CHAPITRE IV

DVN'AMIQUE SPÉCIALE DES SOUDES INVARIABLES.

§ XIII. — Application des thêobemes genêbal'ï ad cas d'ow

COBFS SOLIDE.

On sait qu'on obtient ies équations nécessaires <■! suffisantes pour déterminer le mouvement d'un système quelconque, en écrivant que la somme des travaux des forces exte ri cures ci îles forces d'inertie est mille, pour tous les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons du système. Dans le cas d'un corps solide libre, les mouvements possibles sont au nombre de si\, savoir : trois translations s'effcciuant parallèlement à trois aves rectangulaires fixes quelconques, et Irois rotations autour des mûmes axes. Les équations du mouvement d'un corps solide libre sont donc également ou nombre de six : irois de ces équations s'obtiennent en égalant à zéro les sommes des projections dos forces extérieures et des forces d'inertie sur les trois axes, et les trois autres en égalant à zéro les sommes des moments des forces autour des mêmes axes (*).

Nous conna issu ns déjà ces six équations, qui s'appliquent ii un svsième quelconque, et qui nous ont fourni dos théorèmes i 11 lé n-ssants. Dans le cas d'un corps solide, ces équations sont suffisantes et font eomiallre toutes les propriétés du mouvement qu'on se propose d'étudier (').

Pour déterminer le mouvement d'un solide libre, soumis à des forces données, la méthode ordinaire consiste à décomposer ce mouvement en deux, conformément à ce qui a été dit en Cinématique, et à rechercher séparément :

i" Le mouvement du centre de gravité du corps;

2" Le mouvement du corps par rapport à trois axes attachés à son rentre de gravité et animés d'un mouvement do Iranslalion dont la vitesse est a chaque instant celle de ce point.

Mouvement du centre tl? gravité. — Le mouvement du centre de gravité est produit par la résultante de translation île toutes les forces données, supposée appliquée a ce point, lîien n'est donc plus facile que de former les équations qui répondent à la première partie de noire problème.

Si le corps avait un point fixe ou un axe fixe, les équations du mouvement du centre île gravité contiendraient, outre les forces données, les réactions infuunues des appuis. Mais, dans ce cas, la considération du mouvement du centre de gravité ne présente aucun intérêt : le mouvement du solide se réduit

tout iM'beure. q

Mouvement autour du centre de gravité. - Nous avons dit que, lorsqu'il s'agit d'un eorps solide, toutes les forces fictives égales et opposées aux forces d'entraînement des divers points (lu mi>I<-iii- [>rijt?iil i'ii- r.-n,|. Id'.-.-j. psi |-iir i. -ijh.i.l-. laquelle passe au centre de gravité, où elle est détruite.

On peut donc étudier le mouvement d'un solide par rapport à trois axes passant au centre de gravité cl se mouvant parallèlement à eux-mêmes, sans ajouter aux forces réelles aucune force fictive, absolument comme si l'origine était fixe. C'est ce qu'on énonce en abrégé de la manière suivante :

moovcmcpis posjiblci diminue plus ou muiiis, ot celui dm équations du muuvcuciu niblt une dQik rdducllsa.

CHHP1TBÏ IV. — DÏN«UIOl'B DES S0LIOES INVARIABLES. ] ]}

Théorème. — Un corps solide tourne autour de son centre de gravité, comme s'il était fixe.

Ainsi se trouve nettement posée la question de la détermination du mouvement d'un corps solide soumis a l'action de forces données.

Si le corps ne possède aucun point fisc, nous transporterons toutes les forces au centre de gravité, et nous les remplacerons par le système équivalent composé (le la résultante de translation F et du couple K résultant de tous les couples introduits par le transport des forces au centre de gravité. Cela fait, et le mouvement du centre de gravité étant déterminé comme nous le savons, nous serons ramené à chercher le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, sous l'influence du couple K, la force F n'ayant aucune action dans le mouvement relatif.

Quand un des points du corps est fixe, c'est relativement à ce point qu'il faut opérer la réduction des forces données à une force F et à un couple K'. Puis, négligeant la force F, qui a pour unique effet de charger le point fixe, nous nous retrouverons, comme précédemment, en présence du prohlème qui consiste à déterminer le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, sous l'influence d'un couple donne.

Rotation autour d'an axe fixe.

Occupons-nous donc de chercher quel est l'effet produit par un couple sur un corps mobile autour d'un point fixe.

Pour cela, nous commencerons par étudier le cas où le corps n'a que la faculté de tourner autour d'un axe fixe. Le problème est ainsi beaucoup simplifié. En effet, le couple K ne peut, en aucune façon, changer la direction de l'axe de la rotation instantanée, et nous savons tout de suite que l'effet de ce couple sur le corps en mouvement doit se réduire à lui communiquer une certaine accélération angulaire, positive ou négative.

Le principe de d'Alembert nous fournit immédiatement l'équation unique qui fait connaître celle accélération angulaire. En effet, le seul mouvement virtuel compatible avec les liaisons est une rotation autour de l'axe fixe; par suite,

1Tb DIKAMIQUE.

nous n'avons qu'une seule équation d'équilibre à écrire : celle qu'on obtient en égalant à zéro la somme des moments des forces extérieures cl des fon es d'inertie, pris par rapport

Hais la force d'inertie de ehaque point est la résultante de deux forées, dont l'une, la force centrifuge, est dirigée vers l'axe et possède à chaque instant un momenlnul; il n'y a donc à tenir lieu, pour chaque point, que de la force d'inertie langeniielle, dont l'expression est

m dï' "" mr ~tU > i*t dont la direction ost inverse de celle du mouvement.

Or on □, pour le moment de cette force, aiTeclé d'un signe convenable

r-fr

la somme des moments des forces d'inertie autour de l'axe de rotation est donc

— is~ x

et si l'on désigne par N la somme des moments des forces extérieures auteur du même a\e, somme qui est la projection sur cet axe de l'axe du couple K, on a pour l'équilibre des forces réelles et fictives l'équation

K- %îm-. »,

de laquelle on lire

1 ' fil \ m,'

TiiÊiiHfciiï. — L'accélération angulaire d'un corps qui tourne autour d'un axe fixe est égale au quotient de ta somme des moments des forces extérieures par le moment d'inertie ( *).

rtiulunl d'une percunion P. En cûul, te

CHAPITHH IV. — DTK AU IODE DES SOLUIES I Nï \HU1U.ES. r lij

Si nous comparons celle équation à relie du mouvement recii ligne

-Ji-

dans laquelle F représente la somme des projections de loutes les forces sur la direction dit mouvement, nous voyons que l'équation (i), comme l'équation (i), renferme une accéléralion au premier membre, et que le second membre est une fraction qui renferme les forces au numérateur, les masses au dénominateur; seulement, dans le cas de la rotation, chacune des forces telles que F est affectée d'un facteur qui est son bras de levier, et chacune des masses m est multipliée par le carré de sa distance à l'axe, laquelle est un élément irès-imponani à considérer dans la ibcorie de la rolation des corps : plus les dislances r augmenteront, plus le dénominateur Imr* sera grand, el par conséquent plus l'accélération angulaire diminuera.

J'ai dil que, l'axe étant supposé fixe d'une manière absolue, l'effet des forces agissant sur le corps mobile ne pouvait èire que la production d'une recèlera lion angulaire, que nous venons d'apprendre h calculer. Mu is il est évident qu'en outre ces forces, impuissantes à changer la direction de l'axe, exercent sur les appuis de. cet axe des pressions dont il importe <ic calculer la grandeur. C'est ce que nous allons faire après une digression indispensable sur les propriétés des moments d'inerlie et de certaines sommes analogues qui doivent être étendues au solide lotit entier.

DïflABjytE.

g XIV. — TllÊOBIÏ DES flflMEMS D'iXTinTII!.

Les snmmts connues sous le nom de moments d'inertie jouent un ruh' imposant dints la Uu'oriE; de l:i rotation des corps solides. Elles jouissent d'un grand nombre de. propriétés fur! curieuses qu'il est indispensable d enumércr ici, mais sur lesquelles je m'étendrai peu, pour ne pas empiéter sur le do-

Nous avons vit que la somme des moments des forces d'inertie, par rapport à l'axe de rotation, est égale en valeur absolue au produit de l'accélération angulaire par le moment d'inertie. Remarquons encore que :

i° La somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l'ave de rotation est

Xmt>r--2mw , r'— uïmr'.

Donc : La somme des moments des quantités de mouvement d'un corps tournant, prise autour de l'axe de rotation, est l'^ali! lia produit delà vitesse angulaire parle moment d'i-

2" En second lieu, l'expression de la force vive est

'S.mv*.- Imbi'r' - - u'Sflir',

Donc 1 : La force vive d'un corps qui tourne autour d'un axe fit égaie au produit du moment d'inertie par le carre de lu

Calcul des moments d'inertie. — La sommation que nous avons indiquée par le signe dans l'expression inir 1 , doit ."ire étendue à toutes les molécules qui composent le solide considéré.

On regarde babituellcmcnl ces molécules comme séparées les unes des autres par des intervalles qui, bien qu'extrêmement petits, sont néanmoins très-grands par rapport aux dimensions de ces mêmes molécules: on admet ainsi qu'il n'y a pas continuité dans !a matière qui constitue les corps.

Cependant, pour appliquer le calcul au mouvement d'un solide, tant qu'on ne considère que l'action des forces exlé-

la matière dans la totalité du vulumc orcupé par le corps, diserte que, dans toute partie très-petite de ce volume apparent, pal lie renfermant toutefois un grand nombre de molécules, il y ait la mémo quantité de matière qu'auparavant. Comme les farces extérieures ne varient pas sensiblement d'une molécule à la molécule voisine, il n'en résultera aucune erreur appréciable dans les actions evjrcées sur les différentes parties du corps.

N'oublions pas toutefois ([ne celte conception est entachée d'erreur; en effet, quand on parle d'un volume infiniment petit, ee volume doit pouvoir décroître au-dessous de toute limite, quelque petite qu'elle soil, c'esl-ù-uïre au-dessous des dimensions Unies des molécules et de l'intervalle qui les sépare. Peut-être trouvera-l-on dans cette indication l'explication de certains phénomènes délicats de la Mécanique moléculaire, science qui est encore à créer.

Quoi qu'il en soit, si l'on admet l'hypothèse de la continuité île la matière, le moment d'inertie est une intégrale triple de [a forme

qu'on calculera, pour chaque corps ou portion de corps, par les procédés rigoureux ou approximatifs que l'on connaît. Nous verrons plus loin comment on détermine expérimentalement le moment d'inertie d'un corps qui n'est pas limite par des surfaces susceptibles d'une définition géométrique.

Rayon de giration, — Le moment d'inertie ïmr' d'un solide par rapporta une droite 01 étant calculé, déterminons une longueur K par la condition

MR" = Sun-',

M étant la masse totale du solide : la ligne R est ce qu'on nomme le rayon de giration du solide, par rapport à la droite 01. Daos le cas d'un solide homogène, le rayon do giration est une quantité purement géométrique.

Étant donné un solide, les moments d'inertie de ce corps par rapport aux diverses droites qu'on peut considérer comme axes de rotation ne sont pas tous indépendants; cl nous allons

ISS DYNAMIQUE.

voir que trois J'entre eux, convenablement choisis, peuvent nous faire connaître tous les autres. Cestce qui résulte des deux théorèmes suivants:

TirfonËm; I. — Le moment d'inertie autour d'un axe quelconque est égal au moment d'inertie autour d'un axe parallèle mené par te centre de gravité, plus le moment d'inertie de la masse entière transportée au centre de gravité.

Cette propriété est une conséquence immédiate de la relation que nous avons donnée J p. y{ ) entre ln forée vive réelle et la force vive qui correspond ;ui mouvement autour du rentre de gravité supposé li\e {"). En désignant par 11 le moment d'inertie autour d'un aie passant par le centre de gravité, par H' le moment d'inertie autour d'un axe parallèle, situé a la distance l) du premier, on a