OB OA

Donc, puisque le point B décrit une trajectoire sensiblemeni rectiligne, il en sera de même pour le point M.

Le mouvement de ce point M sera déterminé en construisant simplement le balancier OD, le contre-balancier ou la bride O'C, assujettis à tourner respectivement autour des axes fixes 0, 0', et articulant à leurs extrémités C et D le lien rigide CD, de longueur constante. L'appareil se trouverait réduit à trois tiges.

Mais si Ton a gagné en simplicité sous ce rapport, on est tombé dans un inconvénient assez grave pratiquement; c'est que, à égalité d'espace occupé horizontalement par le balancier et la bride, l'espace parcouru en ligne droite par le point auquel on attache la tige du piston a diminué dans le rapport de OÏ) à OA, c'est-à-dire de moitié, si l'on se conforme aux règles de Watt. Aussi, pour cette raison, préfère-t-on employer le parallélogramme tel qu'il a été décrit au n» 73. Mais Watt a néanmoins utilisé la propriété du point M de décrire une ligne sensiblement droite, dans la construction de la machine à vapeur qui porte son nom ; en B il attachait la tige du piston recevant l'action de la vapeur, et en M il attachait la

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 317

tige d'un autre piston qui joue un rôle important dans la marche de la machine.

Du reste, on pourrait trouver sur la droite OB autant de points qu'on voudrait, décrivant des trajectoires semblables h celle de B. Si Ton construit, par exemple, le parallélogramme DD'K'K articulé en ses quatre sommets, en ajoutant simplement les deux tiges D'K', K'K à celles qui existaient déjà, on voit que le point M', constant sur la lige D'K', décrit une courbe ayant avec celle du point B le rapport d'homologie

ai)'

L'inspection de lay?^. 128 montre sans peine quels seraient, avec les règles de Watt, les rapports entre les dimensions d'un

balancier à bride. Le balancier ODit égal à -4 de la course du

piston attaché au milieu du lien CiD,» aurait môme longueur que le contrebalancier BoCi; le lien CjD, serait compris entre

la course du piston attaché à son milieu et les - de cette

course. L'angle 6 d'ouverture du balancier et Tinclinaison maximum du lien conserveraient les mêmes valeurs, savoir :

6=z2arctang77 et CiI)|I)j= — 7»

k pouvant être pris entre i et -•

Afin qu'on puisse bien se rondre compte du degré d'exactitude avec lequel les points M et B (fig. 122) décrivent des lignes droites, nous allons chercher les coordonnées variables de l'un de ces points, le premier par exemple, quand on fait varier la position du balancier. Soient OD, DC, O'C (fg. 124) le balancier, le lien et le contre-balancier; désignons par

/*, /, r' leurs longueurs;

X l'angle que OD fait avec la position moyenne Ox\ Y, £ les angles de DC et DO' avec la même droite Ojc; a l'angle O'DC;

ai8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

n le rapport entre la distance MD du point décrivant M à l'articulation D et la longueur totale DC = / du lien;

Fig. 12^.

b, c les coordonnées du centre donné 0' relativement à Ox et à

la perpendiculaire Oj menée en 0, savoir 6 = OH , c = O'H; X, y celles du point M ; u la distance de 0' à la droite DQ menée en D parallèlement

àOjr; z la distance O'D.

Nous aurons d'abord

M ~ c -+- /' sina, DQ =^6 — /• cosa,

O'Q c -h r sina

tange = -=^ = 7 ;

DQ b — FCOSOL'

de u et £ nous déduisons

sme

Dans le triangle DCO', le périmètre est r' 4- / -h ;;; en le désignant par 2/7, on a la relation connue

cos

on calcule ensuite Tangle ^ = o -+- e. puis les coordonnées ^

et/, savoir

j"= rcosat -h /l/cOSY,

)' =: — r sina -h ni sin^.

La valeur de a: serait seule utile pour constater Técarl entre la courbe réellement parcourue par le point M et la dr^^

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 219

qu'on suppose pouvoir lui être substituée. Après avoir calculé X pour une suite de valeurs de a suffisamment rapprochéesy sans dépasser la limite des oscillations du balancier, on prendrait les différences entre les valeurs obtenues pour x et la valeur particulière qui répond à a =z o.

Quand les dimensions sont prises conformément aux règles de Watt (n^ 73), Técart maximum varie un peu avec le rapport — T—z que Watt n'a pas déterminé d'une manière abso-

lue, mais pour lequel il a seulement indiqué des limites. Ce maximum est atteint pour a im4**4o' environ et a une valeur

à peu près égale, en moyenne, à — r- de la course du point M.

Dans l'hypothèse dont nous parlons, de dispositions conformes aux règles de Watt, le calcul ci-dessus peut être remplacé par un autre qui conduit approximativement au but d'une manière beaucoup plus rapide et donne l'expression de l'écart maximum, ainsi que l'équation de la courbe lieu des points M dans sa partie utile. Conservons en effet les notations précédentes, et nommons en outre

a' l'angle de O'C avec sa position moyenne, parallèle à 0^; o le complément de l'angle y, ?o ^^ valeur de çp quand OD et O'C font avec Ox leur angle maximum 0;

OT, m! les rapports t> t-> tous deux variables de — i à -m,

dans l'étendue complète d'une oscillation du balancier.

En observant qu'on a /• = r\ nous pourrons d'abord poser les relations

6 = r(cos/wô -f- cos/n'6) H- /sin<p,

c = /(sinm'ô — sin/n6) -h /cos<p;

et, attendu que les seconds membres doivent rester les mêmes dans la position moyenne pour laquelle on a /w = m'=o, ? = — <Po> Jl vient

(i) r(2 — cos/nô — cos/n'6) = /(sincp ~t-sintpo),

(2) r (sinmO — sin/n'6) ■=^ /(coscp — coscp^).

Si maintenant on compte les x à gauche d'une parallèle à 0/

menée par le milieu de Tabscisse b, Tabscisse du point M, moyenne arithmétique entre celles de C et D, aura pour expression

\ x^=i -[ rcosm'6 1 /*cosm6

(3) ^ ^^ f = -/(cosw'ô — cos/;i6).

La valeur de / satisfait de plus à la relation

(4) /sin?po= r{\ — cos6),

dont chaque membre représente la flèche de l'arc décrit par le point D dans son déplacement complet; en éliminant /au moyen de cette relation, les équations (i) et (2) deviennent

(5) sincpjj(2 — cos/n6 — cos/?i'0)=:(sin«p-hsinîpo)('-~ ^^s®^»

(6) sin<po(sin/w6-—sinw'é) i=(cos«p — cos«po)(i — cos6).

La dernière équation montre que (m — m') 6 est une quantité du troisième ordre relativement aux angles 6, 9, f©; nous

poserons donc

/w'= m — !JL,

|x étant du deuxième ordre. Si Ton développe alors les équations (3), (5) et (6) suivant les puissances entières de6,o,0oelft. en négligeant les termes du cinquième ordre et au-dessus, ce qui est justifié par la petitesse de ces quantités, on trouvera, toutes simplifications et réductions faites,

r^- \t-mr, m'cpo " - (? -^ ?o)» !^?o = ^ (?î — ^')^î de là résulte, par Télimination de {jl et de o,

formule qui fait connaître approximativement Técarl cherché X, en fonction du rayon r donné, des angles égalemeni donnés f© et 6, et de l'angle variable a défini par le rapport /w. Si l'on veut Téquation de la courbe décrite par M quand m varie de —i à 4-1, on remarquera que l'ordonnée de D au-

CINÉMATIQUE APPLIQUÉE. 32!

dessus de Ox est rsina ou à peu près rm6; celle ordonnée est aussi celle de M au-dessus de sa position moyenne, car la petitesse de l'angle <p fait que la projection de DM sur Oj est sensiblement constante. Donc, en comptanl les ordonnées / de M en dessus de la parallèle à Ox menée par la position moyenne dont on vient de parler, on aura

(8) j = /-mO,

et, par élimination de m enire les équations (7) et (8),

Comme on le voit, l'écart est nul pour / = o et 7 = dz 0/-, c'est-à-dire pour la position moyenne et les deux posilions extrêmes du point décrivant. Le maximum de cet écart se produit pour

-7-=! G ou .5x-— — ^=0;

en écartant la solution j — o qui annulerait jc, il reste les solutions

/=±:/-0y/-^-=±:o,7746/-e, auxquelles répondent les plus grands écarts absolus

(10) JC' =z ±ZO, 09290 'io 0' '*.

Ces écarts se produisent quand m a les valeurs ±0,7746, c'est-à-dire quand le balancier esi un peu plus qu'aux trois quarts de sa demi-oscillation à partir de Ojc.

Afin de réduire en nombres, autant que possible, la formule (10), nous y remplacerons 6 et ^q par leurs valeurs

0 = 2 arctangg = 0,330297, cpo= ^;

de plus, nommant L la course du point M, nous ferons

iaa PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

La formule (lo) devient alors

^'3iio,ooo43o-r = -ô— TTÎ

si A = I, récarl maximum est inférieur à -ir — de la course,

el il s'élève à de la même ligne pour Ar = -. La moyenne

entre ces extrêmes est bien — -zr- environ, comme on Ta déjà

dit.

La dérivée seconde -r-^ a pour expression, d'après l'équation (9),

elle s'annule^ et la courbe présente des inflexions, pour les points déflnis par les valeurs particulières

' = 0, j— zb/ôy/— =0,54

/wizio, m z=i 0,5477,

c'est-à-dire pour la position moyenne du point décrivant Mei celles qui répondent à peu près aux o,55 de la demi-oscillation du balancier, de chaque côté de 0^.

75. Parallélogramme de bateaux. — Pour les machines employées sur les bateaux à vapeur, on modifie un peu les

dispositions du parallélogramme de Watt ci-dessus décrites (n» 73). Dans le but d'arriver à une réduction de la hauteur totale occupée par la machine, on place le balancier OA (Jîg, 125) à la partie inférieure, ei l'on relie à un point fixe 0', pris sur le cylindre à vapeur, le point E du parallélogramme ABCD. La tige do piston est attachée en B. Si l'on joint OB, on voit encore que le point M où cette droite coupe CD ne varie pas sur ce

GINÉIIÀTIQUE APPLIQUÉE. 323

côté du parallélogramme, et que les points B et M décrivent des courbes semblables. Or, si Ton s'arrange pour que M soit voisin du milieu de DE, ce point décrit une courbe sensiblement droite dans une certaine étendue, car les trois droites 0D| DE, EO' constituent la combinaison du balancier à bride (n» 74). Donc B se meut aussi à peu près en ligne droite.

76. Parallélogramme de Peaucellier. — M. le général du Génie Peaucellier a imaginé une combinaison de pièces articulées, qui, sans présenter beaucoup plus de complications que le parallélogramme de Watt, permet de transformer le mouvement circulaire d'un balancier en un mouvement rigoureusement rectiligne. Le balancier OA {fig. 126), oscillant autour du point fixe 0, s'articule en A avec un losange articulé lui-même en ses quatre sommets; le sommet D est relié par une bride O'D au point fixe 0', tellement situé que 0 se trouve sur le cercle O'D, décrit

Fig. laG.

de 0' comme centre avec O'D pour rayon ; la bride est articulée en D et 0'. Enfin une seconde bride OC, de même longueur que OA, articulée en C et Q, relie le point C au point fixe 0. Le point B se trouve alors assujetti à se mouvoir sur une perpendiculaire à 00'.

Pour le démontrer, remarquons d'abord que, vu l'égalité ()Â = ÔC, la diagonale BD du losange est une perpendiculaire au milieu de la corde AC du cercle AO et passe par le centre O de ce cercle. Les triangles rectangles OAE, DAE donnent ensuite