LB

Or eu est aussi la vitesse angulaire du balancier, puisque OA et BF restent toujours parallèles; l'équation ci-dessus exprime donc la relation entre les mouvements du balancier et du piston.

Voici maintenant les règles établies par Watt pour tracer la Ogure et limiter les excursions du balancier, de manière à rendre sensiblement droite la trajectoire du point B. Soient OAo {fig' 123) la position moyenne du balancier, OA, et OA, ses positions extrêmes, symétriques relativement à OAo. Pour tracer les trois positions correspondantes du parallélogramme.

Wall prend d'abord les côtés AiD, et BiC, égaux à - OA,,

le côté AjB, compris entre la moitié et les trois septièmes de la corde A, A,; puis il place les trois sommets Bo, Bj, B, sur une perpendiculaire à OAq, menée par le milieu I de la flèche AG- Ces trois points s'obtiennent en décrivant de A©, A,, Aj

l'ig. ii3.

comme centres, avec Ai Bj pour rayon, des arcs de cercle coupant la perpendiculaire IBs; ils sont en ligne droite et équidi-

stants, car BqG, égale à .\«H, pour raison de symétrie, esi aussi égale à A,Bi et à AjB.; les figures AoB,BoG, GB,B,A!

sont donc des parallélogrammes, de sorte que BiBo = A,(j ) et BoB, =zGAî, comme parallèles comprises entre parallèles.

Il en résulte aussi que la course totale de la tige du piston, ou BiB„ est égale à la corde AiA*.

• L'angle ez=AoOA|, qu'on nomme angle d* ouverture du balancier et qui mesure l'écart maximum entre la position moyenne et Tune des positions extrêmes de celui-ci, se déterminera u moyen de ia condition, également posée par Watt, que 01 soit triple de A, G. On a, en effet, en désignant par a le rayon OA, du cercle décrit par l'articulation Ai,

donc

A,G=:<7sin6, 01= - a(i -hcosô);

H-cos6 r=6sin6 ou 2Cos*- 0 = 12 sin- Ocos- 0,

d'où Ton tire

tang-er=:;^, 0=zi8"55'28\ ^2 0

L'angle - 6 est égal à Tangle inscrit AqA, Ai ; donc

AaG = 7; AjG ^= — Al A2,

c'est-à-dire que la flèche de l'arc Ai Aq A, est — de la corde. En outre, le rayon a est égal à 01 -h ~ AqG — [3 + y^ )-^«^'

CniÉMÀTlQVE APPLIQUÉE. ai5

ce qui achève de définir les diverses lignes de la figure au moyen de AiG ou de la course BiB, qui est double de AiG. Ayant construit les deux positions extrêmes et la position moyenne du parallélogramme, Watt adopte pour cercle à faire décrire au sommet C celui qui passe par les trois positions Ci, Co, Cj. Nous allons démontrer qu'il a B© pour centre et le côté B^>Co du parallélogramme pour rayon. En effet, les deux droites BiCi et B,C,» égales entre elles, sont menées par deux points Bi, B,en faisant le même angle 90*»— 6 avec BjBj ; elles sont donc symétriques relativement à la perpendiculaire Bq Co au milieu de BiB,» et par suite cette perpendiculaire contient le centre de tout cercle passant par Ci et C,. Cela resterait

vrai alors môme qu'on aurait pris le rapport * ' différent de

-; le centre du cercle circonscrit au triangle CiCqC, pourrait alors varier sur BqCo. Mais supposons que, conformément

à la règle habituelle de Watt, on fasse A, Di = - OAi ; alors la

corde DiDs» parallèle à AjAst en est aussi la moitié. Les deux lignes CjDi et C,D, sont égales et parallèles, comme Tétant respectivement à A, Bi et à Ai B^; donc C,C, est égale et parallèle à DiDs, et par suite à BjBq et à BqBs. Donc les figures BqBiCiC,, BoBtCsCi sont des parallélogrammes, comme ayant leurs côtés verticaux égaux et parallèles; donc aussi B;cI=:Brcr = B^, et de môme B7c;=B;gI = B7C^. Le point Bq est donc bien le centre du cercle passant par Ci, Co» Cl, et le rayon est égal au côté BçC© du parallélogramme, ou à la moitié du rayon du balancier.

Remarquons enfin que Tangle Ao Bq I, c'est-à-dire le maximum d'inclinaison du lien sur BiB^, soit d'un côté, soit de l'autre,

a pour sinus -===•; or on a vu que AoI> moitié de la flèche

AoBo

AoG» est —7 Al A, ou — Ai G, et d'autre part que AoBo est une

fraction k, comprise entre - et i, de la môme ligne Ai G; donc on a

sinAoBoI:=-^>

2l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE DEUUÈIIE.

et, VU la petitesse de cet angle, on peut sans erreur notable le confondre avec son sinus.

74. Balancier à bride, — Le parallélogramme de Walt peul se simplifier par la suppression d'une partie des tiges articulées. Joignons en effet les points 0 et B {fig* 122) et considérons le point M où cette droite coupe le côté CD du parallélogramme; ce point est toujours, dans toutes les positions du système, le même point de la droite CD, car on a, en venu de la similitude des triangles ODM, OAB,

M!) = AB -=- = const. ; OA

de plus il décrit une courbe homothétique à celle du point B, puisqu'on a aussi

ÔM ÔÏÏ

= -^=r- = consl.