MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL

§ I. — Équations différentielles du mouvement.

« La Dynamique est la science des forces accélératrices et retardatrices, et des mouvements variés qu'elles doivent pro-

lliililée est celui qui en a jelc les premiers fondements. Avant lui, on n'avait considéré les forces que dans l'état d'équilibre. Cl quoiqu'on ne put attribuer l'accélération des corps pesants et le mouvement curviligne des projectiles qu'à l'action constante de la gravité, personne n'avait encore réussi à déterminer les lois de ces phénomènes journaliers, d'après une cause si simple. Galilée a fait, le premier, ce pas important, et a ouvert par là une carrière nouvelle cl immense à l'avancement de la Mécanique [*}. Celte découverte ne procura pas à Galilée, de son vivant, autant de célébrité que celles qu'il avait faites dans le ciel, mais elle fait aujourd'hui la partie la plus solide de la gloire de ce grand homme.

o Huygens, qui parait avoir été destiné à perfectionner et à compléter la plupart des découvertes de Galilée, ajouta à la théorie de l'accélération dos graves celle du mouvement des

(■) /Virant t fomoitraziani matcmaiiche iatarm n nuon in'wur, iG38.

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route à la grande découverte de la gravitation universelle. La Mécanique devint une science nouvelle entra les mains de Newton, el ses Principes mathâmatiqites, nui parurent pour ta première fois eu i(i8;, din'ui l'époque île celle révolution. » Enfin, l'invention du calcul i n fini tés i mai mit les géo-

impulsion inattendue, oh peni dire que, réciproquement, l'Analyse doit ses découvertes les plus originales au* efforts consacrés à la solution des problèmes de Mécanique.

C'est nu moyen du principe de la composition des mouvements produits par les forces que Galilée a résolu les premières questions qui se rapportent à 1» Dynamique.

Dans le premier Chapitre de la Statique, nous avons donné un aperçu des nombreux corollaires du principe de Galilée, de relie ftrande lui qui explique el complète h loi prinHinliale de l'inertie de la matière ("*). Ce principe nous a servi de point de départ dans notre exposition de la Statique, bien qu'il fût peut-être plus naturel, cl surtout plus conforme à l'ordre historique, de suivre une marche lottlo différente. Noos allons actuellement développer la manière dont notre principe fournit la solution du problème général de la D/na-

Il nous suffira pour cela (le rappeler quelques-uns des résultais précédemment établis, résultats auxquels nous n'avons

I. Quelles que soient les conditions dans lesquelles un point matériel se trouve placé, on peut toujours considérer ee point

( " ] Itorologiam viritlniariam, |6;3.

I"*) L.cniscr., Métallique aii,ilrttif«e, V l'diliun, I. I. u. 5117.

(***) La mnlif-™ ™t inerte, cVtl-à-Jirc iniliifiTaiilo à toute musc de mouvement, à lotUe/ent. Quand pliuiaun forces fissent simultanément lur un nieiiic point matériel, rolui-ci cède à ]• foi), et sans . l.-. liu.i aucii,,'. 1 lo =

tondent a produire. Les OIith animés présentent dos phénomènes d'un ordre tout à faH oppoia.

comme soumis à l'action d'une force unique, laquelle est lu résultante des '■■ (torts il-: ton tu o /«'■<-<■ qui s 'excrct:itt sur lui.

Rmuiqde. Si noire point n'est pas absolument libre,

c'csl-ii-dire s'il l'ail parlio d'un corps, ou d'un syslènn' de corps

liés entre eux, ou bien encore s'il se trouve gêné dans son mouvement par des obstacles, il faudra avoir soin, dans l'évaluation Je la résultante ou force motrice, de tenir compte des forces qui proviennent des luisons du système, ainsi que des réactions des obstacles ou appuis.

Ces farces particulières, qui agissent au même litre que toutes les autres forces pour déterminer les diverses circonstance-- du mouvement du point mobile, ne sont pas immédiatement connues : elles dépendent du mouvement inconnu, lequel en dépend à son tour. On est dune obligé du les introduire dans les constructions et les calculs comme des inconnues, dont on calcule plus lard les valeurs par l'une des méthodes que nous exposerons en temps utile.

II. Quand un point matériel animé d'une vitesse quelconque, résultat d'efforts antérieurs à l'instant considéré, est actuellement soumis à l'action d'une force, l'accélération totale du mouvement de ce point a pour direction la direction de la force, et pour valeur le quotient de la force motrice par la masse du point matériel en mouvement.

C'est ce que nous avons exprimé par l'équation

dans laquelle J est exprimé en mètres, et F en kilogrammes; quant à la masse m, elle ne peut être rapportée à une unité

particulière. C'est le quotient — du poids en kilogrammes par

le nombre 9,8088 qui mesure dans notre système d'unités l'accélération due à ia pesanteur. Si l'on remplace ;n par sa valeur — . on a

équation qui est homogène et ne dépend plus des unités qu'on voudra adopter. , III. L'accélération de la projection d'un point sur un aie fixe est la projection sur le même axe de l'accélération totale du point.

On a, en supposant les projections orthogonales,

1, — J cos VÏ — ^ cosïTi,

parce que la direction de l'accélération totale est la même que celle de la force.

On aurait trouvé la même valeur pour J„ en considérant, par une double abstraction, la projection géométrique du point mobile comme un point matériel de masse m, soumis à l'action d'une force

.FcosÊTï.

projection de la force F sur l'axe des x.

Ce résultat constitue un théorème dont l'importance est égaie à la simplicité, c'est le véritable et unique principe de la Dynamique, dit Euler dans les Mémoires de l'académie de Berlin pour l'année 1750.

Voici l'énoncé de ce théorème, qui permet d'écrire immédiatement les équations différentielles du mouvement d'un point matériel libre, soumis à l'action de forces données quelconques:

Théorème fondamental, — La projection d'un point matériel sur un axe fixe se meut comme un point matériel de même masse que le point donné, animé d'une vitesse égale à la projection de ta vitesse de ce point, et sollicité par la projection 'de la force motrice effective.

Ce théorème est vrai, de quelque manière que s'effectue la projection du mouvement sur la droite fixe (').

Projection du mouvement sur la tangente et sur la normale. — L'application du théorème fondamental suppose les

(") T.a projection, N.-ctimju luire ou oblique, du mouvement <ur un plan du linnne lieu à un théorème analogue.