TT

Cl (7) du n® 109 auront lieu comme si la force F agissait seule sur le point supposé libre. Donc

-mt^o^: Tf - mç* mvl = / F cos a ds.

La première de ces équations ferait connaître v en fonction du lempSy si Fcosa était donné en fonction de cette variable; si, comme il arrive plus ordinairement, la force était déOnie au moyen de la position du point, la seconde équation déterminerait {f en fonction de l'arc s de trajectoire. Dans les deux cas, on a vu en Cinématique (n® 9) comment ensuite on achèverait la détermination du mouvement que prend le point sur la courbe.

Nous remarquerons encore que, dans le cas où la force F dériverait d'un potentiel et où, par conséquent, il existerait des surfaces de niveau correspondantes (n® 109), les accroissements pris par la demi-force vive ou par le carré de la vitesse, en passant d'une de ces surfaces à une autre, pourraient se calculer d'après la variation du potentiel, absolument comme si le point était libre et les obstacles supprimés. Cela est évident, puisque les forces n'interviennent ici que par leur travail, et que les obstacles sont censés ne donner lieu qu'à des forces dont le travail est en somme constam-ment nul.

Maintenant, le mouvement étant supposé déterminé, la recherche de l'inconnue auxiliaire F, n'offre pas de difficulté; elle se ferait au besoin par les équations (lo), qui fourniraient les trois projections Xi, Y,, Z| de cette force. Mais la marche suivante donne un résultat plus facile à saisir. Remarquons que la résultante des forces F et Fi peut se décomposer

dif (n* 105) en une force tangentielle ^-n ^^ une force centri-

/nc'

pète ; si donc nous imaginons la force F décomposée

aussi en deux forces, l'une Fcosa suivant la tangente, l'autre Fsina suivant une normale à la courbe, dans un même plan

Rrrssk. — Cours de Méc, 1. 19

ago

avec F et F cosa, nous aurons» en employant une notation indiquée au n^ 11 pour indiquer une composition ou sommation géométrique,

mp" dv

p dt

F cosa 4- F sin X -H Fi = ou bien, eu égard à m -^ — F cos a.

mv^

Fsina-hF|= —

La dernière égalité peut se mettre sous les deux formes

Fi=:

Fsma,

— Fi:i=Fsina

. — mv^

dont chacune conduit à un énoncé particulier. Il suit de U première que la force inconnue subie par le point, de la part des obstacles, est la résultante de la force centripète et de la composante normale de la force connue, prise en sens con' traire.

Pour énoncer le résultat trouvé sous la seconde forme, nous supposerons que le point reçoit la force Fi d'un seul obstacle solide ou assimilable à un solide, comme serait, par exemple, une rainure ou un Ql qui resterait toujours tendo. Alors, en vertu du principe de la réaction égale à l'acUon (n®95), il exerce sur cet obstacle la pression ou tension égale et contraire — Fi (*), que nous appellerons, pour abréger, la

( ' ) On remarquera qu'il y a là uoe certaine extension donnée au priocipe général du n"* 95 ; car ce principe, tel qu'il a été d'abord énoncé, ne coocernait que les actions réciproques de deux points, tandis qu'on l'appliqoe ici aux actions qui s'exercent entre un point et un corps de dimensions arbitraires.

On rencontrera, dans la suite du cours, d'autres extensions analogues du même principe. Il ne serait pas possible, quant à présent, de les indiquer bien clairement et encore moins de les démontrer; mais la possibilité existe pour celui qui, étant en possession complète des théories de la Dynamique voudraient revenir a posteriori sur ces postulatum secondaires.

pression du point sur la courbe. D'un autre côté, la force

y égale et contraire à la force centripète supportée par

P le point, se nomme \^ force centrifuge. Toujours en vertu du

même principe (n® 95), on peut dire que c'est la composante

normale de la réaction exercée par le point mobile M sur un

corps duquel proviendrait la force ou action capable de lui

donner son accélération totale. Moyennant ces définitions, la

dernière équation démontre que la pression du point sur la

courbe est la résultante de la force centrifuge et de la compo-

santé normale de la force connue.

111. Mouvement d'un point sur une surface donnée. — Nous admettrons encore ici, comme dans le cas précédent, que les obstacles par lesquels le point matériel M est assujetti à se mouvoir sur la surface donnée, sont incapables de produire sur lui une force résultante Fi qui ne serait pas normale à la surface. Dès lors, en supposant la surface représentée, dans un système d'axes coordonnés rectangulaires, par l'équation /(jc, y, z) z=z o, les composantes de Fj suivant ces axes seront

proportionnelles aux dérivées partielles^ ^9 ^9 -^} puis

qu'elles doivent l'être aux cosinus directeurs de la normale. Elles peuvent donc s'exprimer par

df .df df

ax dy dz

en désignant par X un facteur convenablement choisi; par suite, si X, Y, Z désignent les composantes de la force F, résultante des forces données qui agissent sur le point, on aura les équations différentielles (n^ 104- )

d'x ^ , df qui, conjointement avec l'équation de la surface, suffisent

DEUXl&aB PàBTIE. — CHAPITRE DEIOLIÈME.

pour déterminer les inconnues x, y^ z, X en fonctioD du temps t.

On peut remarquer que le théorème des forces vives s'applique au mouvement du point sans qu'on ait besoin de rechercher la valeur de la force inconnue F^, car cette force est constamment normale au chemin parcouru et fait un travail nul, de manière qu'elle ne doit pas figurer dans l'équation fournie par le théorème dont il s'agit. Dans le cas où il y aurait» pour la force donnée F, un potentiel et des surfaces de niveau {n^ 109), les accroissements de la demi-force vive ou du carré de la vitesse devraient encore se calculer comme si F agissait seule sur un point libre.

Le cas où le point ne subirait que la force F,, c'est-à-dire se déplacerait sur la surface en vertu d'une vitesse initiale,et sous la seule action d'une force produite par les obstacles dans une direction constamment normale à la surface, donne lieu à une observation intéressante. La force F, a ses deux composantes tangentielie et centripète (n<* 105) contenues dans le plan osculaleur de la trajectoire; donc elle s'y trouve ellemême contenue; donc le plan osculateurde la trajectoire passe constamment par la normale à la surface sur laquelle le point est assujetti à se mouvoir, propriété qui caractérise les courbes géodésiques de cette surface. On sait que ces courbes senties plus courtes qu'on puisse décrire sur la surface, entre deux quelconques de ses points, pris pour points invariables de départ et d'arrivée. Ajoutons encore que la trajectoire serait parcourue avec une vitesse constante, puisqu'il n'y aurait pas de force tangentielie.

Cette considération ramène le problème général des courbes géodésiques à un problème de Mécanique, ce qui a pu, dans certains cas particuliers, mettre sur la voie de solutions élégantes, auxquelles on n'aurait probablement pas songé sans cela.

112. Cas particulier de Véqulllbre, — Un point en repos absolu, ou seulement animé d'un mouvement recliligne et uniforme, doit avoir son accélération totale nulle. Si donc on réduit à une seule force F (n* 100) toutes les forces exercées sur lui, y compris celles qui proviennent des obstacles à son

DIHJ.IIIQtIE Dtl POINT MATËIIIEL.

mouvement (s'il y en a), il faudra que celte force F soil car autrement il se produirait une accélération totale, mée (n' 10^) par le rapport de F à la masse du point proquement, la nullité de F entraîne celle de l'accéli totale; de sorte que la condition nécessaire et sufTisanl qu'un point reste en repos, ou persévère dans un moui rectiligne et uniforme, consiste en ce que la résulta toutes les forces agissant sur lui soit nulle.

On dit alors que ces forces se font équilibre.

Lorsque la résultante est nulle, il en est de même composantes X, Y, Z suivant trois axes coordonnés 0 Os, et réciproquement ; on a donc les trois conditions i libre nécessaires et suflîsantes

La composante suivant chacun des axes étant la pro de la résullanle sur cet axe, faite parallèlement au p deux autres, on la trouverait en cherchant (n° 101) la i des projections des composantes de toutes les forces qi citent le point.

Les équations (i3) conviennent aussi bien au cas d'ui gêné par des obstacles qu'au cas d'un point libre, | qu'on tienne compte de toutes les forces exercées sur lu si l'on veut distinguer ces forces en deux groupes sépari renfermant les forces données et l'autre les forces a inconnues qui proviennent des obstacles, F etF, éiant sullantes partielles des deux groupes, la condition d'av résultante totale nulle se traduira en disant que F et F, ( être égales et de sens contraires. On voit par conséquc la résultante donnée F doit remplir (à part ce qui co le sens) toutes les conditions imposées à F, par la nati obstacles. Ainsi, par exemple, quand il s'agit d'un poir jetU à rester sur une courbe ou sur une surface (n" 110 { on suppose que les obstacles font nattre sur le poii force F, d'intensité et de sens indéterminés, mais i normalement à la courbe ou à la surface; alors la foret avoir cette même direction. Cela suffira d'ailleurs, pour le point n'ait pas de vitesse initiale ; les obstacles rendt possible le mouvement que F donnerait au point s'ils >

294 SECXlfcHI PARTIE. — CHAPITRE DEUXlftKR.

supprimés, et par suite ils font naître la force F| égale et contraire à F.

Il peut arriver parfois qu'un obstacle n'agisse que dans un sens déterminé. Ainsi une table horizontale empêche un poids de tomber, mais elle ne l'empêcherait pas d'être soulevé par une force suffisante; un fil inextensible attaché à un centre fixe oblige un point à se mouvoir sur une sphère si ce point tend à s'éloigner du centre; mais, s'il tendait à se rapprocher, le fil se courberait et cesserait d'agir. Dans ce cas, après avoir déterminé la force Fi, il faut encore voir si elle a bien le sens voulu pour que l'obstacle soit capable de la faire naître; et cela est nécessaire aussi bien quand on recherche le mou?ement du point que lorsqu'on veut s'assurer de son équilibre.

113. Extension des théorèmes généraux aux mouvements relatif s d' un point matériel. — On a vu (n** 30) que l'accélération relative y d'un point M par rapport à un système mobile de comparaison est la résultante de son accélération y dans le mouvement absolu, de l'accélération d'enlraînementy'f prise en sens contraire, et d'une troisième accélération — /f dite accélération centrifuge composée. Nous exprimons cela par l'équation

Tr—lJt- Jc^

les traits supérieurs étant destinés à rappeler qu'il s'agît/non d'une addition ordinaire, mais d'une composition ou sommation géométrique de diverses lignes. La même relation subsiste quand on multiplie toutes les lignes par un même facteur m égal à la masse du point matériel M sans changer leurs directions et leurs sens, car cela revient à construire le polygone de composition avec une échelle différente. On a donc aussi

mjr = mj — mjc — nijc

La force m/V est celle qui serait capable de donner au point supposé libre un mouvement absolu identique à son mouvement relatif (n* 104-); donc, si on la considère comme agissant réellement, on sera en droit de traiter le mouvement relatif comme un mouvement absolu et de lui appliquer tous les théorèmes généraux ci-dessus démontrés (n** l(tô à IW).

Or mj est la résultante des forces qui produisent le mouvement absolu, en comprenant parmi ces forces les actions dues aux obstacles s'il y en a ; m/e est une force capable de donner au point l'accélération d'entraînement, et pour cette raison elle se nomme Jorce d* entraînement; enfin — mjc prend le nom de force centrifuge composée* On peut donc énoncer ce théorème :

Les théorèmes généraux de la Dynamique d'un point matériel s'appliquent à son mouvement par rapport à des axes mobiles comme à son mouvement absolu, pourvu qu^on joigne à la résultante de toutes les forces agissant réellement sur ce point deux forces fictives ou apparentes y qui sont ; i« une force égale et contraire à la force d'entraînement ; 2® la force centrifuge composée.

Nous ajouterons encore les remarques suivantes, à l'égard des forces fictives.

La force centrifuge composée contient le facteur /<., qui luimême a un facteur égal à la vitesse angulaire (d du système de comparaison. Si ce système possède un mouvement de translation, sa vitesse angulaire ta s'annule et il en est de même pour la seconde force apparente. La première force s'annule également quand la translation devient rectiligne et uniforme, et les théorèmes généraux deviennent applicables en ne tenant compte que des forces réelles.

La force centrifuge composée contient aussi comme facteur la projection de la vitesse relative sur un plan perpendiculaire à Taxe de la rotation cd; elle est donc nulle dans les cas de repos relatif, et dans ceux où la vitesse relative deviendrait parallèle à l'axe.

Enfin, comme la direction de je et celle de la force centrifuge composée — mjc sont perpendiculaires à la vitesse relative, il en résulte que le travail relatif de cette force est toujours nul, de manière qu'elle n'entre pas en ligne de compte lorsqu'il s'agit d'appliquer le théorème des forces vives.

114-. Repos relatif à la surface de la Terre; poids d'un corps. — Lorsqu'un point pesant M se trouve en repos relatif à la surface de la Terre, nous pouvons, suivant ce qui vient

296 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXlftHE.

d'être dit (n" 113), considérer ce repos comme absolu, è la condition de joindre aux forces réelles une force Active — m/e égale et contraire à la force d'entraînement, et alors nous dirons qu'il y a équilibre (n* 112) entre toutes ces forces. Nous arriverions directement à la même conséquence en remarquant que le point possède en réalité le mouvement d'entratnement et que, par suite, les forces véritablement agissantes ont une résultante my^, ce qui équivaut à dire qu'elles font équilibre à — mj^.

Les forces réelles comprennent : i<^la résultante des aUractions de la Terre, de la Lune, du Soleil et, en général, de tous les corps célestes sur le point M; 2« la force provenant des obstacles qui empêchent le point de tomber. En vertu da principe de la réaction égale à l'action (n^'OS), si l'obstacle consiste en un corps unique, il reçoit de M une force égale et contraire à celle qu'il exerce sur lui. La pression ou tension supportée par l'obstacle est ce que nous appelons, par définition, le poids du corps M; ce po.ds est donc égal à la résultante des forces auxquelles il fait équilibre quand on le change de sens, c'est-à-dire à la résultante des attractions de la Terre et des corps célestes, auquelles il faut encore joindre la force

Afm d'évaluer cette dernière, nous supposerons (ce qui est suffisamment exact pour un intervalle de temps n'embrassant pas une longue succession de jours ou même de semaines et de mois) que le mouvement de la Terre, relativement à des axes (S) qui se transportent parallèlement à eux-mêmes, avec son centre, consiste en une rotation uniforme de vitesse «), autour de la ligne des pôles, laquelle reste immobile dans le système (S). Soient R la distance du point considéré M au centre de la Terre, X sa latitude. Si la Terre est supposée sphérique, la distance de ce point à la ligne des pôles sera Rcos>, et son accélération dans sa rotation autour de cette ligne sera une accélération centripète w'RcosX dirigée suivant le rayon du parallèle terrestre passant en M (n« 17). D'un autre côté, le point M du système (S) aurait une accélération J égale à celle du centre de la Terre ; donc, suivant la théorie de l'accélération dans un mouvement composé (n« 30), h sera la résultante de w'RcosX et de J, parce que le mouve-

ment de (S), qui joue ici le rôle de mouvement d'entraînement, est une translation. Donc on a aussi

— mj\ :=. — mw'R cosX — /w J ?

la force d'entraînement prise en sens contraire est donc la résultanle de la force centrifuge mto^RcosX (force centripète changée de sens) et d'une force égale et contraire à celle qui ferait prendre au point matériel M le mouvement du centre de la Terre.

Il ne serait guère possible d'entrer ici dans tous les détails nécessaires pour faire comprendre comment les lois de l'attraction universelle, découvertes par Newton, permettent de déterminer la force exercée par les corps célestes sur chaque point de la Terre, ainsi que l'accélération J de son centre. Nous aurions d'ailleurs besoin pour cela de certaines théories qui seront données plus loin. Bornons-nous à dire, quant à présent, qu'on ne se trompe pas beaucoup en assimilant l'attraction du reste de l'univers sur notre planète à une sorte de pesanteur, en vertu de laquelle tous les points de la Terre prendraient, s'ils étaient isolés, une accélération commune, égale et parallèle à J. Si cela était rigoureusement vrai, il s'ensuivrait que l'ensemble des corps célestes exercerait sur le point M dont nous nous occupons une force réelle m J, qui se compenserait avec l'une des composantes de la force fictive — mjc. Il ne resterait d'ailleurs, parmi toutes les attractions exercées sur le point que celle de la Terre; nous arriverions donc à cette conclusion que :

Le poids d'un point matériel est la résultante de Vattractien terrestre sur ce point et de la force centrifuge qui correspond à sa rotation autour de la ligne des pôles considérée comme fixe.

En réalité, la compensation qu'on vient d'admettre n'existe pas avec une rigueur absolue. La valeur du poids, telle qu'elle résulte de l'énoncé qui précède, doit se composer avec une force comparativement très petite, et variable avec le temps, suivant la position de la Terre et du point considéré relaliveinent aux divers corps attirants. Cette force additionnelle entraîne dans la direction du fil à plomb des variations trop

398 DETXlftMI PÀtTIB. — CHàPITKE DBDXIÈMB.

petites pour être soumises à robservation directe, mais qui sont la cause de l'un des grands phénomènes naturels, celai des marées.

La Terre fait, comme on le sait, un tour complet en86i64\ d'où résulte la vitesse angulaire

Cii:

gg^ =0,000072951;

par suite, en faisant R égal au rayon de la Terre, soit eoviroD à 6 87 1 000™, on aura

mcû'RcosX =o,o3388/ncosX.

Le rapport de la force centrifuge au poids mg est

co'RcosX 8 '

et, comme g ne s'écarte pas beaucoup de 9,8 en un point

quelconque de la surface terrestre, ce rapport est encore ap-

^ - , . o,o3388cosX , '%fn \ n^

proximativement égal à — ^ ^^ ^ o,oo346cosa. Un

voit, par conséquent, que la force centrifuge est toujours une petite fraction du poids et que celui-ci diffère peu, en grandeur et en direction, de l'attraction réellement exercée parla Terre. Soit mG celte dernière force qui, composée avec mw'RcosX, doit donner la résultante mg; si nous projetons toutes les forces sur mg, en considérant comme négligeable l'angle de g et G, nous aurons l'équation

^z=G— w'Rcos'X.

La substitution dans cette équation des valeurs ^ —9", 8088 et X = 48^50', qui se rapportent à Paris, conduit à

si l'on pouvait supposer la Terre parfaitement sphérique et composée de couches sphériques homogènes, de manière ï produire la même accélération sur tous les points libres placés à sa surface, cette valeur de G conviendrait à toutes les localités.

On aurait donc, en un point quelconque de la surface terrestre,

^ = 9,8235 — o,o3388cos*X.

A réquateur, il faut faire X=z:o, cosX=:i; le terme soustractif du second membre de cette équation est alors à son

maximum, et sa valeur atteint à peu près — du terme positif 9, 8a35. Le facteur o,o3388 est d'ailleurs égal à a)*R; on voit par conséquent que, si la vitesse angulaire w devenait 17 fois plus grande, il y aurait alors très approximativement égalité entre les nombres 9, 8^35 eto,o3388 x 17'; l'attraction réelle et la force centrifuge qui, à Téquateur, sont directement opposées, deviendraient, en outre, à peu près égales, de sorte que le poids s'annulerait.

Les variations de la force centrifuge avec la latitude, tant sous le rapport de l'intensité que sous celui de l'angle qu'elle fait avec l'attraction de la Terre, expliquent en partie les variations du poids, qui est la résultante de ces deux forces. Il y a une autre raison du même fait dans le défaut de sphéricité de la Terre et dans la distribution de la matière à son intérieur, qui ne répond pas exactement à l'hypothèse de couches sphériques homogènes; il résulte, en effet, de là que G n'est pas réellement constant, et que les calculs précédents sur ce nombre, ainsi que sur la force centrifuge, ne peuvent être présentés que comme plus ou moins approximatifs.

§ IL — Applications diverses.

115. Mouvement rectiligne et vertical d'un point pesant, dans le vide ou dans un milieu résistant, — Supposons un système d'axes coordonnés rectangulaires 0^, O7, 0^, composé d'une verticale descendante, prise pour axe des -s, et de deux horizontales; la position initiale du point est prise pour origine; de plus, le point a reçu antérieurement une vitesse v^ suivant Taxe des 5, mais pouvant être à volonté positive ou négative. On appelle m la masse de ce point et l'on suppose qu'il reste toujours soumis à une force constante mg^ égale à son poids, ayant même direction et même sens que la partie

3oo

positive de l'axe des z; d'ailleurs on admet qu'il tombe oa s'élève librement et dans le vide.

Les équations (a) du n* lOI* deviennent ici, par la suppression du facteur m.

dt^

dt^

drz

on en tire, par deux intégrations successives, en désignant par «> P> T» «'> PS y des constantes arbitraires.

dx lit

dt ^'

dz de

Or les données du problème nous montrent que or, y^ z^

dx dv

-^>~^ doivent s'annuler pour ^ = o, si l'on commence à

compter le temps quand le point mobile est à l'origine des

dz axes, et qu'on a au même instant -^ =i c^o* ^^ exprimant ces

conditions, on trouve

a=:0, prro, Y = ^'o, «'=0, P'=0, y'=:0,

et les valeurs des coordonnées deviennent

;r=io. r=:

Le mouvement se fait donc en ligne droite suivant Taxe des Zy et il est uniformément varié. Nous croyons inutile d'insister davantage sur ce cas particulier fort simple, déjà étudié dans la Cinématique, et qui rentre aussi dans la question résolue au n^ 97. Nous allons modifier les données en introduisant une force nouvelle, la résistance de l'air ou d'un fluide pesant quelconque, dans lequel se meut le point considéré.

L'évaluation exacte de cette résistance est un problème difficile, dont la solution n'est pas encore trouvée. D'après l'expérience et certains aperçus théoriques exposés plus loin dans une autre partie du Cours, on admet que la force exercée par le fluide sur un corps en mouvement dans son intérieur est la

DVniMiQus nn point màtëribl.

résultaote de deux autres, qui sont : i" une force v ascendante égale au poids du fluide qui occuperait I du corps, si celui-ci étail enlevé; s* une force dépen< la vitesse relative avec laquelle le corps se déplace fluide, et proportion ne Ile au carré de celle vitesse, à 1 elle serait d'ailleurs directement opposée, dans le cas (que nous supposerons) d'un corps de révolution auio axe parallèle à cette vitesse. Nommant alors P le rapport entre la densité du fluide el la densilé n

du corps; t> la vitesse du mouvement relatif de ce dernier; t une vitesse constante,

la première force aura pour valeur mgp, et, comme retranche du poids, celui-ci sera réduit à mff{t — p) tité que nous continuerons à représenter cependi mg, en changeant le sens de la notation g, afin de si

l'écriture ('); la seconde peut toujours s'exprimer par

moyennant un choix convenable de la constante k, qu sente la vitesse pour laquelle cette seconde partie dev égale au poids réduit mg. D'ailleurs si, comme nous poserons, le fluide est stagnant, c deviendra la vitesse du corps.

Cela posé, un raisonnement direct permet d'étahlir, mier lieu, que si la vitesse initiale cg a une directio cale, cette direction se conservera pendant toute la di mouvement et que celui-ci sera recliligne. En effet, mier instant, la résistance de l'air, opposée à f», est i ainsi que le poids; ces deux forces, agissant seules ] un élément dl du temps, produiront une vitesse verli< se composera avec C|, (n" 96); donc la vitesse est encoi cale après le temps dl, puisqu'elle s'obtient par la c don de deux vitesses verticales. Le même raison prouve qu'elle l'est encore après un second intervalle après un troisième, et ainsi de suite; elle restera dor

(') On admctlra de plus dans le calcul ci-aprés l'hypothèse !s pourf et p, et l'on supposera p < i, pour finer

3oa DBUXlfcMB PARTIB. — CHAPITRE DBUXIÈMB.

finiment verticale , ce qui ne peut avoir lieu que dans un mouvement rectiligne, suivant la même direction.

Maintenant nous distinguerons deux cas :

Premier cas : Mouvement descendant. — Le point part de l'origine avec la vitesse positive \f^ et parcourt Taxe des z positifs. L'expression de la force tangentielle {n^ 103) est ici

dv v^

'^ Tt = ""^ - '^^ ¥'

équation qui se met sous la forme

k^dif kdv f X I \

On obtient ensuite, par une intégration immédiate,

-r~ = L -, h const.,

et, en déterminant la constante de manière qu'on ait c = u pour ^ = o,

k (k-ç){k-^-vS

De là nous tirons la valeur de la vitesse

dz (A: + ro)g^ — (A- — Tq)

"^ dt^ m

il -1'

V __ (X-hro)e^ — -(A- — ro)g *

Une seconde intégration nous donnera z en fonction de t. Pour Teffectuer, on remarque que le numérateur de la fraction égale à t est, à un facteur constant près, la dérivée du dénominateur; on a par suite

(Âr-h ro)g* -H(A-— ro)g ik

DIHAMIQUB DD POINT II&TÉBIEL, 3o

ta constante introduite par l'inlégratioD étant déterminée d manière qu'on ait ^ =: o pour t=^o.

Les équations (a) et (3) donnent, en fonction du temps, I vitesse et l'espace parcouru. Lorsque t devient très granc

l'exponentielle e 'tend vers zéro; v et s tendent en mCm temps vers les valeurs

La vitesse tend, comme on le voit, vers la limite k san jamais l'atteindre ; elle va en augmentant ou en diminuant lou jours, suivant qu'elle est d'abord plus petite ou plus grande comme on le reconnaît facilement par l'équation ( 3 ) qui donn sa valeur en fonctiondu temps. On voit aussi par l'équation (3 que le point mobile tend à se trouver à une distance constant

temps de l'origine, serait animé d'une vitesse constante suivant la verticale. D'ailleurs, cela ne constitue véritable ment une avance que si l'on a v,> ^;car autrement le loga ritbme devient négatif, et l'avance se change en retard comme il est facile de s'en rendre compte a priori.

Deciiève cis : Mouvement ascendant. — Si nous supposon une vitesse initiale ascendante, le point va commencer monter verticalement. Changeons alors le sens de l'axe des î en laissant toujours l'origine au point de départ, et nommon i la hauteur parcourue en montant, à une époque / quel

conque ; c la vitesse correspondante; Vg la vitesse initiale, pour z=.o, t=io.

Les autres notations restant d'ailleurs les mêmes, nous au rous ici

dv

"di

= -mg-~mg -

3o4 DBUXIÈKB PARTIE. — CHAPITRE DBUUÈHB.

d'où résulte, en tenant compte de ce que v doit prendre la valeur v^ pour ^ = o,

~ = — arc tang -r -h arc tang ^ •

Cette équation, résolue par rapport à Vy donne

<> = A: tang (arc tang -^ "" T )

(4) { J-tangÇ «.^cosÇ-A-sinÇ