NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LES FORCES

parcouru par la projection de la force sur la tangente à cet élément.

Si Ton considère un déplacement fini du point entre les positions qui répondent aux valeurs 5o et ^1 de la variables (celleci devant passer de ^o à 5i), on appelle travail de la force ap-

F cosa ûlls, c'est-à-dire

la somme des travaux élémentaires, pris chacun avec son signe propre. L'intégration indiquée se fait d'ailleurs immédiatement dans un cas particulier assez fréquent, celui où la force reste constante en grandeur et direction; le travail fini est alors égal, comme le travail élémentaire, au produit de la force par la projection, sur sa direction propre, du chemin résultant que son point d'application a parcouru.

Le travail des forces joue un rôle important dans les théories de la Mécanique rationnelle et aussi dans la Mécanique pratique. Il est bon d'en établir par avance quelques propriétés dont nous aurons souvent à faire usage, et qui se présentent comme des conséquences presque immédiates de sa définition.

Tbéorème. — La somme algébrique des travaux de plusieurs forces appliquées au m.ême point est égale au travail de leur résultante.

En effet, si Ton projette sur la direction de l'élément ds de trajectoire, d'abord la résultante R, et ensuite les composantes FjF,, Fj, . .., on aura (n* 101)

Rcos(R, ûfe) r= F cos(F, ds) H- Fj cos(Fiû!5) -+- Fj cos(F„ ds) + ...;

multipliant ensuite les deux membres par dsy on trouve une égalité qui n'est autre chose que. l'expression de l'énoncé du théorème, dans le cas d'un déplacement infiniment petit; il suffit ensuite de prendre l'intégrale définie des deux membres pour passer au cas d'un déplacement fini.

Théorèxb. — Le travail d'une force, dans un déplacement élémentaire pouvant se décomposer en plusieurs autres déplacéments, est égal à la somme algébrique des travaux de la même force dans les déplacements composants.

Soient da^ c/cr,, c?<t„ . . . divers chemins inQnimenl pelils, dont la résultante géométrique est égale en grandeur, direction et sens à l'élément ds de la trajectoire d'un point matériel. En projetant ces lignes sur la direction de la force F appliquée au point, on aura (n* 11)

dscos{F,ds)

• z=:dtJC0S{F,d9) H-û?<rtCOS(F, ûfdj) + ûf(J,C0S(F, rfcr,)"^"-»

équation dont le produit par F n'est autre chose que la traduction algébrique du théorème.

Expression du travail élémentaire d'une force en coordonnées rectangulaires. — Décomposons la force F en trois composantes X, Y, Z parallèles à des axes rectangulaires Ox, Oy, Oz et l'arc élémentaire ds en ses trois projections <ir, dy, dz sur les mêmes axes. Par application du second théorème précédent, le travail de X se réduit à \dx, car il est nul dans les deux déplacements perpendiculaires dr et dz; de même les travaux de Y et Z sont respectivement Ydy et Zdz. Appliquant alors le premier théorème, on en conclut que le travail élémentaire de F a pour valeur totale \dx-i-Ydy-hZdz.

Fig. i5o.

Travail d'une force dans la rotation de son point d'application autour d'un axe. — Supposons d'abord la force contenxie dans un plan perpendiculaire à l'axe; soit 0 {fg-^^) la projection de l'axe sur ce plan, qnc nous prendrons pour plan de la figure, F la force, M son point d'application. Si ce point décrit un élément de chemin iVÏM', répondant à une rotation infiniment petite MOM'= d^ autour de 0, I^ travail élémentaire dT de la force F sera donné par l'équation

cfT = F X HM^cosFMM' = F x OMc/0 x cosFMM'.

Or l'angle FMM' est égal à celui que le rayon OM, perpendiculaire à MM', fait avec la droite OP, perpendiculaire à F;

NOTIORS PBËLIHIHAIRBS SDR LES FORCES.

donc, en nommant p la longueur OF, on a

ÔM cosFMM'= Oia cosMOP =/», et, par suite.

Le produit Yp d'une force F par sa distance à un axt lui est perpendiculaire se nomme son moment par rappi cet axe; la distance p se nomme souvent le bras du levie la force, sans doute parce que la considération du mor s'est d'abord présentée dans la théorie du levier. Sou aussi, oubliant pour ainsi dire l'existence de l'axe, on noi le produit Fp moment de la force par rapport au point 0 peut dire alors que, si un point matériel tourne autour i axe ou d'un centre, une force agissant sur ce point et tenue dans le plan du cercle qu'il décrit fait un travail mentaire égal au produit de son moment par le déplacer angulaire correspondant. Afin d'abréger l'énoncé, on s entend que le moment est pris par rapport à l'axe ou ce de la rotation. Si l'on veut en outre avoir le travail élén taire avec son signe, el non pas seulement en valeur absc voici ce qu'on pourra faire. Un mobile étant censé parct la ligne MF dans le sens de la force, un rayon vecteur gnanlce mobile avec 0 tournerait dans un sens délern; qu'on regarde comme étant celui dans lequel la force F i faire tourner son point d'application autour de l'axe adopte alors un sens conventionnel quelconque pour lei tations positives, et l'on donne le signe -f- ou le signe — deux facteurs Yp et d^, suivant que la rotation qui répo chacun d'eux est dans ce sens ou dans le sens opposé. I facile en effet de reconnaître que, si la force F tend à i tourner dans un sens identique à celui de la rotation d travail élémentaire est positif, et qu'il deviendrait néga ces deux rotations étaient de sens contraires.

Admettons maintenant que la force ait une direction t] conque et qu'elle ne soit plus contenue dans le plan du c( sur lequel se déplace son point d'application, c'est-à-dire ( un plan perpendiculaire à l'axe. Soient Oz l'axe ijig. i5i la force agissant sur le point M, MM'M' la trajectoire di

Okw ' \/

point, contenue dans un plan perpendiculaire kOz mené par le point 0. De Textrémité A de la force Q (') abaissons la perpendiculaire AB sur le plan OMM% laquelle détermine la projection MB = F de Q sur ce pian, et achevons le recUnglc

Fig. i5i. MBAC dont MB et BA sont deux côlés.

^ La force Q peut être regardée comme la résultante (n* 100) de la force F et d'une autre force /= MC, toutes deux appliquées au même point M; donc (n*l(fâ) B le travail de Q est la somme des travaoi de F et de /, et comme le travail de/ est nul, parce que cette force est perpendiculaire au déplacement, il en résulte que les travaux de Q et de F sont égaux. Par suite, si Ton abaisse de 0 la perpendiculaire OP =/? sur la force F, le travail cTT de R dans le déplacement élémentaire MM' s'exprimera, d'après ce qu'on vient de voir, par la formule

Le produit Fp de la projection d'une force Q sur un plan perpendiculaire à l'axe 0^ par la distance de cette projection à l'axe (laquelle n'est autre chose que la plus courte disrance entre l'axe et la force) se nomme moment de la/orceQ par rapport à Vaxe Oc; cette définition convient également dans le cas où la force et l'axe ont leurs directions perpendiculaires, et se confond alors avec celle qu'on a donnée spécialement pour ce cas. Nous dirons donc d'une manière générale que :

Le travail élémentaire (Tune Jorce, dans la rotation de son point d'application autour d'un axe, est égal au produit du moment de la force relativement à l'axe par l* élément d'angle décrit en vertu de la rotation.

On doit d'ailleurs se conformer à la règle énoncée plus

(') Rigoureusement, il faudrait dire : rextrémité A de la ligne MArfprésentative de la force Q. La dislinction entre une force et la ligne qt» la représente doit toujours rester présente à l'esprit, mais il cooTicnt del» supprimer dans le langage, qui autrement deviendrait lourd et pénible.