CO»P. II. MOUVEMENT DES SYSTÈMES MATÉRIELS QUELCONQUES

miles quelconques (, cl (, nous aurons des relations entre les projection!; et les moments des impulsions des forces extérieures, d'une part, et des quantités de mouvement des divers points du système, d'autre part.

On tire de l'équation (i)

(3) 2mo,- Zmv,*— ij F,tll;

quant à l'équation (2], si l'on remarque qu'on a

;-(-»^îf)*=-(-î-^)=«.-

elle fournira

(-Î) iDIL.mv — S.30.,mv, : S j ail.l-'rf/.

Les relations (3) et (.\) sont indépendantes dos forces intérieures : énoncées en lan^a^i 1 ordinaire, elles nous donneront deux théorèmes qui seront l'extension aux systèmes quelconques des théorèmes an a ligues relatifs ;'i la dynamique du point matériel) et il est clair qu'on les aurait obtenues en ajoutant, membre à membre, les équations qui résultent de l'application de Ci.' s théorèmes à chacun des points matériels du système, et reuiarquaiii que les forces intérieures disparaissent dans la somme. La méthode précédente a l'avantage de montrer que les six équations fournies par ces deux théorèmes sont les seules quir soient toujours indépendantes des forces intérieures, quels que soient les systèmes auxquels on on fasse l'application. ^ 1 ■ 1 ■ T

sont des grandeurs géiunéiriques, comme les vitesses et les forces auxquelles elles sont respectivement proportionnelles : or les propriétés établies eu Statique, relativement aux forces appliquées à un solide invariable, se rapportent en réalité à des droites disposées d'une manière quelconque dans l'espace, pourvu que, sur chacune de ces droites, on ait porté une certaine longueur, à laquelle soit affecté un sens parfaite ment dé- Cola posé, si l'on considère une origine fixe quelconque, et qu'on construise, relativement à celte origine [Jîg. 1 3 ) :

^8 I>T!l»BIOIjE.

i" La résultante (le translation OF, et l'ave OK du couple résultant des forées extérieures;

2° Les droites analogue? OR el OC, qui correspondent aux quantités de muiivomoui des divers points du système, traitées absolument comme les lignes qui rc prose nient les forces ( *).

Fi B . .3.

On pourra donner un énoncé ^éumétriiuic élégant des équations telles que (3) et (4),

Soient X, Y, Z; L, M, N les projections sur les trois axes de la résullanle OF et de l'axe OK : les sommes ïmv„ Zmvj ne sont autre chose que les projections de la ligne OU, résultante de translation des quantités de mouvement. Si doue on applique les équations telles que ( 3) à un élément de temps infiniment petit, et qu'on divise les deux membres par col élément dt, on aura

«KO. qui ' ' " ivMia " {i)

ThiÉoBÈBE. — Les quantités de mowrincnt finies acijaisrs par tous les points du système, pendant ttn temps très-court, forment an système de droites égalvalent ait* pircusiuuii nd-ics ;-.,r ici Joints (m).

Drj:[i;oa Dv Cl

CBiP. 11. — HOUÏEHEM DES SrSrÈBBS DATÉniELS QUELCONQUES. ;g

Ces équations veulent dire que la vitesse du poini R est représentée en grandeur et en direction par la force OF. Comme OR représente précisément la quantité de niouvement de la masse entière, concentrée au centre de gravité (*), le résultat qui précède est une conséquence évidente du théorème cil vertu duquel OF est le produit de la masse M par l'accélération totale du centre de gravité et de la définition donnée on Cinématique de l'accélération totale. Le théorème de la conservation du mouvement du centre de gravité est donc l'expression la plus simple des équations relatives aux projections des quantités do mouvement cl des impulsions.

T/iàvrèmes relatifs aux moments des qitttnltlt'i de muitvemeiit et des impulsions.

D'après les règles de la composition des roupies, la somme des moments des quantités de mouvement des points (m), par rapport à un axe quelconque, est la projection, sur cet axe, de la druilc OG; on a donc

i 2 311, m v G„ (6} l3K r mv rs G r ,

' 2311,/bc - G,.

En introduisant ces valeurs dans les équations telles que (.f ) et différen liant par rapport au temps, il vient

(" ) On conclu! de retls rcmnrquo évidente que !

TiiEouEjie. — La vilem du cintre de gravité d'an rfithnc qntlconqui eu paraltilt à ta rù*llaiu* de :rauila:«Hi da quantités de monrcmenl dis Jhen poinu du tftlime.

rt)o

hïkahiqce.

ce qui signifie que la droite OK représente en grandeur et eu direction la vitesse dont est animé, le point G. Donc :

Tnf.oRtHE I. — Aï l'on considère, pour un point fixe quelconque, l'axe du couple résultant d-s quantité;, de mouvement des divers points d'un système matériel donné, et l'axe du couple résultant des forces qui agissent sur le sj-stème, ce der-

Cc-mme les forces extérieures sont équivalentes aux forces d'inertie prises en sens contraire, on peut énoncer ce résultat

Théorème II. — L'axe du couple résultant des forces d'inertie d'un système matériel, transportées en un point fixe quelconque, est égal et directement opposé à lu vitesse de l'extrémité de l'axe du couple résultant des quantités de mouvement , transportées nu même point.

Ainsi que nous l'avons fait dans le cas d'un point libre, cherchons les cas qui présentent un intérêt spécial, par suite de certaines conditions auxquelles satisfont les forces du système.

Le premier cas que nous étudierons est celui où la somme des moments des forces extérieures autour d'un certain axe est constamment nulle. Murs, si l'un prend eel axe pour axe des ; (fig. i4), la ligne OK ne sortira pas du plan des *?-(*), le point G se mouvra parallèlement à ce plan, et \j pi.ijeetuTi de OG sur l'axe des z restera constante. Dune :

Théorème III. — Quand le plan du couple résultant des forces extérieures, considéré par rapport à un certain point 0 et pour une époque t quelconque, renferme constamment une droite fixe 0:, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à cette droite reste constante.

Théorème de la conservation des aires.

niiAP> ir. — mouvement nES Sïsrtiiv.s n.',Tf:iii]:i.s i.n n.roNQCEs. tii

On pcul introduire dans cet énoncé l;i notion des aires dé~ rriies par les projections des points [m) sur le plan iesxy.

En effet, noua avons vu que le moment do la quantité do mouvement d'un point par rapport à un ave n'est autre chose que

I I ill , ■ loi' | 1 | 'C IJ -il' :t- ■ piI

de la projection u. de ce point sur. un plan perpendiculaire à l'ave. Le théorème 111 nous apprend f|ue, dans le cas qui nous occupe, la somme des produits de ce genre, étendue à tous les points du svMème matériel considéré, reste rousLanle

Si nous désignons prirï. l'aire qui rorresponi] nu point dont la masse est m, ia vitesse aréolaire correspondante est -jji on a donc

ou en Taisant, pour abréger, A — 2 ml,

L'intégrale de cette équation est (9) 'A = Ct,

et l'on peut énoncer le théorème de la conservation des moments de la manière suivante :

Théorème. — Quand la somme des moments des forces 111. 6

82 DTXJMIQUE,

iitii'.sfint sur un système de corps quelconques est nulle par rapport ù un certain axe fixe, la somme des produits ties différents points du système par les aires que décrivent, pendant un temps quelconque i, les rayons vecteurs menés à ces pointa et projetés sur un plan perpendiculaire à l'axe, croit proportionnellement au temps t.

Tel est If théorème de la conservation îles aires.

Dans le cas plus particulier où Ni somme des moments des foires extérieures est nulle, pour ions les axes passant par un point fixe O 'le l'espace, c'est-à-dire dans le ras où toutes les forces extérieures du système regardé comme invariable ont une résiliante i|uï passe par un pnini ll\e, le théorème existe pour tous les axes passant par le point, et en particulier pour trois axes rectangulaires fixes Ox, Oy, Oz. On a ainsi trois équations

(10) À'-tfr,

Enfin, si les forces extérieures ont une résultante nulle, les é(|ualioiis données par le principe des aires auront lieu pour tous les points de l'espace (*).

La snmme des aires décrites p.tr /es différents points du système, ifr 7 rrtj.fcli.eiiicnt pur lu iu.us.-s Je-. jKiîaU ciirretpt.nj.auti, prise is un instant qticteunjue cl pendant an temps infiniment pclil, et! etinllonte.

OiliP. II. — MOUVEMENT DES SÏSTftMES HATËJUELS QUELCONQUES. 83

Application du iftéorùine tir ta conservulion dis aires.

Le théorème du la conservation des aires, joint à celui qui esl relatif à la conservation <lti centre de gravité, nous apprend quels sont les phénomènes qui, dans le mouvement d'un système quelconque, sont uniquement dépendants iK-s forces extérieures. On peut tirer de noire nouveau théorème des conséquences du même genre que celles que nous avons développées dans le paragraphe précédent.

Ainsi, l'explosion qui brise un corps, non-seulement n'a aucune action sur le mouvement du centre de gravité, mais, de plus, si ce corps est animé d'un mouvement de rotation, ce qui a lieu pour toutes les planètes connues, la somme des aires décrites par tous les éclats, multipliées parleurs masses

certaine valeur, pendant un temps déterminé. Si la température moyenne du globe vient à baisser, il éprouve une diminution de volume et chacune des aires qui figurent dans la somme A s'accroîtrait dans un temps donné d'une quantité moindre, si la vitesse angulaire du mouvement de la Terre restait constante. Celte remarque établit une relation curieuse entre la température de la Terre cl la durée du jour sidéral.

Enfin les «ires animés doivent également se soumettre aux règles qu'un déduit du principe des aires, dans les mouvements qu'ils veulent imprimer aux diverses parties de leurs corps('). a Un homme isolé d;ms l'espace, soustrait à l'action de toute force extérieure et supposé en repos, cel homme, dis-je, non-seulemenl no pourra pas déplacer son centre de gravité, mais encore il ne lui sera pus possible de donner à son corps un mouvement de rotation autour de ce point. En effet, de quelque manière qu'il fasse jouer ses muscles, i! ne peut développer que des forces intérieures; cl l'absence de loulc force e Méfie ure entraîne, connue cmiséqueuce, que la somme

( " ; DiL.ÏKiï, Traité de Mécanique rationnelle. Citation libre.

des aires décrites, en projection sur un plan quelconque passant par son centre de gravité, par les rayons vecteurs émanes de ce point, conserve constamment la même valeur. Donc celte somme d'aires doit rester constamment nulle, puisqu'elle l'était tout d'abord en vertu de l'hypothèse que nous faisons,

■1 ■ i I ■■>•■■ jp' l- mi il «.'.vil ■ i.i'i [ f ni.iii . riisrii nobil'.'.

Ainsi, lorsqu'il fuit mouvoir certaines parties de son corps de telle manière que la somme des ;iircs qui leur correspondent, en projection sur un certain plan, ait une valeur positive, il y a nécessairement d'autres paE-ties du corps qui se meuvent en même temps dans un autre sens, de manière à fournir une somme d'aires négative sur le même plan, la somme totale des aires relative à toutes les parties du corps restant égale à zéro.

» Lorsqu'un danseur, s'appnyantsur le sol par la pointe d'un seul pied, veut se donner un mouvement de rotation autour de la verticale passant par son centre de gravite, il ne peut pas

pas faire que la somme des aires décrites autour de la verticale du centre de gravité passe d'une valeur nulle à une valeur différente de zéro. Si le danseur veut pirouetter vers la gauche, la partie inférieure tend à tourner vers la droite; mais ce dernier mouvement ne pouvant se faire que par un glissement des diverses parties du pied sur le sol, il en résulte qu'il se développe un frottement en chacun des points d'appui. Or ces frottements sont des forces extérieures pour lesquelles la somme des moments par rapport à la verticale menée par le centre de gravité n'est pas nulle; de sorte que, par suite de l'action de ces forces extérieures, le corps du danseur peut prendre un mouvement de rotation autour de la verticale. Lorsqu'il a tourné un peu de celle manière, sans que son pied cesse de toucher le sol, il se soulève brusquement pour faire disparaître la torsion de son corps, et, en répétant plusieurs fols de suite la même manœuvre, il parvient à se donner un mouvement de rotation assez rapide. Si le danseur était sur un sol très-glissant, ou bien s'il ne s'appuyait sur le sol que par un seul point, il lui serait impossible de tourner sur lui-même, comme nous venons de le dire, d

CUAP. H. — MOUVEMENT DBS SYSTÈMES MVTÊniïLS QUELCONQUES. 85

Plan du maximum des aires.

Les flunniités

dA dA' dA" dl ' (/( ' dl

sont proportionnelles nux sommes des momcnls des quantités du mouvement do tous les points du système, pris à un instant donné par rapport à trois axes rectangulaires fixes; on, si l'on veut, proportionnelles aux prujeclions de la ligne OG

Écrire que ces trois projections sont constantes, c'est dire que la grandeur de l'axe du couple résultant des quantités de mouvement, ainsi que la direction du plan du couple, sont invariables pendant toute la durée du mouvement.

Ce plan du couple résultant jouit de celte propriété, que la somme des moments des quantités de mouvement est un maximum autour de la perpendiculaire à ce plan ; ou, ce qui revient au même, c'est sur ce plan que la somme des produits des masses par les projections des aires est un maximum. C'est le plua du maximum des aires.

On peut toujours déterminer, à un instant donné, les coordonnas (le ru plan il'apivs la drli n itii m pivcrilunlc, indépendamment de toute hypothèse faite sur les forces extérieures.

critc par le rayon vecteur allant de l'origine au point dont la masse est m; désignons par (/),, d/.', dl" les projections de celte aire sur les trois plans coordonnes, par du fa projection de la même aire sur un plan P, faisant respectivement les angles x, (3, y avec les trois plans coordonnes.

Les formules connues donnent

(/a=^Jlcosa-i- i/).'cosp dï'cosy; multiplions par m, et faisons la soin me des ijuaniiiés analogues pour tous les points du système, il vient (n) 2mda-- dA cosa ■+■ dA' cosj3 -+- dA" ces*/.

Soit dA une aire plane dont les projections sur les trois plans coordonnés aient pour valeurs respectives dA, dA', dA". Si

8fi OTKAMIQUI.

nous désignons pnr p, q, ries aniîles que lu plan do celle aire fail avec les Irois plans coordonnés, nous aurons

(■S) rfA': .UCS,,

( rfA" -(/Acosrj

et par suite, la somme des projetions des aires élémentaires répondant aux points matériels que nous considérons sur le plan P sera

(i 3) 2mda ^ rfA (cos« cvsp h- cosp cosg + cosy COSr).

La quantité entre parenthèses n'est autre cliose que le cosinus de l'angle compris entre le plan P cl le plan de l'aire dA. Il suil de là que la somme (les produits des aires projetées par les masses correspondîmes est un maximum quand on prend le plan de l'aire rfA pour plan de projection, c'est à-dire quand

Or les équations (13) donnent

dA' = d\' + dA" i-i/X \

ddA' -r il A'' ■ r- dA*

\ <JdA' ^r-i/A" •+-' dA*

Ces cosinus définissent la direelion du plan du maximum des aires. Si le théorème a lieu, c'csl-à-dire si l'on a

il arrive que f disparaît des e des conslamcs, cl le plan du i direelion Invariable pendant I