CHAPITRE PREMIER

PHÉLtlIINAinES SUR LES FURCUS KT LEL'R

S I. — Principes fondamentaux et conBequences imin qui B'en déduisant.

9i. Définition d' un point matériel. — On donne 1 point matériel à un corps de dimensions assez pel qu'on puisse regarder comme confondues entre ell les trajectoires des points géométriques renfermés volume. Tous les corps sont décomposables par la { éléments infiniment petils, dont chacun peut être i un point matériel.

Cette définition semble faire du point matériel u raison, car on sait bien que les corps de la nature décomposables en parlicules extrêmement ténues, pas susceptibles de se diviser à l'infini. Mais nous d rons plus tard qu'il existe dans un système maté: conque un point dont le mouvement est le même qu la matière du système y était condensée; en ne co que ce point, un corps de dimensions quelconques. Soleil ou un astre encore beaucoup plus volumineux un simple point matériel. La notion du point matéri ainsi ce qu'elle parait avoir d'un pou abstrait au abord. Elle est d'ailleurs fort utile en ce qu'elle p simpliQer le problème, très compliqué, consistant :

25o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

le mouvement d'un corps sous l'action de causes données; après avoir négligé les dimensions du corps et s'être ainsi fait une idée de son déplacement dans son ensemble, on pourra reprendre la question pour voir comment se meuvent individuellement les diverses parties qui composent le tout.

Cette définition étant donnée» nous pouvons aborder l'étude des principes fondamentaux sur lesquels repose la Dynamique, non seulement du point matériel, mais aussi celle des systèmes de points et, par conséquent, des corps absolument quelconques. Ces principes, au nombre de trois, ne sont pas actuellement susceptibles de se démontrer par le raisonnement et ils ne se prêtent guère à une vérification expérimentale immédiate : ce sont des postulata admis a priori, et que l'on regarde comme suffisamment justifiés par l'exactitude des conséquences plus ou moins éloignées qu'on en déduit par des raisonnements rigoureux.

93. Premier principe : Inertie de la matière. — Ce principe consiste en ce qu'un point matériel libre ne peut, de luimême et sans l'intervention d'une cause extérieure, passerdu repos au mouvement ou changer le mouvement qu'il aurait précédemment reçu. Si aucune cause extérieure n'agit sur un point, ce point, supposé d'abord immobile, persiste indéfiniment dans çon immobilité; si, par l'effet d'une cause extérieure, il a pris un mouvement et qu'à partir d'un certain instant cette cause cesse d'agii*, le mouvement ne se modiûera plus à partir du même instant et conservera toujours la même vitesse en grandeur, direction et sens, de sorte qu'il sera rectiligne et uniforme.

On nomme force la cause dont il s'agit, en vertu de laquelle un point matériel libre cesse de persister dans l'immobilité ou dans le mouvement rectiligne et uniforme.

94.. Des forces et de leur mesure, — L'expérience de tous les jours nous rend familière la notion de diverses forces. Ainsi, nous savons que les corps abandonnés à eux-mêmes au-dessus du sol tombent en obéissant à l'action de leur poids; que l'homme et les animaux développent des forces et communiquent le mouvement par la contraction de leurs muscles;

NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LES FORCES. a5l

nous connaissons aussi les forces produites par les courants liquides ou gazeux, par Télectricité, le magnétisme, l'élasticité, etc. Malgré la diversité de leurs origines, toutes ces forces, et celles que Ton pourrait énumérer encore, ne se distinguent pas au point de vue de la Dynamique; nous y voyons toujours, conformément à la défînition ci-dessus donnée (n'» 93), des causes capables de modifier l'état de repos ou de mouvement d'un point matériel, et émanées de corps extérieurs à ce point.

Une force, quelle que soit sa grandeur, agissant sur un point matériel libre et primitivement immobile, le met toujours en mouvement; mais le contraire peut avoir lieu si le point est soumis à des obstacles, car de ces obstacles peut naître une autre force capable d'annuler l'effet de la première. Par exemple, un point pesant suspendu à un fil de direction verticale, ou placé sur un plan horizontal fixe, ne pèse pas moins et éprouve toujours l'action de son poids; néanmoins il ne tombe pas, parce que le fil ou le plan de support donne naissance à une force égale qui agit contrairement à la première. La force exercée sur le point matériel en vertu de la pesanteur ne le met plus en mouvement, mais elle produit alors un autre effet; elle fait éprouver à l'obstacle ce qu'on nomme, suivant les cas, une tension ou une pression. Dans les exemples que nous venons de donner, on dit que le fil est tendu et que la table est pressée.

Il y a plusieurs choses à distinguer dans une force, savoir :

1* Son point d'application; on nomme ainsi le point matériel sur lequel elle agit ;

2" 5a direction et son sens; par définition, la direction et le sens d'une force sont les mômes que ceux du mouvement communiqué par elle à son point d'application, en supposant celui-ci parfaitement libre et en repos initial;

3<» Son intensité; nous savons bien clairement qu'une force est susceptible d'augmentation et de diminution, que c'est par conséquent une grandeur capable de se traduire en nombres, au moyen d'une unité conventionnelle; la grandeur d'une force se nomme ordinairement son intensité.

Nous n'avons pas l'intention de faire connaître ici les meilleurs procédés pratiques pour évaluer les intensités des forces

naturelles; mais il importe de faire concevoir nettement U possibilité de cette évaluation, aOn que nous soyons autorisés à soumettre les forces au calcul et à les faire entrer dans les formules analytiques, avec autant de raison que les longueurs, les temps, les vitesses et généralement toutes les quantités capables de s'exprimer par des nombres. Nous raisonnerons d'abord sur les poids des corps, et nous étendrons ensuite ce que nous en aurons dit à des forces d*origine quelconque.

Lorsqu'un corps pesant est empêché par un obstacle de se mettre en mouvement sous l'action de son poids, on a vu que ce poids, ne produisant plus de mouvement, engendre une tension ou pression sur Tobstacle. La tension ou pression produit à son tour sur cet obstacle un effet particulier, souvent insensible à Tœil à cause de sa petitesse, et dans d*autres circonstances parfaitement visible et mesurable avec exactitude : cet effet consiste en une certaine déformation ou altération des dimensions primitives. Supposons, par exemple, que l'obstacle soit une lame d'acier suffisamment flexible, placée horizontalement et encastrée dans un mur par l'une de ses extrémités; un cot*ps suspendu à l'autre bout détermine un abaissement notable de son point d'attache. Cela posé, on peut prendre pour unité le poids d'un corps déterminé (A); tout autre corps qui, attaché à l'extrémité de la lame d'acier, produira le môme abaissement, aura également une intensité exprimée par i, puisqu'il produit le môme effet que (A) dans les mômes circonstances. On se procurerait ainsi aulanl de poids qu'on le voudrait, ayant l'intensité i; réunissant ensuite en un seul corps 2, 3, 4, • • . de ces poids égaux, on formerait des poids qu'on regarderait, par définition, comme ayant les intensités a, 3, 4> •••• Inversement on peut imaginer le corps (A) subdivisé en un nombre k de parties B ayant des poids égaux, l'égalité se constatant toujours par l'identité de la flexion produite sur la lame d'acier; chacun de

ces k poids aurait l'intensité -r' Maintenant, si l'on veut obtenir l'intensité P du poids d'un corps (C) quelconque, après avoir constaté la flexion qu'il produit sur la lame d'acier, on fera naître une flexion identique en suspendant un corps formé de m corps égaux à (A) et de n corps égaux à B, w

HOTIOIIS PBËUHINAItlES SUK LES POUCES.

et n désignant dos nombres entiers obtenus par un tit ment expérimental. On aurait alors

et, si ^ est suffisamment grand, on aura par ce moyc mesure de P tJiéoriquemenl aussi exacte qu'on voudra

L'expérience monlre que la flexion produite par un corps sur une même lame n'est pas la même dans 1 dans le vide; elle varie aussi avec la latitude du lieu de ralion et sa hauteur au-dessus du niveau de la mer. donc, pour donner une définition précise de l'unité de indiquer non seulement le corps dont on prend le poid unité, mais aussi l'existence du vide ou d'une almoi autour de ce corps et le lieu où il est supposé plai France, l'unité ordinairement adoptée est le poids d'ur mèlrc cube d'eau distillée à la température de ^",1, d vide, a Paris et au niveau de la mer. On sait que ce p( nomme le kilogramme. On emploie également les sou liples de dix en dix fois plus petits dont tout le mondi naît les noms. Pour les poids considérables, on fait usi /fuintal métrique, valant too^s, ou de la tonne, qui e 1000. Les variations du poids d'un même corps, suiva circonstances dontnous venons de parler, sontd'aillcur petites, et on les néglige ordinairement dans les questi .Mécanique usuelle.

Lorsqu'il s'agit d'une force aulre qu'un poî Is, on pet f'iiicr qu'on atlacbe son point d'application à l'cxIi d'une lame élastique disposée perpendiculairement à rection de la Torce, de manière à empêcher le mouvcm ce point et à produire une certaine déformation. Si 1' termine ensuite la même dérormulion au moyen d'uti ailaclié au mémo point et agissant encore dans lu dir perpendiculaire à la lame, on regardera ce poids c possédant la même intensité que lu force; celle-ci sera tout aussi bien que le poids, exprimable par un c nombre eiilior ou fractionnaire do kilogrammes.

On représente souvent les forces par des lignes droit porte, à partir tlu point d'application de chaque fore

DECXifaU PAITII. — CHAPITIE niESm.

droite de même direction et de même sens, faisant de plos connaître par sa longueur l'intensité de cette force.

95. Deuxièxe PII5CIPB : Égalité de l'action et de la réaction. — Toute force agissant sur un point matériel A émane d'an autre point matériel B; en même temps B est soumis à Faction d'une force émanée de A. Ces deux forces sont égales et contraires et dirigées suivant la droite AB; elles constiloenl ce qu'on appelle V action et la réaction; on dit qu'elles soat attractives ou répulsives, suivant qu'elles tendent à rapprocher les deux points l'un de l'autre ou à les éloigner.

On doit à Newton l'introduction de ce principe dans la Science.

96. TaoïsifeSB principe : Loi de l'indépendance et de la composition des ejfets des forces sur un point matériel libre, pouvant posséder une vitesse antérieurement acquise. — Ce principe, dont la première notion est due à Galilée, se résume d'abord dans l'énoncé que voici :

Une force agit sur un point matériel libre, en mouvement et déjà soumis à d'autres forces, absolument comme elle agirait si elle était seule et si le point était en repos initial.

Mais il convient d'ajouter à cet énoncé quelques explications et commentaires pour en faire bien comprendre la signification. Supposons d'abord le point matériel libre A parcourant la trajectoire AqAA' {fig. i48), en vertu d'une vitesse initiale

('o et de l'action de diverses forces, F, F,, ... , Frt i ; imaginons un système d'axes A^, A^*, kz se transportant parallèlement à eux-mêmes et dont l'origine coïncide toujours avec le point mobile A. Si Ton fail agir sur le point A une nouvelle force Frt, à partir de la position de Ao, il prendra un mouvement différent et ne restera plus en repos relatif par rapport au système d'axes; mais son mouvement par rapport à ce système, depuis l'époque où il se trouvait en

Kig. i48.

; PBËLEMINÀIRBS SUK LES FOBCES.

AE,, sera celui qu'il aurait reçu, si la force F„ eût agi se sur lui, ce point étant pris sans vitesse initiale, dans la pc tion Ag.

Nous allons maintenant appliquer la proposition ainsi f mulée, en imaginant qu'on introduise successivement tou les forces qui agissent sur le point, ce qui va nous conduir un énoncé de forme différente, quoique équivalent pour fond. Alin de faciliter le langage, nous appellerons (M^) mouvement rectiligne et uniforme avec la vitesse vt; (i (H,), . ..,(Hn) les mouvements que le point matériel, d'ab< placé en Ao sans vitesse initiale, prendrait respectivement, vertu de chaque force F, F,, . . ., F„, agissant toute seule l'exclusion des autres.

Imaginons que le point possède en A, la vitesse Cq et ne s soumis à aucune force; alors (n" 93), cette vitesse devra conserver invariable et le point sera immobile par rappor un système d'axes (S,,), animé d'un mouvement de translati égal à (M,). Si nous faisons agir la force F, le point aura mouvement relatif (M) par rapport à (Sg); son mouvemt absolu résulterait donc de la composition du mouvement i latif (M) avec le mouvement d'entraînement (M«), et parce séquent le point serait immobile dans un système (S) anii d'une translation obtenue en composant (M,) avec (M). nous faisons ensuite agir la force F,, le mouvement absolu point résultera pareillement du mouvement relatif (M,), coi posé avec le mouvement d'entraînement de (S), ou bien ( qui revient au même), il sera immobile dans un système (S animé d'un mouvement de translation résultant des mouv menls (M,), (M), (M,), et ainsi de suite. En introduise toutes les forces les unes après les autres, jusqu'à F^ indu vement, on arriverait Tmalemeut à voir que le mouveme absolu du point, tel qu'il se produit réellement, résulte de composition des mouvements (Mo), (M), (M,), .,.,(M„),1 mouvements d'entraînement successifs étant tous considéi comme des translations. Conformément à la tliéorie des mo vemcnts composés d'un point (n°* 27, 28 et30), on conclut là les propositions suivantes :

Si un point libre, animé de la vitesse c, à l'époque t„, i sollicité, à partir de cette époque, par diverses forces, son o

placement absolu, pendant un temps quelconque t — t^ commençant à la même époque, sera la résultante ou somme géométrique des déplacements qui auraient lieu : i* e/i vertu de la seule vitesse Çq; a* en vertu de l'action de chaque force appliquée seule, pendant le même intervalle de temps et sans vitesse initiale,

La vitesse du point, à un instant quelconque de r intervalle t — tQfSera la résultante de (^^ et des vitesses qui auraient lieu à l'instant considéré dans les mouvements produits par V action isolée des diverses j or ces depuis V époque t^, chacune étant toujours supposée appliquée au point matériel primitii'ement en repos. Enfin V accélération totale absolue du point sera la résultante des accélérations totales dans ces mêmes mouvements produits par les forces agissant isolément (*).

Le principe de rindépendance et de la composition des effets des forces renferme plusieurs conséquences immédiates très importantes, que nous allons développer.

97. Mouvement produit sur un point matériel libre par une force constante en grandeur, direction et sens, — Supposons d'abord le point en repos initial, et considérons le temps comme partagé en éléments infiniment petits, dt^^dt^y dt^,,.. se succédant d'une manière continue et tous d'égale durée. Pendant l'un quelconque de ces éléments, si la force agissait sur le point partant du repos, elle lui communiquerait une certaine vitesse e, dans sa propre direction et son propre sens, et cette vitesse sera évidemment toujours la même, puisqu'elle est l'effet d'une môme cause placée dans des circonstances identiques. La vitesse aura donc la valeur £ à la fin du temps di^; pendant le temps dt^^ e peut être considéré comme vitesse initiale, devant se composer, en vertu du principe précédent, avec la vitesse égaleproduitepar laforce, ce qui donne en loui 2 £ à l'instant final de dt^; de môme nous aurons, au commencement du temps* â^^3, la vitesse initiale 2£ recevant pendant ce temps le même accroissement e, par l'effet de la force, en vertu du môme principe, de sorte que la vitesse sera devenue

(•) Dans la recherche de l'arcélération, le mouvement (M,) u'csl pas* considérer, il donnerait une composante nulle.

NOTIOMS PRÉLUINAIRBS SUR LES FORGES. 25j

3& à la fin de di^, et ainsi de suite. La répétition d'un raisonnement identique nous montrerait Taccroissement uniforme delà vitesse avec le temps; le mouvement dont il s*agit est donc uniformément varié. De plus il est rectiligne, parce que la vitesse, dont la valeur initiale est nulle, se forme uniquement par l'addition successive d'un certain nombre de ces accroissements e, ayant toujours la direction et le sens de la force : il n'y a donc pas variation dans la direction de la vitesse, propriété qui appartient exclusivement au mouvement rectiligne.

Soit / l'accroissement constant de la vitesse dans l'unité de temps, c'est-à-dire l'accélération du mouvement (n® 6); l'origine du temps étant supposée placée au commencement de l'action de la force, on aura pour valeur de la vitesse i^, à une époque quelconque,

et par suite, pour l'espace a^ parcouru pendant le même temps,

Supposons maintenant que le point possède déjà une vitesse initiale Vq de direction quelconque, à l'instant où commence l'action de la force. Prenons trois axes coordonnés dont l'origine coïncide avec la position initiale du point, l'axe des x avec la direction de la force, l'axe des / avec la vitesse ('o» ie troisième axe étant d'ailleurs quelconque (Jig. i49)-

Comme on vient de le voir, si la force agissait sur le point primitivement en repos, elle lui ferait parcourir dans le temps /,

suivant l'axe des x, une longueur OM' = - Je* ; d'autre part,

si la force était supprimée, la vitesse (^o subsistant seule, le point se déplacerait suivant l'axe des y et parcourrait dans le même temps t une longueur 0M' = v^t. D'après le principe de la composition des effets (n"" 96), on aura le déplace-

BuiM. — Cours de Mde* I. 17

a58 DEUKIÈMB PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

ment absolu du point en prenant la résultante géométrique de ces deux déplacements partiels, c'est-à-dire qu'après le temps t le point aura passé de l'origine 0, position initiale, au sommet M du parallélogramme construit sur OM' etÔM*. On aura donc ses coordonnées en fonction du temps

L'élimination de t entre ces équations donne les équations de la trajectoire, savoir

On voit donc par là :

I® Que la trajectoire est une parabole contenue dans un plan mené par la force et la vitesse initiale ;

2° Que l'accélération totale de ce mouvement parabolique est égale à celle du mouvement rectiligne qui aurait lieu sous la seule action de la force, en supprimant la vitesse initiale.

L'accélération totale se réduit en effet ici à -j^ =:j, puisque

rrr ©^ -^-5- sont nulles (n» 16).

Dans le cas particulier où les directions de la force et de la

vitesse initiale coïncideraient, les longueurs -jt* et ç^t de-

vaut alors être portées suivant une même ligne, Ox par exemple, le mouvement deviendrait rectiligne et uniformément varié; son équation serait

a: := VqI -\ — jr,

Mm

98. Proportionnalité des forces aux accélérations quelles donnent à un même point matériel. — Soient F ei F' deux forces; leur rapport, quelle que soit sa valeur, pourra toujours s'exprimer, avec telle approximation qu'on voudra, par celui de deux nombres entiers p et ^, de sorte que