U) H' = H ->- MD

ou, en employant la notation du rayon de giratton,

[2) It": R'-t-'D 1 .

Scolic. — De toutes les droites parallèles à une direction donnée, celle par rapport à laquelle le moment d'inertie est

t ion n files aux met ne* carrées des nienieiits d'inertie correspondants, le lieu des points ainsi déterminés est an ellipsoïde.

Prenons trois axes. rorinn^iiLiiics. quelconques, et soient ?., f*, ii les angles qui définissent la direction de l'axe par rapport auquel on demande le moment d'inertie. Le carré de la distance à cet axe du point dont les coordonnées sont X,y, z a pour expression

r 1 — x' +y' -i- — [x cosï. + j-costt ■+■ s cosvj';

(■) On Mil, par la Clnémiliqne, qua, dnns la Jlffironics minière! da Ûtctunposcr lo moutSnienl d'un aoliiio en nna UuuIlriaD et une rotation, 1= lijnu qui rourcwiiti! l;i rolaliuti rnle invm-irililc. en Grandeur et en direction.

CBAPÏTRE IV. — DYNAMIQUE DES SOLIDES INTA1HBUS. Il3

donc

j 2mr ! = A cos'). 4- B cos'u + C cos'v 1 ' j — aacosf/.cosv — a^coSKCOsî. - aycos^cosii,

en faisant

( k=*-ïm{r> ■:■), y. -Imyz,

(4) B^Sm(s'---x»), S =Ï«W, ( C ■- lïmfar'+^l, y =2may.

L'équation (3) donne la relation (jiii existe entre les moments d'inertie relatifs à tons les axes qui se croisent en un point quelconque. On exprime cette loi sous une forme géométrique élé^mie, eu portant, sur chaque a\c (J, p, v), une longueur réciproque de la racine carrée du moment d'inertie correspondant.

Faisons en efl'et dans l'équation (3)

et désignons par x, y, s les coordonnées «cos'., uC05fi, uc.osv, du point déterminé par lu construction indiquée; on trouve, pour représenter le lieu géométrique de ce point, l'équation

(5) à»'+B r " + CJ'-ïVi-»pV *yx)--. t.

Celte équation représente un ellipsoïde connu sous le nom

A' ellipsoïde d'inertie, ou à! ellipsoïde central.

La considération de cet ellipsoïde permet de donner une forme très-remarquable à tous les résultats de la théorie que nous exposons actuellement.

Axes principaux d'inertie. — Un ellipsoïde quelconque a toujours trois axes principaux rectangulaires par rapport auxquels son équation est de la forme

ou, en coordonnées polaires,

L cos'l Cos'fJ. cos' y l " „: „i "** t., -i '

■ 3,1 BTKAB1QUE.

Il soii de lj que, À, I), C étant les moments particuliers du solide autour dos axes de 1 'ellipsoïde d'inertie, on □. pour le moment autour d'un axe passant au même point, et déDni par les angles ),, u, -j,

(8) Il : - A cos'î. + B cos'u + C cos' »,

puisque, par définition, les quantités II, A, B, C sont proportionnelles respectivement à — j -;i ~>

il' inertie du solide, pour le poilu considéré (*).

PropHétél i/ks axes el (les moments principaux. — i" Si x, y, z désignent les coordonnées des divers points du corps par rapport à un sjstéme d'axes principaux, on a les trois ('■quai ions

Z/Hj"ï = o, Smzx : :o, 2mxy=:o,

qui. peuvent servir à définir les a\es principaux, a" Si l'on avait seulement

Imyz = o, Imzx : o,

l'axe des s serait un axe principal, relativement au point pris pour origine.

3" Si l'on demande quelle est la condition nécessaire pour qu'il ciisie quelque part sur une droite Os un point pour lequel cette droite soit axe principal, on trouve qu'en prenant pour plan des zx le plan qui contient la droite donnée et le centre de gravité, on doit avoir

Alors cette équation est vraie pour un système quelconque d'axes parallèles aux axes coordonnés, ayant pour origine un

(■) L'cilslencc et les [irtiiiriiilri Msi'iilii'lli-s tli's an-* principaux d'inprlio lilai.'iil conmiH bien aïniil ipu> rciins.it ait ™ ridec >t lu-iirviiM! dr IVlIipsu'iilo «titrai. Lq priorité île l.i ilr.'olin-rli- dr e:cl idlijisuidi' ™i ili-pulw j l'uinsot par Cnudiv. qui, d'iijuvs 1.' l("'miiii;iia[:r di- M. Siiiiil-liuilliciii, !Yi>!*i|;iiiiit 1:11 i8ï'l à l'Hall' Pol) (celui i que (voir Théorie nouvelle <(( / équilibre el du mo— vemem J« etrpi, par H. Saii.i-Gr.ilh.Mi, ,a3 3 , p. 71).