CHAPITRE I. — MOCVESENT o'UN POINT MATÉRIEL' "j

axes de projection fixes. Aussi, quanrl on parle de projeter le mouvement d'un point sur la tangente el la normale principale de sa trajectoire, faul-il comprendre qu'il s'agit, non pas de lignes assujetties à coïncider constamment avec la tangente et la normale à la courbe décrite, mais bien d'une tangente fixe, d'une normale fixe, sur lesquelles on étudie les projections des positions du mobile infiniment voisines du point de contact.

Observons qu'on se fait une idée parfaitement claire du mouvement rectiligne produit par une force dont la direction ne diirère pas de celle de la vitesse actuelle du mobile. Il est, en effet, évident que, dans ce cas, la force qui sollicite le mobile ne peut avoir pour effet que d'en augmenter ou d'en diminuer la vitesse. Au contraire, on voit beaucoup moins bien comment, dans le mouvement curviligne, la force influe à la fois sur les cléments géométriques de la trajectoire du mobile et sur les variations de la vitesse de ce mobile.

Pour arriver à se faire une idée parfaitement nellc de ce double mode d'action, il faut se transporter dans le voisinage de l'arc décrit par le mobile pendant un temps infiniment petit, et projeter cet arc sur la tangente à l'une de ses extrémités, sur la normale principale au même point, enfin sur la perpendiculaire au plan osculaleur.

On sait que, relativement aux axes ainsi définis, les trois composantes de l'accélération totale se réduisent à deux, qui sont :

i" h' accélération tangentielle, dirigée suivant la tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement ou en sens dv

inverse, suivant le signe de

2° X.' accélération centripète, dirigée vers le centre de courbure et égale à y

Cela posé, les forces étant proportionnelles aux accélérations, nous pouvons de infime décomposer la force qui agit sur le point en deux autres :

i° La force langentielle, égale à

?" La force centripète, égale à

FcosF,p = m~-

Ces formules mettent bien nettement en évidence la manière dont une force, agissant sur un mobile donné, produit à In fuis et d'une manii-ri 1 indépendante la variation de vitesse du mobilo et la courbure de sa trajectoire. Ainsi :

i° Le changement de grandeur que la vitesse du mobile éprouve avec le temps est uniquement dû à ta force langeblielle; en sorte que, si cette force longentiolle était constamment nulle, c'est -ii-dire si la force F était toujours normale à la trajectoire, la vitesse ne varierait pas et le mouvement serait uniforme.

. a" De même, la courbure - dépend uniquement de la force centripète. Si cette force était constamment nulle, la courbure de la trajectoire le serait aussi et le mouvement serait rectiligne. ^

On s'est servi Ircs-longtemps de ces formules relatives aux forces tangenlielles et centripètes pour résoudre les problèmes de mouvement. Cesl ainsi que procédait Newton, en employant exclusivement les considérations géométriques; car, s'il s'est servi quelquefois du calcul analytique, c'est uniquement la méthode des séries qu'il a employée, méthode qui doit être distinguée de la méthode différentielle, quoiqu'il soit facile de les rapprocher et de les rapporter à un même principe.

Le traité de Mécanique d'Euler, qui a paru en î^li et qu'on doit regarder comme le premier grand ouvrage où l'Analyse ait été appliquée à la science du mouvement, est encore tout fondé surces formules; maïs on les a presque abandonnées depuis, parce qu'on a trouvé une manière plus simple d'ciprimer l'effet des forces accélératrices sur le mouvement des corps.

Elle consiste à rapporter le mouvement du corps et les forres qui le sollicitent a des directions Tues dans l'espace. Alois, en employant, pour déieiminer le lieu des corps dans

l'espace, trois coordonnées rcrinngulaires qui aient ces mêmes directions, la variation de ces coordonnées représente évidemment l'espace parcouru par le point dans la direction de chacun des axes fixes.

Mouvement d'un point matériel libre.

En adoplant ce système, il faut égiileincnl décomposer la force donnée en trois autres, X, Y, Z, parallèles respectivement aux Iroisaxes coordonnés. D'après notre théorème fondamental, chacune de ces composantes détermine, d'une manière indépendante, toutes les circonstances du mouvement rectiligne de la projection correspondante. On obtient ainsi irois équations différentielles (*) :

\ Uf ■ '

qui déterminent en fonction du temps les trois coordonnées Inconnues x, y, z.

Les quantités X, Y, Z étant des fonctions connues des coordonnées x, r, =, du temps (, et quelquefois même des vitesses ~- ~. les équations (t) sont trois équations

simultanées dû-deuxième ordre, dont l'intégration est du domaine de l'Analyse pure.

Rappelons seulement que les intégrales des équalions (i), c'est-à dire les équations finies du mouvement, doivent con-

10 DrïAKIQCE.

tenir six constantes arbitraires distinctes. Le problème est pourtant bien déterminé (*); et la présence des arbitraires liemà ce que nous n'avons pas tenu compte, en écrivant les équations différentielles, des conditions dans lesquelles le point matériel se trouve place, au moment où nous l'abandonnons à l'action des forces X, Y, Z. L'Algèbre nous avertit

■ ■ - - ■ i .. I- | i' fi,. |.. P 'iil i i.l | -r - - 1 -I ■ ni | r |

par la position initiale du point mobile, ainsi que par la grandeur cl la direction de ta vitesse qui anime ce point, à l'instant pris pour origine du temps.

L'intégration générale des équations (i) constitue donc seulement la première partie "de la solution de la question proposée, et l'on doit achever cette solution de la manière sui-

Soient

Ips iniégi-iil par rapport

Cela posé, ainsi que nous l'avons dit, pour que le problème soit complètement défini, il faut qu'on nous dise, à l'instant

s générales trouvées; diiiércnlions ces équations u temps: pour avoir les composantes de la vitesse

HMVciil répondre de deui mantenu ccalcluent admissible.. C'est ce qu^n'i jamais lieu en Meraniqur: ■ un i'l.tin* él:ml plnci' ditis des condiLiuns d-.mui- . le mouvement qu'il vu prendre «1 unique cl tiioD déterminé.

1P1THH I. — MODÏEMÏNT