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CnSPlTBE III. — APPLICATIONS i LA MÉCANIQUE PRATIQUE. 103

Pour. simplifier le calcul, nous remarquerons que le travail des forces intérieures, 'telles que celles qui se développent

corps. En effet, l'expression du travail de deux de ces forces est ffdl, et ne dépend, par conséquent, que de la dislance / de leurs points d'application, c'est-à-dire du mouvement relatif de l'un des corps par rapport à l'autre. Nous pouvons donc supposer l'un des corps en repos et l'autre animé d'une vitesse w, égale à la vitesse v, — v\ . Nous aurons alors, pour la vitesse commune après le choc,

1-a force vive avant le choc était égale à mit" ; après le choc, elle est devenue égale à (m ■+■ m'jW*; donc la perte de force

Celle quantité étant essentiellement positive, il y a toujours une perte de force vive, perle qui représente en valeur absolue le double du travail négtitif des forces intérieures. En remplaçant ii', par sa valeur, on a

(8) -Iffdl: mm 'n^f' ? -

Théorème de Cantot. — On peut donner une autre expression de la perte de force vive qui se produit dans le choc des corps mous. On arrive encore à celte expression en s'appupntsur ceque la force vive perdue dépend uniquement du mouvement relatif des deux corps, et en rapportant les mouvements de ces corps à des axes mobiles avec la vitesse finale V.

En effet, par rapport à ces axes, les vitesses initiales sont c,-V, i/,-V(*),

(*) Ccltu clrrnitrr quanti!.- cil nécalin.

et les vitesses finales sont nulles. Toute la force vive e#i donc perdue, ce qui représente une quantité égale à

Il est facile de vérifier que cette expression est équivalente à l'expression (8), au moyen de la valeur de V. Donc :

TiiÊonfeaE. — La force vive perdue dans le choc est celle qui correspond aux vitesses perdues par chacun des deux corps.

Ce théorème est un cas particulier d'un théorème célèbre de Carnot.

La perle de force vive qui accompagne Toujours le choc des corps mous est fâcheuse à un double point de vue : d'abord parce que la force vive est une valeur industrielle qu'on pave; ensuite parce que cette force vive non utilisée a pour unique effet de détériorer les appareils, puisqu'elle représente, dans l'équation du travail, une quantité équivalente de travail résultant des déformations moléculaires.

On doit donc autant que possible éviter les chocs dans les machines, ou, quand cela ne se peut, les recevoir sur une substance élastique, telle que les ressorts de choc des wagons. Enfin quand le choc est indispensable pour l'effet utile que

la force vive perdue soit une petite fraction de la force vive totale dépensée.

Supposons qu'il s'agisse d'enfoncer à coups de. marteau un clou dans une pièce de bois. Une partie de la force vive dont est animé le marteau se trouve transmise au clou par l'effet du choc; elle est employée à vaincre, la résistance du bois, à faire entrer le clou : c'est la force vive utile. Quant à la force vive perdue, elle a pour unique effet de déformer le clou et d'en altérer la structure.

Cependant le travail de la réaction du bois détruit la force vive utile, et le clou s'arrête. On recommence alors, et tout se passe de la même manière. Si l'on prend un très-long clou et qu'on le frappe avec un petit marteau, on arrivera difficilement à faire pénétrer le clou, qui se déformera de toutes les manières possibles. Si, au contraire, on prend un marteau plus lourd, on fera pénétrer le clou sans difficulté.

— APPLICATIONS A LA ifiClttlQUI PRATIQUE. IOJ

Soil nit/] la force vive du marteau avant le choc. La fraction dfi cette quantité qui se trouve perdue est, d'après la formule précédente,

11 y a donc avantage à augmenter la masse du corps choquant, et par suite à diminuer sa vitesse.

Le même principe s'applique, sur une grande échelle, dans le battage des pilotis. La planche de bois est remplacée par un sol pënétrable, le clou par un long pieu et le marteau par unc ( masse très-pesante qu'on appelle un mouton.

C'est identiquement la même opération, et la conclusion est, comme dans le cas que nous venons d'étudier, qu'il faut un mouton très-lourd par rapport au pieu qu'on veut enfoncer. De cette manière, le travail qu'il faut payer pour élever le mouton se trouve utilisé d'une façon plus satisfaisante.

Corps élastiques, — llans le cas du choc de corps élastiques, nous avons vu que la première période du choc,

deuxième période pendant laquelle les forces moléculaires développent un travail positif, accompagné par conséquent d'un gain de force vive. Quand les deux corps sont parfaitement élastiques, la somme des 'travaux positifs produits pendant ta seconde partie du choc a la même valeur absolue que

partie; si donc on considère l'instant où le choc est complètement terminé, et où les deux corps vont se séparer, ta somme des forces vives des deux corps doit avoir précisément la même valeur qu'avant le choc. C'est ce qu'on véritie au moyen des équations (4], qui donnent

Tous les solides naturels étant compris entre les deux limites extrêmes d'une élasticité parfaite et d'un défaut complet d'élasticité, il s'ensuit que le choc de ces solides doit

lo6 DYIUHIQDE.

présenter des circonstances intermédiaires entre celles qui se rapportent à ces deux limites. Ainsi, on peut dire que, dans le choc du deux solides naturels sphériques et homogènes, it y a toujours une perle de force vive due à ce que le travail positif développé par les forces moléculaires pendant la seconde partie du choc est inférieur à la valeur absolue du travail négatif que ces forces moléculaires développent pendant la première partie. Cette perte de force vive est plus ou moins petite, suivant que les deux solides se rapprochent plus ou moins de remplir les conditions de I élasticité parfaite, telle que nous l'avons définie.

La différence entre les valeurs absolues des sommes des travaux dus aux forces moléculaires pendant les deux parties du choc tient o deux causes que nous devons indiquer : i" les molécules des deux corps, écartées de leurs positions primitives pendant la première partie du choc, peuvent ne pas reprendre complètement ces positions lorsque le choc est terminé, en sorte que les corps conservent une portion de la déformation totale que le choc leur avait fait éprouver; i" les molécules peuvent n'être pas revenues complètement à leurs positions définitives à l'instant où tes deux corps se séparent, ■!■ ?■•(!< -|u<* < iJN<l<r< ijlfi, -ii < .•■■lliiuaitl a m^iit^rr npri>

celle séparation, en vertu de la vitesse qu'elles possèdent encore, prennent un mouvement vibratoire qui se transmet à toutes les molécules voisines, sans avoir aucune influence sur le mouvement d'cnsenible'de chacun des deux solides dans

La différence entre la force viva du système av. ml le du c la forée vive du même système après le choc (cette dernière force vive étant évaluée abstraction faite du mouvement vibratoire (Tes molécules des deux solides) peut èlre regardée comme une perle de force vivo qui est due à la fois aux déplacements moléculaires persistants et aux vibrations occasionnées par le choc. Une portion de celle différence des forces vives du système, prises avant et après le choc, est bien ab-

mcnls persistants des molécules. L'autre portion, au contraire, n'est pas réellement perdue par l'effet du choc, puisqu'elle se retrouve, pour ainsi dire, à l'état latent dans le mouvement