OT10NS PRÉLIMINAIRES SUR LES FORCES

hauty pour le signe à donner à chacun des deux facteurs F/> et^.

Le moment d'une force par rapport à un axe est une quantité complexe qui, comme le travail, se présente souvent dans les théories de la Mécanique, et il est bon d'en faire connaître dès maintenant quelques propriétés essentielles.

103. Moments desjorces. — Plusieurs forces 0> Qi> Qj» • • • étant appliquées à un même point M, supposons qu'on en cherche la résultante R (n^ 100), et qu'on l'applique également en H; imaginons ensuite que le point M ait un mouvement, réel ou fictif, de rotation autour d'un axe 0;;. Soient

d^ l'angle infiniment petit décrit par M dans sa rotation, à partir de sa position actuelle ;

'^9 Py Pu Pu ' " les plus courtes distances respectives (nommées aussi bras de levier) entre l'axe et les forces R, Q,

Qi» Qï> • • • ; H la projection de R sur un plan perpendiculaire à 0^, et

F, F,, F„ ... celles de Q, Qi, Qi, . . . sur un plan de même

direction.

Par application du premier et du dernier théorème établis (n* 102) au sujet du travail des forces, on peut écrire l'équation

VLrd^ =^ ¥pd^ -f- F^p^d^ -4- Ftp^d^

en ayant égard, bien entendu, à la règle concernant le signe de chaque moment {n^ 102). Cette équation, après la suppression du facteur commun d^, se traduit par Ténoncé suivant :

Théorème. — Le moment, relativement à un axe, de la resultante de plusieurs forces appliquées au même point est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

Cette propriété est connue sous le nom de théorème de Varignon (*). Il est clair d'ailleurs qu'elle existerait toujours si l'on imaginait que les forces fussent remplacées par d'autres quantités de nature différente, comme des longueurs, des vitesses, etc., pourvu que ces quantités substituées aux forces

(') Géomètre français, de Caen, né ea i654) mort en 173a,

fussent représentées par les mêmes droites, en position, grandeur, direction et sens.

Moments d'une force relativement à trois axes coordonna rectangulaires, — Soient Ox, O7, 0^ (7^^- i^^) trois aies rectangulaires relativement auxquels on veut avoir les moments d'une force F, appliquée au point M défini par les coordonnées X, /, z. D'après le théorème de Varignon nous pouvons remplacer la force par ses trois composantes X, Y, Z parallèles aux axes, égales (n^ 101 ) à ses projections sar ces

mêmes axes; le moment de F

Fiff. i52.

par rapport à Tun quelconque de ^1 5 ç ces axes sera la somme des mo-

' //^; ments de X, Y, Z. Pour en faire

g^' I LlL J__^ 1® calcul, construisons d'abord I "'""";/> px yn parallélépipède MABCDEGO ! J ^ I • formé par les plans coordonnés

; /^ , -''^ * ^ ^^ P*^ ^^^^^ plans parallèles me-

]Z y nés en M. Les arêtes de ce pa-

/ rallélépipède seront respeclive-

^ ment égales aux coordonnées

^9 ff ^' Cela posé, on voit : i<> que le moment de X relativement à 007 est nul, parce que X a une projection nulle sur le plan perpendiculaire 7O 5; a» que le moment de Z estZ/, parce que la force Z se projette en vraie grandeur suivant le prolongement de la droite GE, à la distance ÔiS =/ du point 0 ; 3* que le moment de Y est égal, en vertu d'un nisonnement tout semblable, à — Y s, avec un signe contraire à celui du précédent, parce qu'il tend à faire tourner en sens contraire. Il résulte de là que le moment L de la force F relativement à 0 o; est donné par la formule

On trouverait de même, et l'on peut obtenir par une permutation tournante, les moments par rapport aux deux autres axes; en les désignant par N et Q, on aurait

^=Xz---Zx, Q = Yo7-X/,

KOTIONS PReLUlKÂIRBS SUB LES FORCES.

Remarques. — On a VU dans le cours de la démonslr précédente que le momenl d'une force est nul relative à un axe parallèle, parce que la projection de la force si plan peipendiculaire à l'a\e devient elle-mâme nulle général, le moment est égal au produit de cette projeciio la plus courte distance entre l'axe et la force; il peut s'annuler aussi quand le second facteur devient nul, i à-dire quand la force rencontre l'axe. On renferme les cas dans un même énoncé en disant que le moment s'ar quand la force et l'axe sont dans uq même plan. La proque est également vraie, car un moment ne peut de nul sans qu'un des facteurs le soit, ce qui exige le pai lisme de la force à l'axe ou la réduction de leur moindre tance à zéro.

En choisissant le sens positif du momenl autour de ch axe, on a pris :

Pour l'axe Ox, celui d'une rotation de Oy vers Os;

Pour l'axe 0/, celui d'une rotation de Os vers Ox;

Pour l'axe 0-, celui d'une rotation de Qx vers Oy.

On constate dans chaque ligne que cela revient à s l'ordre x, y, z, x, y, en commençant successivement à la mière, la seconde et la troisième lettre. Conformément usage presque toujours suivi, les axes de la yîg'. 1 5a se trot d'ailleurs tellement disposés que les sens ainsi défmis ceux des rotations positives (ou des aiguilles d'une mo pour un observateur ayant les pieds en O et la tête su sivement en x, y, s.

Axe représentatif d'un moment, — Le moment ( force F étant supposé pris relativement à un axe pig , Ou <Jlg. i53),onporte, à partir du point 0 choisi «, arbitrairement sur l'axe, la longueur OK, qui, | mesurée à une échelle déterminée, serait nu- k| mériquement égale à la valeur absolue du mo- | ment. De plus on porte cette longueur dans un sens tel, qu'un observateur ayant les pieds en 0 "^ et la tête en K verrait la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe, tendant à (aire tourner son point d'application dans le sens de

guilles d*une montre. La droite finie OK est dite axe représentatif du moment; elle définit les seules choses qu'on ail généralement intérêt à connaître au sujet du moment représenté, savoir : la droite par rapport à laquelle il est pris, sa grandeur et son sens. Mais on ne pourrait pas, évidemmeot, retrouver la force elle-même.

Relation entre les moments d'une même force, par rapport à tous les cures issus d'un même point. — Soient F la force {fig^ 154), M son point d'application, 0^; Tun quelconque des axes issus de l'origine commune 0, Ou celui de ces axesdool la direction est perpendiculaire au plan OHF, mené par le

point 0 et par la force. Le moment de celle-ci relativement à Om (ou relativement au point O) sera le produit de la longueur MF par la perpendiculaire abaissée de 0 sur cette ligne ; il sera donc égal au double de Taire du triangle OHF. On peut le représenter, conformément à la convention ci-dessus indiquée, par une

longueur OK portée sur 0 u dans un sens convenable. Pour avoir maintenant le moment de F par rapport à 0;;, on projettera le triangle OMF sur un plan perpendiculaire à cet axe,^ O'M'F', et Ton prendra le produit de la force projetée M'F' par sa distance à 0\ ce qui donnera le double de l'aire O'M'F'. Représentons encore ce moment par un axe OK' porté sur O^ dans le sens voulu, et nommons K et K' je£ moments relativement à Ou et à O-s, ou les longueurs OK et OK'; a l'angle des deux pians OMF, O'M'F', égal à l'angle KOK' de leurs normales. Il résulte de ce qu'on vient de dire qu'on a Tégalilé

K' = 2.0'M'F' = a.0MFcosa=:Kcosa.

Ainsi donc le moment relativement à 0^ se déduit du moment relativement à l'axe particulier 0 a en multipliant ce dernier par le cosinus de l'angle des deux axes; ou bien encore l'axe représentatif OK' du premier moment est la projection orthogonale de l'axe OK du second.

Une longueur étant toujours plus grande que sa projection