MP OP

soient de plus M et M' les deux points infiniment voisins qui répondent aux temps ^, t-\-dt; MP, M'P' les ordonnées de ces points ; MN la droite égale et parallèle à 1*P' menée par le point M; a Tangle que fait la tangente en M à la courbe des espaces avec Taxe OT. On aura

ds — k . NM', dt - k'. PP — k'. MN ;

donc

ds Â-.N^r k

V— -j- ~ — ='. ■— -j langa.

La vitesse est donc dans un rapport constant -r, avec la tangente trigonométrique de l'angle a que la tangente à la courbe en M fait avec Taxe OT. En prenant A = A', on aurait simplement

r --= langa.

On peut aussi construire r géométriquement. Pour cela, remarquons que, si le mouvement devenait uniforme à partir du temps t^ en conservant la vitesse r qui existe à cette époque, la courbe des espaces deviendrait une ligne droite, puisque Tordonnée serait fonction linéaire de l'abscisse. Celte droite devrait passer par les points M et M'; car, en rendant la vitesse constante dans la suite du temps, nous n'avons rien changé aux positions du point mobile pour les époques ^ et ^ H- o?^; donc elle n'est autre chose que le prolongement MR de MM', c'est-à-dire la tangente à la courbe en M. Rappelons-nous maintenant que dans un mouvement uniforme la vitesse s'obtient en prenant l'espace parcouru dans l'unité de temps; il en résulte immédiatement que, si l'on porte parallèlement à OT, en partant de M, une longueur MQ égale à celle qu'on a choisie pour représenter l'unité de temps, et si l'on mène ensuite par le point Q la droite QR parallèle à OS, jusqu'à sa rencontre avec la tangente en M, la longueur QK ainsi construite représente la vitesse en ce point; c'est en effet l'espace parcouru pendant l'unité de temps, dans le mouvement uniforme qui ferait parcourir l'arc ds = NM' pendant le temps dt.

Pourrevenir de la longueur représenlalive QU à la grandeur réelle, il faudrait, comme pour une quelconque des ordonnées parallèles à OS, prendre le produit /i.QU.

La ligne QR étant portée en ordonnée à partir du point P, on obtient ainsi un point r, dont le lieu géométrique, pour toutes les positions de M, se nomme la courbe des vitesses. L'ordonnée de celte dernière courbe passe par zéro, quand celle de la courbe des espaces franchit un maximum ou un minimum, comme en U par exemple.

6. Mouvement uniformément varié, — On nomme ainsi un mouvement dans lequel la vitesse v varie d'une quantité con stante ti.v pendant un même intervalle de temps A^, quelle que soit l'époque où l'on prendra le commencement de cet inter-

valle. Le quotient —- a reçu le nom Ci accélération, et, comme

Af est arbitraire, si on le prend égal à i, on pourra dire que l'accélération est l'accroissement de la vitesse pendant l'unité de temps. L'évaluation numérique des vitesses n'exigeant que le choix des unités de longueur et de temps, il en est évidemment de môme pour l'accélération. L'accélération est positive quand la vitesse croît, négative dans le cas contraire ; dans le premier cas le mouvement est dit accéléré, dans le second retardé.

L'expérience a fait reconnaîlre que le mouvement vertical des corps pesants est uniformément varié; en nommant^ l'accélération positive qui se produit si le corps descend, et Vq la vitesse initiale pour ^i=o, on a

Dans le cas de ia descente v -^ s\ -^ gt

Dans le cas de la montée v --\\ — gt

D'une manière générale et pour un mouvement quelconque uniformément varié, désignons pary l'accélération positive ou négative, on aura, pour expression de la vitesse à un instant quelconque,

(0 v—Vo-i-/t,

ds et, puisque ç=z -^-y

(2) 5=:5o4- Vot 4- -/7',

CINÉMATIQUE PURE. 9

en nommant ^o la valeur de s pour ^ = 0. Réciproquement, loule équation de cette forme représente un mouvement uniformément varié, car on en déduirait par la dérivation une valeur de la vitesse exprimée par une fonction linéaire du temps, dont les accroissements sont en rapport constant avec ceux de sa variable.

Les expressions de s et de v montrent que la courbe des espaces (n°5) est une parabole ayant son axe parallèle à OS, cl que celle des vitesses est une ligne droite. L'accroissement de l'ordonnée de cette droite correspondant à Taccroissement i de Tabscisse donnerait la valeur de l'accélération. Cet accroissement devrait toujours, bien entendu, se traduire en nombres, d'après le dessin, comme toutes les lignes parallèles à US.

Étudions maintenant, sur les équations (i) et (2), quelques propriétés du mouvement uniformément varié.

Si ('0 et y sont de même signe, l'espace parcouru s — Sq, à partir de la position initiale, croît ou décroît constamment avec le temps t, suivant que t^oCty ontle signe -h ou le signe — . Le mobile s'éloigne donc indéfiniment de sa première position, en avançant suivant le sens des s positifs dans le premier cas, et en rétrogradant suivant le sens des s négatifs dans le second. En outre, la vitesse conserve toujours le même sens et grandit indéfiniment en valeur absolue.

Supposons maintenant To et y de signes contraires, par

ds exemple Pq positif ety négatif. La dérivée -^ ou (' commence

par être positive pour ^ = o, puis elle décroît et devient nulle

au bout d'un temps c'^=i ?; après quoi elle reste toujours

négative. Donc s — s^ est d'abord une fonction croissante,

passe par un maximum i^ot'-j- -Jt'- ou ^ pour ^=: ^', puis

devient indéfiniment décroissante, de sorte que, dans cette dernière phase, le mobile marche constamment dans le sens des 5 négatifs, en s'éloignant du maximum de s — s^ et prenant des vitesses qui grandissent indéfiniment en valeur absolue. L'hypothèse t^o<o>y>o conduirait à des résultats analogues; on la ramène d'ailleurs à la précédente par un simple change-

ment du sens des s positifs, qui a pour effet de changer les signes de (^ et dey.

Soit un intervalle de temps 6; il commence à une époque arbitraire, que nous sommes toujours en droit de choisir pour origine du temps t. Soient, en outre, <j Tespace parcouru pendant cet intervalle de temps; Tq» <'i et i', les vitesses au commencement, au milieu et à la fin. D'après les formules (i) et (2), on aura

r, .-: ('0-4- -yO, r, — Co -f-yO, j - c^O 4- -y 0-.

Le quotient - est ce qu'on nomme, par définilion, vitesse

moyenne du point mobile pendant la durée 0; c'est la vitesse lîu mouvement uniforme qui permettrait de franchir le môme espace dans le même temps. On lire de la dernière équation

OU bien, eu égard aux deux précédentes,

Donc la vitesse moyenne, pendant un certain intervalle de temps, est égale à la vitesse que le point possède réellement au milieu de cet intervalle, ou encore à la moyenne arithmétique des vitesses aux deux instants qui le commencent et le finissent.

L'élimination du temps entre les équations (i) et (2) conduit facilement à

(3) r'— r;~2y(.ç — ,Ço);

donc l'accroissement du carré de la vitesse entre deux posi tiens est égal au double produitde l'accélération par l'arc parcouru.

Remarquons, enfin, que les équations (i) et (2) peuvent prendre une forme plus simple en changeant les origines du temps et de l'espace parcouru. Elles peuvent s'écrire

Vz=r.j[t-\-^

-? , 5 4- -A — ^0 — -yM-^ - J V ■i-'V jl

CINÉMATIQUE PURE. II

ce qui revient à

(4) v=jt\ s'^^jr-,

en posant

c'est-à-dire en faisant rétrograder les origines du temps et de

l'espace parcouru, respectivement de -? et de — . — Sq. Dans

le cas où la nouvelle origine du temps serait comprise dans l'intervalle total pendant lequel le point mobile possède un mouvement uniformément varié, on peut dire que, pour ramener les équations (i) et (2) à la forme (4), il faut commencer à compter le temps et la longueur parcourue à partir de l'instant et de la position pour lesquels la vitesse esl nulle. Les hypothèses v^ et s^ nuls pour ^ := o font en effet disparaître le terme constant de Téqualion (1) et réduisent l'équation (2) à un terme du second degré en ^De cette manière les vitesses deviennent simplement proportionnelles au temps «^t les longueurs décrites au carré des temps employés à les diicrire.

7. Accélération dans un mouvement quelconque. — Soient M et W{fig. 4) deux positions infiniment voisines d'un point mobile sur sa trajectoire; / et ^ -h ^^ les valeurs correspondantes du temps; i^ et ^'«- '»•