X- tang ^ V. sin ~ -h A- cos
Onpeut intégrer une seconde fois, après avoir remplacé 7 par -7^> et Ton trouvera, eu égard à la condition z == opour/=o,
,5, .= |L(^.„Ç*cosf).
L*expression de -r est toujours négative, de sorte que le
mouvement ascendant se ralentit de plus en plus, sous ^a^ tion du poids et de la résistance de Tair, qui sont tous deux en sens contraire de la vitesse initiale. La vitesse v devieûi nulle au bout d'un temps 6 ayant pour valeur, d'après [l'équation (4),
(6) «^ -arc tang ^;
la hauteur parcourue h est alors, d'après les équations (5)el (6),
Le point mobile arrive à la hauteur h au-dessus de son point de départ, au bout du temps 6, avec une vitesse nulle. Dans l'intervalle de o à 6, les équations (4) et (5) donnent la vitesse et l'espace parcouru en fonction du temps. Après le temps 8 le mouvement ascendant cessera, puisque
DTHâIHQDE du point VA.TfiBIBL.
la vitesse s'est anéantie et que la force agit dans le se descente. Alors commence un mouvement descenda les circonstances peuvent se déterminer par les formi blies pour le premier cas. Il faudrait seulement tra: l'origine des 2 à la hauteur h au-dessus du point de reprendre comme sens positif celui de la descente, les temps à partir de l'époque 0, et faire enfin c, =: o formules (2) et (3),
116, Mouvement parabolique d'un point pesant vide. — Prenons trois axes rectangulaires Ox, i (Jig- i6o), parmi lesquels l'axe des z sera vertical et ascendant; imaginons un point pesant lancé à partir de l'origine 0 avec une vitesse c» contenue dans le plan et l'angle zOx, et faisant avec l'horizontale Ox un angle donné a. Les équations du mouvement de ce point, débarrassées du facteur qui représente sa masse (n' 101)
tfjT d'y d^z
dt" ~ "' rfC ~ **' 'dF ~ ^'
Une première intégration donne
dx dy dz
^=consl., ^=con5t., j^=-j, + coll!
si l'on compte le temps à partir de l'époque où le p( en 0, on devra avoir, pour i = o,
dx dy . dz
déterminant les constantes par ces conditions, on au ' quelconque,
dx dy dz
-7- =i',COSa, -37—0, -j-= — gt + CtSm9
dt ' dt dt °
f*Utt. -~ Court df Mie. I.
3o6 DBUXIÈKB PAHTIE. — CHAPITRE DSUXIËIE.
Une seconde intégration conduit alors à
a:^= ÇotcosoL, y
sans constantes, puisque Xy /, z s'annulent pour f = o.
La deuxième équation (7) montre que le point se met dans le plan des zx (plan vertical contenant la vitesse initiale] L'équation de la trajectoire dans ce plan s'obtient en élii nant t entre ]a premiè;*e et la dernière équation du méml groupe, ce qui donne
5 = a?tanga —
gx^
'^v\ COS*a
on voit que cette courbe est une parabole à axe vertical, pr(h|
priété déjà connue (n* 97).
L'ordonnée z commence à croître, puisque pour /isolai
dérivée -^ a une valeur positive CoSina; cette dérivée s*aih|
nule quand t prend la valeur — ^ à laquelle répondent
J?= — -SmaCOSa
i'îsin*a et 5 =
La tangente à la trajectoire est alors horizontale, et le point se trouve à son maximum d'élévation , au sommet S de la rabole. Ensuite z décroît et redevient nul au bout du tem) 2(^0 sina
; à cet instant on a
ÔÂ
- Sinacosa.
Pour rendre maximum cette distance, qu'on nomme \^^A tée du jet, en regardant ^o comme une donnée invariable, oe doit prendre « = 45°; carie facteur variable asinacosapeut se remplacer par sinaa, quantité toujours moindre que i,sa«n
pour a =r 45®. Le maximum de OA sera par conséquent—- En posant tanga -= p, l'équation de la parabole devient
On peut y considérer p comme un paramètre variable et chercher l'enveloppe de toutes les paraboles représentées par cette équation.
A cet effet on doit, suivant une théorie connue, éliminer le paramètre p entre Téquation (9) et sa dérivée par rapport à p, laquelle est
Oz=zX —
L'élimination se fait sans difficulté et donne pour équation de l'enveloppe
C'est encore une parabole, dont le sommet se trouve sur Taxe
des i; en 6, à la hauteur — ^- Son intersection avec Taxe des x
a lieu à une distance -^ double de OB, ce qui prouve que le
foyer est en 0, à l'origine. Tous les points intérieurs de cette parabole peuvent être atteints par un projectile lancé de 0 avec la vitesse Tq, dans le plan ^0^ et sous un angle a convenablement choisi, car les diverses paraboles obtenues en faisant varier p se succèdent d'une manière continue, dans leur enveloppe commune (*); les points ext'érieurs, au contraire, ne sont pas susceptibles d'être touchés. Pour cette raison, la courbe dont il s'agit se nomme la parabole de sécurité. Il est clair que, si l'on fait varier le plan zOx autour de O5, le paraboloïde de révolution engendré par cette parabole marquera la limite de la région exposée aux projectiles partant de 0, avec la vitesse t^o/ dans une direction arbitrairement choisie.
(') Si l'on cherchait la valeur qu'il faut donnera p pour faire passer le projectile par un point donné {^ZyX)y on aurait, au moyen de Téqua-
^on (9)»
cette expression est réelle pour les points intérieurs à la parabole enveloppe, et imaginaire pour les points extérieurs.
BBUIlfcME PAITIE.
CHÀPITVB DEUXIÈIE.
117. Mouvement d'un point sollicité par unejorce centi fonction de la distance. — Lorsqu'un point matériel M si Taclion d'une force unique F passant toujours par ud poii fixe 0, l'accélération totale de ce point, ayant la même dir tion (n<* lOi), passe aussi par le point 0; donc le plan oscali leur de la trajectoire y passe également, puisqu'il contiei l'accélération totale. Cela suffit pour conclure immédiatemei que la trajectoire est plane. Soient, en effet, Hi, Ms, M), quatre positions consécutives infîniment voisines du poii mobile; un plan osculateur sera OMiM^Ma et le plan oscub teur suivant sera 0M,MsM4. Or ces deux plans coînclden| car ils ont trois points communs, savoir 0, M,, Ms.Doncchaqi plan osculateur coïncide avec le précédent et le suivant, et pa conséquent tous coïncident avec celui qui répond à l'origii du mouvement, et qui est déterminé par le point 0 etIaTÎ tcsse initiale.
Le même fait pourrait encore se démontrer comme il suit Imaginons deux rayons partant de 0 et joignant ce point deux positions intiniment voisines M, M' du mobile; soiei di l'aire OMM' et a, p, y les angles que la normale à son plî fait avec trois axes rectangulaires Ox, Oj, Oz. Les trois pr jections de l'aire d<T sur les plans coordonnés respectiveinei perpendiculaires à ces axes seront
^ffCOSa, dacos^, dvcoS'^;
donc, si l'on nomme A, B, C trois quantités constantes pendanf toute la durée du mouvement et dt le temps du parcours MM on aura, en vertu du théorème des aires (n«108),
da cos oL^zKdt, d<j cos ^^=Bdt, di cos y = C </^ ; d'où l'on déduit, eu égard à cos*a -^ cos*? -f- cos'y = ï»
cos a =r
cos? =
cos 7
DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL. Sog
Le plan déterminé par deux rayons vecteurs consécutifs est donc toujours le même, puisque ses cosinus directeurs ne changent pas ; donc la trajectoire est contenue dans ce plan. Ce plan étant immédiatement connu,
Fiff 16 1
comme nous l'avons déjà dit, il suffît de .^
définir les positions successives du point ^^^
au moyen d'un système de coordonnées tx \
planes. Nous adopterons les coordonnées X^
polaires, savoir le rayon vecteur OM = r 0 F
{fig. 161), et l'angle 6 == OMP, décrit par ce rayon à partir d'une droite fixe OP. On sait que la vitesse v satisfait alors à l'équation (n* 12)
On sait, d'un autre côté (n<» 109), que si l'intensité delà force, considérée comme répulsive, est représentée par mip'(r), m désignant la masse du point M, il y aura un potentiel /w<p(r); par suite, l'application du théorème des forces vives donnera
en nommant h une constante égale \ v\ — 2«p(/-o), c'est-à-dire à la valeur que prend p' — 2<p(r) pour la position initiale du point.
Nous pouvons aussi nous servir du théorème des aires. Si nous nommons C le double de l'aire décrite par OM dans l'unité de temps (ou le moment de la vitesse initiale relativement à 0), nous aurons
attendu que r' d^ exprime le double de Taire décrite par OM dans le temps dt.
Les équations (i) et (2) permettent d'avoir r et 6 en fonction du temps, et par conséquent elles définissent complètement le mouvement du point M. L'élimination du temps donne d'abord la relation entre r et 6, et fait ainsi connaître la forme de la trajectoire ; pour obtenir cette relation, il suffit de porter
3lO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DECXIÈIE.
dans l'équation (i) la valeur de dt fourme par réquation (2). Il vient alors
d'où Ton lire
il ne resterait à effectuer qu'une quadrature. Ensuite, après avoir obtenu 0 en fonction de r, on déduirait de l'équation (a)
r*rf6 dr
(4) dt=^ = -^=--.^-^^;
la connaissance de t en fonction de r, ou inversement de r en fonction de c, est donc encore ramenée à une quadratare. Enfin, connaissant r à chaque instant, on connaît par cela même 6, puisqu'on sait quelle valeur de 6 répond à une valeur donnée de r.
En supposant que la force fût donnée en fonction de la distance, nous avons pu déterminer la trajectoire. Réciproquement, si l'on donnait la trajectoire, nous en déduirions la force. L'équation (3) nous conduit en effet à la valeur du potentiel
et le second membre, en vertu de la relation donnée entrer et 0 pour définir la trajectoire, peut être regardé comme une fonction connue de r. On en tirera par une dérivation ?'(/")» qui exprime la valeur absolue de la force rapportée à l'unilé de masse, ou celle de l'accélération qu'elle produit. On trouve de cette manière
C*/£ 2dr^ I d*r\
DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL. 3l[
Or on a identiquement
r i ar
dô r* d^'
^6» r»ûfô« /•« d^^'
la dernière équation peut donc se mettre sous la forme plus simple
118. Cas particulier du problème précédent; mouvement produit par V attraction d'un centre fixe, avec une intensité inversement proportionnelle au carré de la distance. — On
suppose la force exprimée par ^^ {x étant un coefficient
constant et l'expression étant affectée du signe —, parce qu'il s*agit d'une attraction ; nous devons donc prendre
Par la substitution de cette valeur, l'équation (3) du n^ 117 devient
Remarquons d'abord que ^ h- pi est nécessairement positif,
dr car autrement ^ resterait imaginaire pour toutes les valeurs
de r, ce qui ne peut évidemment pas avoir lieu dans un mouvement réel. D'ailleurs, on vérifierait le fait sans difficulté en
