionl colles do ton contre île (■ravité; et tous les Ihuun'-nii", relatif» au m ou veulent il'uu peint s'appliquonl au corps ainsi ton-

',t DTSAMIQUE.

est la suivante : il est évident que les forces intérieures, qui sont deux à deux égales et directement opposées, se détruisent dès qu'on les transporte en un même point d'application. Il suit de là que le mouvement du centre de gravité ne dépend nullement des forces intérieures, et, par conséquent, qu'il n'est influencé en rien par !es changements qui peuvent se produire dans la constitution physique du système, des chocs, des explosions, dès ruptures de liens, etc., tant que ces phénomènes se passent exclusivement entre des corps que l'on considère comme faisant partie du système étudié.

Principe de la conservation du mouvement du centre de gravité.

Celte proposition importante est connue dans la science sous le nom de principe du la conservation du mouvement du centre de gravité. En effet, !e centre de gravité conserve son mouvement, quelles que soient les perturbations qui affectent les mouvements individuels des diverses parties du système, par suite de modifications survenues dans les forces intérieures, et cela jusqu'à ce qu'une nouvelle force extérieure intervienne.

En particulier, si l'on considère un système qui n'est soumis à l'action d'aucune force extérieure, le centre de gravité

veulent rectiligne cl uniforme ('). Ce point jouit donc do la propriété de Vineriie, c'est-à-dire qu'il ne peut être tiré du repos que par l'action d'une cause extérieure. Quant aux diverses parties d'un corps en repos, elles peuvent se mettre en mouvement sans l'intervention d'aucune cause située en dehors du corps; seulement on remarquera toujours ces deux choses : i" le mouvement de chaque partie individuellement sera dû à une cause extérieure à culte partie; 1° tous les mou-

Ci Nui™ système planétaire, par csi'oiplc, éljiiit ci IrO m crac 111 éloigné îles ailln-s cm-p* ccldcs, on peu! regarder 1,'S acLioiis mu ses iliicrm's parties rm-uiivi-nl île la part îles ■'■luilfs romim- iuwnsil.ks. Dis Inrs ce sysl.'iin; n'i-îl f.iumii qu'à lies forces iiiUTicur.ï, il pir ci.ii!.éipient son ccmrc île ginvihi ile.il tire immobile o'i animé il'iin moiivi'iiicill ivctili|[iie cl uniforme.

cim p. n. — soifEiBST ces naîtra xitSbiils qdblcodqcu. ;3 vemenls des divers fragments seront nécessairement combinés de tell u sorte que le centre de gravité de l'ensemble ne sorlc pas do sa pusition primitive.

11 n'est pas nécessaire, pour que le mouvement du centre de gravité soit nul ou rccliligne uniforme, que les furets extérieures soient nulles: il suffit que lo résultante de translation suit nulle, c'est-à-dire que toutes ces forces soient équivalentes à un couple situe dans un pian quelconque.

Réciproquement, considérons un corps soumis ii des ell'orls très-variés, et dont les diverses parties soient animées do mouvements quelconques, par exemple un navire, une locomotive, une cliarrue, etc.; du moment que le centre de gravité de ce corps se meut uniformément en ligne droite, nous pouvons affirmer que la résultante de translation de toutes les forces appliquées à ce corps est nulle, ou, si l'on veut, que toutes les résistances, transportées au centre de gravite, ont une résultante égale et contraire à celle des efforts moteurs.

Le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité nous donne la clef d'un grand nombre do phénomènes de l'ordre le plus varie. Nous allons en citer quelques exemples.

Recul des bouches à feu. — Un canon avec son projectile et sa charge de poudre constitue, un système immobile. Or, l'ex- |ik*i<iii de la |iinidri' ilévelnppant seulement des forces intérieures, il résulte do ce qui précède que lo canon et le boulet prennent simultanément des mouvements dirigés en sens contraires l'un de l'autre, afin que le centre de gravité de l'ensemble reste à la place qu'il occupait avant l'inflammation. S'il était permis île négliger la masse de la poudre, ou des matières dain lesquelles elle se transforme, on pourrait dire que le canon cl le boulet prennent, au moment de l'explosion, des vitesses iim'iseiuent pi'<>p<.>r(i<>mi(.-!k's \\ Ieur> niâmes. Mais les choses ne so passent pas tout à fait ainsi, à cause de la masse de la- poudre, qui n'est pas négligeable par rapport à celle du boulet : en réalité, le recul du la pièce s'clïoclue avec une vitesse un peu plus grande que celle qu'on trouverait par la règle précédente.

Ascension des fusées. — L'ascension des fusées est un phénomène do recul tout à fait analogue à celui qui vient de nous

74 DTXUIQUI.

occuper. L'inflammation progressive de la poudre qui entre dans la composition d'une fusée projette en dehors des quantités de matières de plus en plus grandes, par un orifice pratiqué à la partie inférieure du corps de la fusée; celui-ci doit

haut. L'action do la pesanteur est, à dire vrai, une cause externe qui doit influer sur le phénomène ; mais elle ne fait que diminuer la vitesse de la fusée, en faisant équilihre à une partie de la force verticale qui produit le mouvement de bas en haut.

Quand une bombe fait explosion avant d'être tombée sur le sol, le centre de gravité des divers éclats continue à parcourir la parabole suivant laquelle se mouvait le centre de gravité de la hombe entière. Ce n'est que lorsqu'un des fragments vient à rencontrer un corps étranger que le mouvement du centre de gravité do l'ensemble se modifie, parce que la réaction éprouvée par ce fragment est une nouvelle force extérieure qui vient contribuer avec la pesanteur o la production de ce mouvement. Il est clair que ceci n'est vrai qu'approximalivement, quand la bombe se meut dans l'air atmosphérique, en raison de la résistance que l'air oppose au mouvement, tant de la bombe que de ses éclats : en effet, cette résistance esl une force extérieure, elle influe, par conséquent, sur le mouvement du centre de gravité.

Des phénomènes analogues ont du se passer lorsque, suivant une bjpolhèse assez géiiériLlciiic-m admise, la planète située entre Mars cl Jupiter s'est brisée, pour nous laisser à sa place les nombreux astéroïdes qui peuplent celte région de noire système solaire. Lo cenire de gravité de tous les celais a dû conserver son mouvement elliptique. Seulement, tous ies débris subissant l'influence des planètes voisines, le mouvement du centre de gravité n'a pas tardé à se trouver plus ou moins altéré.

Marche de l'homme et des animaux. — Les êtres animés eux-mêmes sont soumis, quant à leur partie matérielle, aui lois qui régissent tout ce qui est matière, et en particulier à la loi de la conservation du mouvement du cenire de gravité.

Considérons un homme isolé au milieu de l'espace : il peut faire nvécuier un yrand nombre de mouvements aux diverses parties de son corps, et nous ne savons absolument rien du

CU.ST. II. — MOUVEMENT ItES SYSTÈMES MATERIELS QUELCONQUES. 75

mécanisme mystérieux par lequel la volonté, principe immatériel, arrive à mettre en mouvement les divers organes du corps auquel elle est liée. Mais ce que nous savons, c'est que tous ces organes constituent un système matériel et que, s'il n'y a pas de forces extérieures, le centre de gravité de ce système doit être à l'état de repos ou à celui de mouvement rmHi;;iic et uniforme. C'est là un point sur lequel la volonté n'a aucune prise, une règle à laquelle se soumettent nécessairement les mouvements de chacun des organes. La présence de l'air atmosphérique modifie d'ailleurs ces résultats, car la résistance de ce fluide pourrait, à la rigueur, être mise en jeu par des mouvements analogues à ceux de la natation, de manière ii déplacer le centre de gravité.

Éludions maintenant ce qui se passe (*) « quand un homme, debout sur le sol ei primitivement immobile, commence à marcher devant lui, cl fait ainsi passer son centre de gravité de l'étal do repos à l'état de mouvement. Pendant que cet homme est en repos, il est soumis à des forces extérieures qui sont, d'une part, les actions de la pesanteur sur loules les molécules de son corps, et, d'autre part, les pressions qu'il éprouve de la part du sol, aux différents points par lesquels il le touche - : ces forces extérieures se fout équilibre. Lorsque l'homme veut commencer à marcher et qu'il porte une jambe en avant, il ne développe que des forces intérieures qui ne peuvent pas déplacer son centre de gravité; aussi l'autre jambe tend-elle à reculer, ce qu'elle ferait si rien ne s'y opposait, de sorte que le centre de gravilé du corps tout entier n'avancerait pas. Mais la seconde jambe ne peut reculer qu'en glissant sur la surface du sol, et sa tendance au glissement développe un frottement qui s'y oppose, au moins jusqu'à une certaine limite : c'est ce frollcmcni, celte composante horizontale de la réaction du sol, qui détermine le mouvement du centre de gravilé. Tout le monde sait que, lorsqu'on est sur un sol glissant, c'est-àdire sur un sol pour lequel le coefficient du frottement est faible, sur de la glace par exemple, et qu'on porte une jambe en avant pour commencer à marcher, l'autre jambe glisse en arrière, de sorte qu'on court le risque de tomber si l'on n'y

(•) Dtumui, Traité de Mrtauiyue rationnelle. Cimion JihK.

fi DYNAMIQUE.

prend garde. Ccl effet bien connu confirme l'explication que nous venons de donner. »

Étant donné un système matériel quelconque en mouvement, le principe de d'Alembert nous apprend que les forces réelles qui sollicitent les divers points matériels considérés, jointes aux forces fictives que nous avons appelées forces d'inerlir, constituent un ensi'mbli; en équilibre sur 11 1 sv s! élite qu'on étudie; cl nous avons démontré que les équations qui expriment cet équilibre iietif sent toujours en nombre rigoureusement suffisant pour déterminer toutes les circonstances du mouvcmcni.

Parmi ces équations, ilont le nombre et la forme varient à l'infini, suivant la constitution physique du système et les liaisons qui existent entre ses diverses parties, nous savons qu'il y en a toujours six, et pas plus, qui sont générales, c'eslà-dire qui s'appliquent à tous Ifs systèmes matériels imaginables, parce qu'elles sutit indépendantes des tensions ou forces intérieures, variables a ver les conditions imposées au corps dont on étudie le mouvement.

On obtient ces six équations L;ém'-rali:s en écrivant que la somme des projections sur un axe quelconque des forces autres que les forces intérieures est nulle, et que la somme îles moments de ces mêmes forces autour d'un axe quelconque, est également nulle.

ixous prendrons pour type de < équations de projections celle qui se rapporte à l'axe Ox :

et pour type des équations de moments, celle qui est relative à l'axe Oî:

En multipliant par (// les deux membres de chacune des équations (i) et {2), cl indiquant l'intégration entre deux ii-