CHAPITRE III.— APPLICATIONS A LA MÉCANIQUE PRATIQUE

vibratoire des molécules, mouvement dont nous ne tenons pas compte en évaluant la force vive finale du système. Mais, au point de vue de l'application de la Mécanique aux machines, on peut regarder celte seconde portion comme tout aussi bien perdue que la première.

11 est aisé de comprendre que les conséquences auxquelles nous venons de parvenir, dans le cas simple du choc direct de deux corps spbériques homogènes, peuvent être immédiatement généralisées. On peut dire que, toutes les fois qu'il se produit un choc entre deux solides naturels, ce choc est accompagné d'une perte de force vive plus ou moins grande, perle due aux déplacements persistants et aux vibrations des molécules des deux solides.

La forme des deux corps a une influence sur les effets secondaires de leur choc. Cesi ce qu'on met en évidence en laissant tomber successivement sur un plan élastique une sphère de caoutchouc ei un parallélépipède de la même substance. La sphère remonte presque à la hauteur dont elle est lombée (théoriquement, comme nous l'avons vu, elle devrait y remonter tout à fait), tandis que le parallélf ; |iip^:[i' ne ioIkhiditque très-peu. Cela s'explique facilement d'après ce que nous avons dit, en remarquant que la zone de contact est beaucoup plus petite pour la sphère que pour le parallélépipède. Dans le second cas, il j a donc une part plus large faite au* vibralions, et par suite une diminution apparente de force vive plus considérable que dans le premier.

g XII. — ViMuraonB des cours élastiques.

Les corps élastiques, tels que ceux qui sont employés dans la construction des édifices et des machines, éprouvent, sous l'influence des forces auxquelles ils se trouvent soumis, des déli>rm;i(i(jijH jjii^ la théorie de la résistance des matériaux apprend à calculer avec une approximation plus ou moins grande. A ces déformations correspond la mise en jeu des forces moléculaires, la tension des ressorts intérieurs, tension qui, pour la sécurité, ne doit pas dépasser certaines limites aujourd'hui assez bien connues. C'est encore la théorie de la

résistance dos matériaux qui fournit aux praticiens les formules ijiii leur servent u calculer les dimensions îles diverses parties d'une construction destinée à résister à des efforts donnés.

Seulement les formules auxquelles nous faisons allusion (nous avons donné dans la troisième section colles qui se rapportent au cas de la traction et de la compression directe ) supposent la conslruclion établie et en équilibre sous l'action des efforts de loutc nature qui s'exercent sur elle; elles se rapportent, comme on dil, à l'étal slatïque des corps considérés. Les choses se passent d'une manière toute différente, lors de la mise en charge, si l'on enlève brusquement les supports et étais provisoires qui ont servi à établir la construction, tels que les cintres des voûtes, etc. Dans ce cas, en elfet, non-

eulce eu égard à la charge, mais encore, par l'effet de la force vive dont ces pièces sont animées, les dé forma li uns dépassent le point où la réaction élastique fuit équilibre à la charge, et elles augmentent jusqu'à ce que la force vive acquise ail été détruite par l'excès du travail résislam des réactions élastiques sur le travail nu>iein- développé par la charge. Or, la position dans laquelle ce fait se produit n'étant pas une position d'équilibre, les molécules tendent à revenir à celle position, la dépassent île nouveau, cl il se produit une série de vibrations qui durent jusqu'à ce que la force vive se soil dissipée en se communiquant aux supports ou à l'air ambiant.

Un exemple simple fera comprendre combien l'allongement dynamique diffère de l'allongement slâliqiie.

Considérons une lige verticale élastique ! flg. iS), encastrée à son extrémité supérieure et chargée a l'autre d'un corps dont le poids est P. Xous négligerons la masse de la lige, dont nous désignerons la longueur à l'état naturel, AO, par L. Les lettres 11 et E représenteront, comme en Statique, -la section de la base ei le coefficient d'élasticité; et il résulte des formules trouvées dans le Chapitre que je rappelle qu'au moment où la barre éprouve un allongement OP = x, la réaction de celle barre est

Cela posé, le corps suspendu à l'extrémité de la lige est son-

CHlPtTILE III. — JUTLICATIONS » L.l HÉaiSJQCE PH.ITIQIE. IQCJ

mis, d'une part à son poids P, dont la direction est celle dons laquelle on compte les abscisses positives, d'autre pari à la

Fl ff . .8.

réaction F, dont la direction est inverse ; donc l'équation du mouvement de ce corps est

Soit / l'allongement statique correspondant à la force 1', allongement donné, comme nous le savons, par l'équation

En introduisant celle valeur de F dans l'équation du mouvement et divisant les deux termes de cette équation par m ou p

il vient

L'intégration de celte équation se ramène aisément a des

DÏ1UMIQUE.

quadratures, comme nous l'avons vu en Cinématique. On peut aussi faire usage du raisonnement très-simple que voici.

A partir du point 0, extrémité de la lige à l'état naturel, prenons une longueur OS = 1, l'équation (i) signifie que l'accélération du point P est à chaque instant proportionnelle à In dislance qui sépare ce point du point fine 8.

Celle loi est identique avec celle qui régii le mouvement di> la projeclion d'un point qui se meut sur un cercle d'un mouvement uniforme. Il y aura donc parilé entre les deux mouvements, si l'on se place dans les mêmes conditions initiales.

Or les lois du mouvement oscillatoire auquel nous faisons allusion sont fournies par les équations suivantes, qui ont clé établies en Cinématique :

Si donc le poids P a été abandonné à lui-môme sans vitesse initiale, les équations de son mouvement auront la même forme que les équations {a), et l'on établira l'identité en po sant

On conclu! de là les résultats suivants :

i° L'amplitude de l'excursion de la lige est égale à il, disorie que l'allongement maximum est double de rallongement statique;

2° Le temps d'une demi-oscillation csi celui qu'un mobile, animé de la vitesse angulaire m, mol il parcourir une demicirconférence; donc

On reconnaît la formule bien connue qui donne la durée des petites oscillations du pendule simple. Donc :

l—lù'{K—X).

ThSobèbe. — Une tige élastique chargée brusquement d'un poids que l'on abandonne à lui-même sans vitesse initiale

C1UPITRK III. — APPLICATIONS A Ll MECANIQUH PRATIQUE. I I I

oscille comme un pendule dont la longueur serait égale à l'allongement statique qui correspond à la charge de la tige.

On évite ces effets fâcheux en soutenant le poids et en ne l'abandonnant que petit ;'i petit à lui-même. On obtient ce résultai, dans l'opération importante du déeintremcntdcs voûtes, en faisant reposer les poteaux qui supportent les cintres sur des sacs ou caisses de sable, qu'on vide aussi lentement qu'on le veut.

Cas od la vitesse initiale n'est pas nulle. — Le danger serait encore plus grand si, lors de la mise en charge, on communïquaitau poids P une vitesse initiale v, ; par exemple, si, au' lieu de poser simplement ce corps sur son support, on l'y jetait brusquement, de manière à produire un choc. Inéquation différentielle (i) et les intégrales générales conserveraient la même forme, seulement le point 0 ne correspondrait plus à l'extrémité du diamètre du cercle, mais bien à un point M déterminé de manière que la vitesse du point décrivant eût sur la direction AD une projection égale à v,.

Les équations du mouvement prendraient afors la forme i x I— licoswr, 14) i>: uBsÏDwf,.

( j -tûi 3 Bcosw( — — x).

le temps étant toujours supposé compté à dater de la fin d'une oscillation.

La valeur de a et l'expression (3) de T resteraient les mêmes; mais on n'aurait plus M - I. Pour trouver un point du cercle dont le centre reste toujours en S, il faut remarquer que les ordonnées du cercle sont les quotients respectifs par r.i des vitesses des pieds de ces ordonnées; par suite, comme on connaît la vitesse r„ qui correspond au point 0, on a, pour l'ordonnée OM, *

et pour te rayon SM, On conclut de là l'amplitude de l'oscillation, laqdelle est

i la DTHjUIIQGB.

maintenant-égale à aR, ou ;i

i[uani à la durée de l'oscillation, nous avons vu qu'elle n'est pas changée et qu'elle dépend uniquement de la charge de la tige.

On voit combien une mise en charge brusque peut amener aisément la rupture ou l'altération d'une verge sous l'action (l'un poids bien inférieur h relui qui produirait la rupture statique. Les résultats seraient encore bien plus fâcheux, si l'on procédait par une série de chocs convenablement réglés {*). Comme il n'est pas possible d'empêcher des elTets de ce genre de se priidujre dans une construction abandonnée à ellemême, il est de la plus stricte prudence de donner à la charge permanente une valeur inférieure â la charge de rupture. Dans les machines, les vibrations des diverses pièces nuisent, en outre, à la précision du jeu de la machine; on atténue cet inconvénient en employant îles pièces massives, et en reliant le bâti de la machine à des fondations résistantes.

Des ressorti de choc. — Quand il n'est pas possible d'éviter les chocs dans une machine ou dans une construction, on les amollit en les recevant sur un corps élastique, sur un ressort. Les wagons ont non-seulement des ressorts de suspension comme les voitures ordinaires, non-seulement des ressorts de choc pour amortir les chocs accidentels, mais encore des ressorts de traction, contre les chocs qui se produisent d'une manière régulière, lors de la mise en marche ou de l'arrêt du train. Les ressorts affectent différentes formes; mais les lois précédentes s'appliquent à peu près ;uix ressorts de tous genres.

Il est naturel de prendre, pour mesure de l'intensité du choc, la demi-force vive .

(•] Smart apm fijd dam un êtiu une ferjo it laiton d« i«,4o de lonfuenr a i:, nilliimHiv» de dkrlii-lra, M l'ayinl Ml vibrer liai» lu sur» d(! ki lullipu'iir, s'assura, au moyen dur, E|>1i«™m>-lrv, sur I.-|ul-1 ..■..ail fmjijiffr lV.Irélil-ivdc la barre, nue l'am r IituJo dos r.s. illalioi.s ÉluiL nu moin» di! H lif luilliiiirlr,-. Il aurait fallu îji.u lil«»i-iu]iiiu's i«nir |>n>,luii.! un |>,ii l-jI nll.m-,-ineul à l'éUI ttnlii[uo.