CHAPITRE PREMIER
CINEAI.VTIQIE PURE.
§ I. — MouYement d'un point.
2. Mouvement d'un point sur une trajectoire donnée, — Lorsqu'un corps de dimensions finies se meut dans Tespace, chacun de ses points est lui-même en mouvement; les mouvements des divers points étant supposés connus, on connaîtrait par là même le mouvement de l'ensemble. Il est donc naturel et logique de commencer la Cinématique par Tétude du mouvement d'un point.
Le mouvement d'un point est complètement défini quand on peut indiquer la position qu'il occupe à chaque instant dans l'espace. Si l'on donne a priori la courbe qu'il décrit et qu'on appelle sa trajectoire, il suffira d'indiquer la position où il se trouve sur cette trajectoire à toute époque, choisie comme on voudra. Cette position du point mobile peut se définir en indiquant sa distance à une origine i\\e, 0 par exemple
(Jig. i), la distance étant mesurée suivant la rig. I. trajectoire; et, afin que les grandeurs succes-
sives de celle distance variable définissent tous les points de la trajectoire, si le point 0 n'est pas une des extrémités, on convient ordinairement que les dislances sont comptées positivement d'un côté de 0 et négativement de l'autre. L'époque se définit en indiquant le temps ou la durée qui la sépare d'une autre époque fixe prise pour origine, et l'on convient de môme que ces temps ou durées s'expriment par des nombres positifs ou négatifs, suivant qu'ils se
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rapportent à des époques postérieures ou antérieures à celle qu'on a choisie comme origine.
On voit ici s'introduire une idée nouvelle, celle de Tépoque, du temps ou de la durée, dont on n'avait pas besoin en Géométrie. Nous n'en donnerons aucune définition, parce qu'il s'agit d'une de ces idées premières que nous apportons avec nous en venant au monde, et que les définitions les plus ingénieuses sont impuissantes à rendre plus claires, si même elles ne les obscurcissent pas. La notion de la mesure du temps est également du domaine commun; les instruments employés à cet effet, c'est-à-dire les chronomètres, montres et pendules, sont décrits et étudiés dans un autre Cours.
Dans le langage ordinaire, on appelle moment un temps assez court. Nous nous abstiendrons de ce mot ainsi employé, car nous eu ferons usage par la suite pour désigner une quantité tout autrement définie, qui joue en Mécanique un rôle important. Nous détournerons aussi le mot instant de son acception usuelle, en l'employant pour désigner le commencement ou la (in d'une durée quelconque; ainsi compris, l'instant joue, par rapport au temps, le môme rôle que le point relativement aux longueurs, et de môme que le dernier n'a aucune longueur, l'instant est absolument sans durée.
Cela posé, nommons
s la distance OM, positive ou négative, comptée suivant la trajectoire AB, entre l'origine 0 et le point mobile M, à une époque quelconque;
t le temps qui s'est écoulé à cette époque, depuis celle qu'on a prise pour origine.
Si l'on connaît la relation entre s et t, on pourra, puisque la courbe AB est supposée donnée, trouver la position de M à telle époque qu'on voudra. Le mouvement de M sera ainsi connu; il suffît donc, pour le définir, d'une équation telle que
qu'on appelle équation du mouvement, et dans laquelle s Qi t sont évalués numériquement au moyen d'unités conventionnelles quelconques. Nous supposerons d'une manière générale, et sauf avertissement contraire, qu'on emploie : 1° le
mèlre pour les longueurs; 2» la seconde (soit gyj^^ de jour solaire moyen) pour les temps.
3. Mouvement uniforme. — Après l'hypothèse /( 0 = const., qui répondrait à rimmobilité du point, la plus simple qu'on puisse faire sur la nature de la fonction/ consiste à prendre une fonction linéaire et à poser
(i) s r^at-^- b^
a cib désignant des constantes quelconques. La propriété la plus essentielle du mouvement représenté par cette équation, c'est que, si Ton attribue à t des valeurs croissantes en progression arithmétique, les valeurs correspondantes de s ont également des différences constantes; la longueur cr parcourue par le point mobile, dans un intervalle de temps 6, est toujours aô, quelle que soit l'époque où l'on fera commencer ce temps 6. D'ailleurs le point se meut toujours dans le môme sens, celui des s positifs ou celui des s négatifs, suivant que le coefficient a est lui-même positif ou négatif. Ce coefficient a reçu le nom de vitesse; plus il est grand en valeur absolue, plus le point parcourt de chemin dans un temps donné, ce qui répond bien à l'idée exprimée par le mot vitesse dans le langage usuel. La relation a 3= «6 montre que la vitesse est le rapport constant qui existe entre un espace parcouru et le temps employé à le parcourir, ou encore que c'est l'espace parcouru dans l'unité de temps; ces espaces parcourus doivent toujours, bien entendu, recevoir un signe convenable, suivant le sens dans lequel ils sont engendrés, tandis que, au contraire, le temps 6 du parcours est censé toujours positif.
Il n'y a pas lieu, d'après ce qu'on vient de dire, d'indiquer une nouvelle unité pour la vitesse; le choix des unités de longueur et de temps Vwe suffisamment, dans chaque mouvement particulier, les valeurs numériques de a et de 6, d'où ré-
suite aussi celle du rapport -> ou de la vitesse.
La constante b n'est autre chose que la valeur particulière de s définissant la position du point mobile pour / =: o, c'est-
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à-dire quand on commence à compter le temps; elle ne donne lieu à aucune remarque parliculièrc.
L'invariabilité du rapport - a fait donner au mouvement
que nous venons d'étudier le nom de mouvement uniforme. Ce fait ne peut se produire, 6 restant indéterminé, que dans le cas où f{t) est une fonction linéaire. On peut, en effet, supposer un intervalle de temps infiniment petit dt pendant le-
ds quel le point parcourrait une longueur ds\ Téqualion — rri a,
dans riiypothèse de a constant, redonnerait alors Téqualion (i) par une intégration.
4, Mouvement varié; vitesse, — Tout mouvement non uniforme d'un point est dit mouvement varié. Dans ce mouvement, on ne définit plus la vitesse en disant que c'est l'espace parcouru dans l'unité de temps. Soient 0 {fig. 2) l'origine des s, OM rz:i5 la dislance du point mobile à celte origine quand le temps a la valeur t; supposons Pj„ ^
qu'à l'époque définie par une va- t
leur t -\- dty infiniment peu diffé- ^ '^-
rente, la dislance s ait varié de - îr
rfs=rM\r. Si la distance MM' était y\^
parcourue dans le même temps dt ^' par un point animé d'un mouvement uniforme, la vitesse r de ce point serait donnée par
l'équation
ds (» -- •
~~ dV
par définition, la vitesse ainsi obtenue est ce que l'on considère comme la vitesse du point mobile, quand il est dans la position M, à l'époque définie par la valeur t. Si donc on a Téquation du mouvement
il en résulte
On attribue conventionnellement à la vitesse v la direction
Fig. 3.
SI
et le sens de rélémeiit MM'; la direction est celle de la taii gente en M à la trajectoire; le sens est celui des s positifs ou des s négatifs à partir de M, suivant qu'en ce point s est croissant ou décroissant, ce que fait reconnaître immédiatement le signe de la dérivée /'(^).
5. Représentation graphique du mouvement d'un point: son emploi pour la détermination de la vitesse, — Soit s =y( / ) réquation du mouvement d'un point. Après avoir tracé deux axes rectangulaires OT, OS {fig. 3) et avoir adopté deux échelles arbitraires pour représenter les valeurs de ^ et de /
par des longueurs tracées sur le papier, construisons une courbe dont chaque point M aurait / pour abscisse et s pour ordonnée. Le lieu des points M ainsi obtenus se nomme la courbe des espaces; si cette courbe était donnée, il est clair qu'elle définirait le mouvement tout aussi bien que l'équation 5— /(/), car, étant choisi un temps quelconque représenté par OP, on connaîtrait la valeur correspondante de s par la mesure de l'ordonnée PM.
La construction de cette courbe peut rendre quelquefois plus apparentes certaines propriétés du mouvement, qu*on reconnaîtrait avec moins de facilité dans l'équation 5~/(i); elle est surtout utile quand on n'a pas cette équation, mais qu'on a pu observer un certain nombre de valeurs de 5, avec les valeurs correspondantes de t, La courbe est alors construite par points. Ce procédé a même l'avantage que, si certains points s'écartent trop d'un tracé régulier, il est naturel d'attribuer cette irrégularité à des erreurs d'observation; on peut alors contrôler les observations qui répondent à ces points ou les recommencer, et souvent découvrir des erreurs qui auraient pu échapper, si l'on s'était contenté de faire le tableau des valeurs numériques prises simultanément par s et t.
La courbe des espaces permet d'obtenir facilement la vî-
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> rr-.
lesse. Soient, en eiïet. A- et A' les rapports constants , ,
