APPLICATIONS

§ I. — Théorèmes généraux.

loi. Équations différentielles du mouvement d'un point libre, — Lorsqu'un point malériel libre M, de masse /n,subii l'action d'une force unique F constante en grandeur, direction et sens, on a vu (n** 97) que Taccélération totaley de son mouvement conserve toujours la direction et le sens de la force, et que sa grandeur, également constante, est liée à celle de la force par la relation (n* 99)

F =: mj.

Cette relation resterait également vraie pour chaque élément infiniment petit dt du temps, si la force devenait variable en grandeur, direction et sens, pourvu seulement qu'elle le fût d'une manière continue; car on pourrait alors la regarder comme constante pendant l'intervalle dt^ avec une erreur qui décroît indéfiniment avec dt jusqu'à la limite o. De plus on peut toujours en faire usage, quel que soit le nombre des forces appliquées au point, puisqu'on peut ramener ces forces à une seule, capable de produire le même effet (n"» 100).

Imaginons maintenant qu'on projette le point mobile, son accélération et la force sur un plan ou sur un axe, la projection étant faite dans le premier cas parallèlement à une droite fixe, dans le second parallèlement à un plan dire^ teur; la projection aura pour résultat, à chaque instant, d'altérer les deux longueurs / et F dans le même rapport, de

DYNAMIQUE DU POINT HATÉiaEL. 276

sorte que, en nommant y' et F' leurs projections, on aura encore

(I) F=my'.

Or on sait (n* 16) que y' est l'accélération totale du mouvement projeté; si donc on attribue au point M', projection de H, la même masse qu'à celui-ci, on pourra dire, en vertu de la dernière équation, que la force capable de produire Taccélération du point projeté est égale à la projection de la force He l'esoace.

Après avoir pris trois axes coordonnés quelconques Ox, 0/, Oz, on peut appliquer la même équation F'^^mf aux trois mouvements projetés sur ces axes, la projection étant faite sur chacun d'eux parallèlement au plan des deux autres. Oo a vu (n® i6) que les trois projections de l'accélération totale y sont alors

1?' li^' dF'

Si donc on nomme X, Y,Z les projections correspondantes delà force F, dans les mêmes conditions, c'est-à-dire les arêtes d'un parallélépipède construit sur F comme diagonale avec ses faces parallèles aux plans coordonnés, ou encore les composantes de F suivant les trois axes, on trouvera de cette manière

Ce sont des équations différentielles du second ordre qu'on nomme équations du mouvement, et qui déterminent x, y, z en fonction du temps t, si X, Y, Z sont des fonctions connues

j dx dy dz , . ,, ,

de /, Xy y, z, ^- > -ik^ Zj/.^ ®^ si 1 on suppose en outre données les valeurs initiales des six dernières quantités, afin de pouvoir éliminer les constantes arbitraires introduites par l'intégration. On se trouve là en face d'un problème analytique sur lequel s'est exercé le génie des grands géomètres, comme Lagrange, Poisson, Jacobi et d'autres encore. Mais l'exposition de leurs remarquables travaux ne rentre pas dans le programme de ce cours. Nous allons seulement établir des théo-

rèmes généraux qui sont la conséquence des équatioris (i) et (2); nous résoudrons ensuite diverses questions particulières.

Remarque. — Si le point n'est pas libre, mais gêné dans son mouvement par des obstacles, on peut toujours, conformément à ce qu'on a déjà dit au n<* 100, remplacer ces obstacles par une force appliquée au point, et considérer ensuite celuici comme libre. Moyennant cette précaution, les équations (i) et (a) restent applicables; la force produite par les obstacles y figurera comme une inconnue auxiliaire.

105. Décomposition de la force en force tangentielîe et foret centripète. — On peut appliquer encore l'équation (i) do n*' iQk au cas oii la projection serait faite orthogonalement: 1® sur la tangente à la trajectoire, au point M où se troure actuellement le point mobile, a® sur la direction de la normale principale et du rayon de courbure de la trajectoire en M. Nommons

V la vitesse en ce point et p le rayon de courbure;

2 l'angle que la force F et l'accélération totale j font avec la vitesse v^ chaque ligne étant prise avec le sens qui lui appartient;

P l'angle analogue fait par F et j avec le rayon p, le sens de celui-ci étant supposé aller de M vers le centre de courbure correspondant.

Les projections ou composantes de F suivant ces deux directions se nomment /orcc tangentielîe et force centripète; elles ont les valeurs respectives Fcosa, Fcos?. Comme on

dv c' sait, d'autre part, que celles de j sont -n^t— (n^ 15), on aura

m-j: =Fcosa, ut

mp'

= Fcosp.

On voit par ces équations que, si la force tangentielîe s'anéantissait, et si par conséquent la force F restait toujours normale à la trajectoire, la vitesse resterait constante, puisque

dt s'^^ïïulerait. Si, au contraire, on supposait la force F re-

duite à sa composante tangentielle, - deviendrait constamment nul et le point devrait se mouvoir en ligne droite. On se rend ainsi compte du rôle spécial de chacune des deux composantes; Tune produit les variations de la vitesse et l'autre la courbure de la trajectoire.

106. Théorème sur V accroissement de la quantité de mouvement ou de la quantité de mouvement projetée, — Appliquons la première des équations (3) ou la première des équations (a), en ayant soin de prendre en compte les forces produites par les obstacles, s'il y en a, de manière à rendre ces équations toujours exactes; multiplions ensuite les deux membres par dt et intégrons entre deux époques t^ et t. Il viendra, en désignant par rindiçe o les quantités correspondant à /o»

(4) mv—mvQ^=l Fcosoidt,

Le produit mv de la masse d'un point matériel par sa vitesse reçoit le nom de quantité de mouvement dix point. Si la masse

est multipliée par la projection -^ de la vitesse sur un axe Ox

(n* 13), on a ce qu'on appelle la quantité de mouvement projetée sur ce même axe ( * ).

D*un autre côté, on nomme impulsion élémentaire d*une force le produit de la force par l'élément du temps; l'intégrale définie de l'impulsion élémentaire est dite impulsion totale; enfin on dit que l'impulsion est projetée sur un axe, quand on prend, à chaque instant, la projection de la force sur cet axe, au lieu de la force elle-même. Ces définitions per-

( * ) On peut aussi considérer m —r- comme la projection de la droite mv

portée suiyant la direction et le sens de v\ cela revient au même, puisque une droite et sa projection varient dans le même rapport si la direction et le sens de la droite ne varient pas.

mettent de traduire les équations (4) et (5) par les énonces que voici :

L* accroissement de la quantité de mouvement d un point matériel est égal à V impulsion totale de la force tangentielk dans le même intervalle de temps.

L'accroissement de la quantité de mouvement projetée sur un axe est égala V impulsion totale de la force résultante en projection sur le même axe et pendant le même intervalle de temps.

Remarque. — S'il y a plusieurs forces F appliquées an point, on peut d'abord concevoir qu'elles soient remplacées par leur résultante (n« 100), dont la projection sur la tangente et sur l'axe Ox donnerait les quantités F cos» et X, à introduire dans les équations (4) et (5). D'un autre côlé, la projection de la résultante sur une droite quelconque sérail égale à la somme des projections des composantes (n" 101), et, au moyen d'une intégration, cette propriété s'étend immédiatement aux impulsions totales projetées. Si donc on veut se dispenser de rechercher la résultante, il suffit de remplacer Fcosa et X par la somme algébrique des termes analogues provenant des diverses forces F.

107. Tïiéorème sur V accroissement du moment de la quantité de mouvement par rapport à un a^e. — Soient M et M {fig. i55) les positions d'un point mobile sur sa trajectoire,

aux époques infiniment voisines i et t-^-dt; V ei v^dv les vitesses correspondantes, respectivement dirigées suivant les tangentes en M et M'. Construisons un parallélogramme^'VV'V ayant pour diagonale M[V^= v^dv et l'un de ses côtés M'V égal et parallèle à p; l'autre côté M'V, déterminé par cela même, est ce qu'on a nommé vitesse acquise élémenr taire {n? 15); c'est donc le produit de dt par l'accélération

totaley, ou par — (n*» 99), en nommant m la masse du pomi

Fig. i55.

>u vv\J ■ ^ '"■• ^

DYNAMIQUE DU POINT HÀTÉIIIEI. 27g

et F la résultante des forces qui le sollicitent en M. Cela posé, appliquons le théorème de Varignon {n^ 103) à la résultante M'V et à ses composantes M' V, M^, après avoir multiplié les trois lignes par le facteur commun m; si nous désignons généralement parla notation orCj-un moment pris relativement à un axe quelconque Ox, il viendra

ou bien

ff

Or le point M' est à une distance inflniment petite du deuxième ordre de la tangente MT suivant laquelle est dirigée la vitesse v en M; le terme 311^ 'w M' V peut donc se remplacer, aux infînimcnt petits du deuxième ordre près, par CfïL^emç, la ligne mv étant alors portée sur MT, de sorte que le premier membre de l'équation exprime la différentielle de OïL^^^*

D'ailleurs, puisque le point M' coïncide à la limite avec M,

le second membre exprime DÏL^F dl, toujours en se bornant à

négliger les infiniment petits d'ordre supérieur au premier.

Donc on écrira

dOïL^ nn^ = aiLa. F dt,

ou, si Ton intègre entre deux limites ^o et t, (6) DïL;gmç — Oît^c/w^'o -= f ^x F de.

De là résulte ce théorème :

L'accroissement du moment de la quantité de mouvement d'un point matériel par rapport à un axe quelconque est égal à l* intégrale, dans le même intervalle de temps, du moment de l'impulsion élémentaire produite par la résultante des forces appliquées au point.

Les moments qui figurent dans cet énoncé, c'est-à-dire ceux de mi^, mv^^ Fdt doivent, bien entendu, se calculer d'après la définition du n? 103, comme si ces quantités complexes étaient des forces dirigées suivant les mêmes lignes que V, ro, F.

DBUXlftMB PARTIE. — GHAPITRB DBUXlfcMB.

On peut d'ailleurs faire ici une remarque toute pareille à celle qui termine le n* 106 : si le point est soumis à plusieurs forces, on prouverait de même que le moment ^«F doit être remplacé par la somme algébrique des moments de ces forces relativement au même axe.

108. Théorème des aires. — Il peut arriver, comme cas particulier, que la force résultante F appliquée au point matériel soit constamment dans un même plan avec l'axe Oxy ou, ce qui revient au même, que la somme des moments de ses composantes relativement à cet ax^t soit toujours DuQe (n^ 103). Dans ce cas, Téquation (6) devient

%f\Lxmv — 3îl/^/ni'^=:o,

et, par conséquent, le moment de la quantité de mouvement par rapport ^Ox reste invariable.

Si la résultante F passait toujours par un point Gxe, son moment serait nul et le moment de la quantité de mouvement serait constant, par rapport à tout axe issu de ce point Cette propriété reçoit une interprétation géométrique remarquable. Prenons pour plan de X^fig. i56 un plan perpendiculaire à Taxe 0^ par rapport auquel on suppose que le moment de F est toujours nul. Soit 0 la rencontre de Taxe avec ce plan, sur lequel la trajectoire da point mobile se projettera suivant une courbe AqAA'. Si A et A' sont les projections du point aux époques t et i-^ài, et qu'on nomme u la projection de sa vitesse v dans l'espace, on sait (n* 13) que u sera la vitesse du point projection, de sorte qu'elle jera

dirigée suivant la tangente en A et aura pour valeur -4r*

Donc le moment de mv par rapport à l'axe 0 s'exprimera par

AÂ'

m —^-- OP, la longueur OP étant celle de la perpendiculaire

abaissée de 0 sur la tangente en A ou sur l'élément AA' prolongé. D'autre part, en nommant a l'aire AqOA décrite en projection sur le plan de la figure, depuis l'époque t^^ par un

Fîg. i56.

DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL. a8f

rayon vecteur joignant le point M de l'espace à un point de Taxe, on a

rf(T = AOA'=-AA'.OP

et par conséquent, puisque le moment de ms^ ne varie pas,

2 m -r :=:COnSt., de

ou, plus simple nent, en supprimant le facteur constant 2 m,

-y- = const.

at

On voit par là que Taire a s'accroît de quantités égales en temps égaux. Si l'on désigne par C l'aire décrite dans l'unité de temps, on aurait pour l'aire AoOA = <i, décrite dans le temps t — /o>

La constante C pourrait se calculer immédiatement, si Ton donnait la vitesse initiale ("o ^^ grandeur, direction et sens.

On en déduirait son moment et on l'égalerait à 2 ^ ou à 2 C.

En résumé^ nous énoncerons donc le théorème ci-après :

Lorsque la résultante desjorces appliquées à un point ma-ter tel en mouvement a son moment constamment nul relativement à un a^e fixe, Vaire décrite en projection sur un plan perpendiculaire à Vaxe par un rayon vecteur joignant cet axe au point mobile varie proportionnellement au temps.

Si la force résultante passe constamment par un point fixe, l'aire décrite en projection sur un plan quelconque, par un rayon vecteur, joignant le point fixe au point matériel en mouvement, varie proportionnellement au temps.

On démontrerait sans difficulté les réciproques des propositions du n<* 108. En effet, lorsque le moment de la quantité de mouvement par rapport à un axe (et par conséquent aussi la dérivée de l'aire décrite en projection sur un plan perpendiculaire) n'éprouve aucune variation avec le temps, il s'ensuit que le moment de la résultante F est nul relativement à

a8a DEUXIÈME partie. — CBAPITRB DEUXIÈME.

cet axe, ou bien que la force F et Taxe sont dans un même plan (n^ 103). £t si la même chose a lieu pour tous les axes issus d^un certain point 0, il sera nécessaire en conséquence que la force F passe aussi par ce point.

Nous reviendrons ultérieurement sur le cas d'un point sollicité par une force centrale (passant par un point fixe), et nous établirons alors que la trajectoire est plane.

109. Théorème des forces vives. — La force résultante F, appliquée à un point matériel H de masse m et faisant Tangle a avec le prolongement MT de rélément * = MlF de la trajectoire {Jig. 157), a pour projection orthogonale sur MT la force Fcosa, qui s'exprime aussi

(n* 105) par ni-T-y en désignant par v la vitesse en M; on a donc

dv „ /n-r- = Fcosa.

dt

Celte équation, multipliée membre à membre par

vdt^=idsy donne

mv dv =: F cosa û?5,

ou bien, en intégrant entre deux positions Mo et M et désignant par l'indice o les quantités qui se rapportent à Hoi

(7) ~ mv^ mvl:=i l Fcosoids.

On reconnaît dans le second membre le travail total de la force F dans le parcours MoM (n« 102); on pourrait, si Ton voulait, le remplacer par la somme algébrique des irava© des forces dont F est la résultante; et si, parmi ces forces, il s'en trouvait qui fussent toujours normales à la trajectoire, on pourrait les laisser de côté, car leur travail serait toujours nul. D'autre part, le produit mp* de la masse par le carré de

DTTWIIQDI DD POINT MÀTËBIBL.

la vitesse est désigné par )e nom ùb force vive ('). L'é tion (7) signifie alors que :

L'accroissement de la demi-force vive d'un point mal entre deux positions quelconques est égal au travail toi la force résultante à laquelle il a été soumis dans le pan intermédiaire.

Le travail élémentaire Fcosaf£t pouvant (n* 102) se m sous la forme \.dx-<r\dy + Zds, l'équation (7) se ti forme aussi en

= r(Xrf:r+Yrf7-4-Zrf=)-(-C0nst.,

en désignant par X, Y, Z les composantes de la force F, p parallèlement à trois axes coordonnés rectangulaires, e1 x, y, s les coordonnées du point mobile, dans le même tème d'axes.

II y a lieu de signaler comme particulièrement intére: le cas où les trois composantes X, Y, Z seraient respec ment les dérivées parlielles, par rapport à x, y, z, d'une ! tion fix.y, z) de ces trois variables. On aurait alors

mvdv = ¥ cosxds = \dx + Y dy + Zds

= ^dx+^dy+^dx ''•■ •'

et, par suite, l'intégration entre deux limites donnerait

Imv*—^ mv\ — f{^,>', z) — î(^o,7*. «.)■

La fonction ? se nomme la fonction des jorces ou pote [du latin potentia, force, puissance] (*). L'accroissemei la demi-force vive est donc égal à celui du potentiel.

(') Ce nom et celui At quanlilé de mouvement àanai ta ■proAml m assez difGciles i Juslifîer el d'odI par eux-m£me$ aucune signiGcatioi nelt«. Od les conserve, néanmoins, parce qu'ils sont consacrés par ui otage et adoptés par presque tous les auteurs Français qui ont écrit : Mécanique.

<') Le mol potentiel rappelle qu'il s'agit d'une Tonction dépendant force F- On remarquera aussi que le potentiel exprime un travail, et

a84 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXlftSE.

Considérons toutes les surfaces représentées par l'équalioD générale

dans laquelle on attribuera successivement toutes les valears possibles à la constante C. Ces surfaces, qu'on nomme surfaces de /ixVeai/^ jouissent de propriétés assez remarquables.

I® (.'accroissement de la demi-force vive, quand le point M passe d'une surface de niveau déterminée à une autre également déterminée, reste toujours le même, quels que soient le point de départ sur la première surface et le point d'arrivée sur la seconde, et quelque chemin que le mobile ait saivi dans l'intervalle. On a, en effet :

Pour la première surface ? = Co,

Pour la seconde <?~C;

donc

- mt'* mej = C — Ca = const.

Si le point M, dans son mouvement, traverse plusieurs fois la même surface, il aura toujours la même vitesse en la traversant, car - mv^ aura la valeur constante -mvl -+- C — G*.

2® La force F qui agit sur le point M, dans l'une quelconque de ses positions, est normale à la surface de niveau qui passe par ce point. Les cosinus directeurs de F sont en effet proportionnels (n^ 101) à X, Y, Z, et par conséquent aux dérivées

d^ d^ ^' qui elles-mêmes sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à la surface ç(j?, v, 5) = C;il y a donc bien coïncidence entre les deux directions.

3» Soient M et M' {fig. i58) deux positions infiniment voisines du point mobile, S et S' les surfaces de niveau passant par ces points, F la force appliquée en M normalement à S d'après ce qu'on vient de voir, e la longueur de la portion MA

Mécanique le mot puissance s'emploie souvent dans le sens de traraii. Aiisi Ton dit : la puissance d'une chute d'eau, la puissance d'une machine i vapeur, etc., pour indiquer le travail qu'on peut en retirer dans an leop^ donné.

de normale comprise entre les deux surfaces. Le travail élémentaire de F pendant le parcours MM' est égal à Fe, produit de F par la projection e = MA de MM' sur la direction de la force. Or ce travail doit rester constant et égal à la différence des valeurs de C pour les deux p. .o

*^ Fig. i58.

surfaces, quel que soit le point de départ M sur la surface S; donc le produit Fe ne varie pas dans toute l'étendue de S. La force correspondant à ses divers points M, Mi, ... est donc en raison inverse de la distance normale e. Si l'on admet que la force ne puisse jamais devenir nulle ou infinie, les distances & seront toujours d'un seul et même ordre de grandeur, et les deux surfaces S, S' ne pourront ni s'éloigner indéfiniment, ni se couper.

Nous citerons quelques exemples particuliers dans lesquels les forces dérivent d'un potentiel et où, par conséquent, le travail élémentaire est la dilTérentielle exacte d'une fonction des coordonnées or, j, z considérées comme variables indépendantes. II y a d'abord le cas d'un point sollicité par une force F constante en grandeur, direction et sens, son poids par exemple. Si l'axe des z est pris parallèle à F et de même

sens, on aura

et, par suite, <p(a:, /, z) se réduit à / Ydz^=.Yz\ les surfaces de niveau ont alors pour équation générale

z =1 const.,

ce qui donne une série de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à la direction de la force. Dans le cas de la pesanteur, on obtiendrait une série de plans horizontaux. On pourrait supposer, au lieu d'une valeur constante de F, une

valeur variable avec z; le potentiel / ¥dz s'exprimerait encore par une fonction de la seule variable z et les surfaces de niveau ne seraient pas changées.

Le second exemple se rapporte au cas où le point maté-

riel M subit Taction de forces F, Fi, • • •> émanées respectiyemenl de centres fixes 0, 0|, ... {fig. iSg), chacune d'elles étant supposée fonction de la distance du point M au centre correspondant. Nommons r, r,, ... ces distances. Quand H

Fiff. iSg.

parcourt l'élément MH' de sa trajectoire, le travail de la force F agissant suivant OM sera le produit de F par la projection

MP de MM' sur OM, ou^F{OP-0M), ou encore Frfr, car OP ne diffère de OM' =zr-hdr que par des infiniment petits du second ordre. Cette expression Fdr suppose d'ailleurs la force F répulsive, c'est-à-dire tendant à éloigner M de 0, comme l'indique la figure; pour que la même expression convienne à tous les cas, il faut avoir soin de considérer comme négatives les forces d'attraction. Cette convention étant adoptée, le travail de Fi s'exprimerait de même par Fidr^ et celui des autres forces d'une manière semblable. Le travail élémentaire de la résultante serait donc (n"* 102) donné par la formule générale

¥dr -^¥idri

Or cette expression est intégrable, puisqu'on suppose F fonction de r, Fi fonction de ri, etc. ; en supposant l'intégration effectuée et posant

j¥dr=/{r), fF,dr,=Mr,), ...,

on trouverait pour valeur du potentiel

De là on déduirait la fonction <p(^,/, z) ci-dessus considérée, en remplaçant r, r,, ... par leurs valeurs en fonction des coordonnées x, y, z du point mobile et des coordonnées a, by c, ai, bxj c,, . . . des centres fixes 0, Oi, . . ., savoir

f\ = >J{x — ai)*4- (/— 6t)*-h (- — Cl)' ,

Dans le cas où il n'y aurait qu'un seul centre fixe 0, le potentiel se réduirait au terme /(r) et les surfaces de niveau seraient définies par Téquation

/(r):=const.,

qu'on peut imaginer résolue par rapport à r et mise sous la

forme

r =1 const.

Ces surfaces seraient donc des sphères concentriques, ayant le point 0 pour centre commun.

110. Mouvement d'un point sur une courbe donnée, — On suppose un point matériel M soumis d'abord à des forces connues, réductibles à une résultante F également connue (n* 100), et gêné en outre dans son mouvement par des obstacles qui rendent obligatoire pour lui le parcours d'une trajectoire donnée, définie par deux équations

(9) /(^>7,-) = o, /i{^yy,z) = o.

Ainsi qu'on l'a déjà fait observer au u? 100, les obstacles n'ont d'effet sur le point M qu'en faisant naître d'autres forces appliquées à ce point; soit Fi leur résultante, a priori inconnue. On peut se proposer de déterminer les coordonnées x, r, ^ de M en fonction du temps t, ce qui fera connaître le mouvement de ce point; puis de déterminer, pour chaque position de M, l'inconnue auxiliaire Ff Désignons par

X, Y, Z lés composantes de F suivant les trois axes coordonnés, qui seront supposés rectangulaires ; Xi, Yi, Zj les composantes de Fi suivant les mêmes axes.

Le point pouvant être considéré comme libre dès qu'on lient compte de la force Fi, on aura les équations dilDFérentielles de son mouvement (n* 104)

(10) m— r^X-hXi, m-^=:Y-^Yu m^=:Z-f-Z,.

Ces trois équations, jointes aux deux équations (9), n'en donnent encore que cinq, pour trouver les six inconnues x, y, z,

a88 CBUXIÈME PàBTIB. — CHAPITRE DEUXIEME.

Xiy Y], Zi en fonction du temps /; le problème est par conséquent indéterminé, tant qu'on ne fait aucune hypothèse particulière sur la nature des obstacles par lesquels le poini se trouve assujetti à se mouvoir sur la trajectoire donnée.

Pour faire disparaître l'indétermination, nous supposeroos les obstacles tellement disposés, que la force Fi produite par eux reste constamment normale à la trajectoire obligée da point, ce qui entraîne comme conséquence que son travail est toujours nul. Cela revient à dire que les obstacles sont de natnre à fournir toujours une force normale suffisante pour empêcher le point de s'écarter de la courbe, mais qu'ils ne contrarient en rien l'action d'une force tangentielle , tendant à produire un déplacement suivant la courbe même. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, dans le cas idéal d'un point mobile sans frottement suivant une rainure, ou d'un point attaché à un fil parfaitement flexible et inextensible qui le maintiendrait, dans un plan, à une distance constante d'un centre fixe, et exercerait, suivant sa direction propre , une force normale à un cercle sur lequel se mouvrait le point (*). La nullité du travail de Fi dans chaque parcours élémentaire se traduit alors par l'équation

(il) \idx -h Yi dy -^-Z^dz^z o,

ce qui complète le nombre des équations nécessaires à la détermination des inconnues.

Sans insister plus longuement sur cette solution analytique de la question, voyons ce que pourrait donner ici rapplication des théorèmes généraux concernant les quantités de mouvement et les forces vives. La force F| étant, suivant l'hypothèse ci-dessus indiquée, normale à la courbe, sa projection sur la tangente est nulle ; si donc on nomme a Tangle entre la direction de la force donnée F et celle de la vitesse p ou de l'élément ds de courbe, on aura F cosa pour expression de la force tangentielle {n<» 105), et par suite les équations (4) du n* 106

(' ) En raison de la flexibilité que nous lui attribuons, le fil ne peat agir que s'il est tendu, c'est-à-dire s'il empêche le point de s'éloigner du centre; nous admettons encore que cette condition se trouve effectiTement remplit*