ha=:arccos

\lr ICj

ou encore

Ci ^

c'est réquation d'une section conique ayant le centre d'ai-

traction pour un de ses foyers, une excentricité e = — el on

G* paramètre a(i — e')=— • La constante « se déterminerait

par la condition que les valeurs initiales Tq, % de r et de 9 doivent vérifier Téquation (6). La trajectoire serait alors complètement connue et, si Ton comptait les angles 0 à partir de l'axe passant par les foyers, on pourrait lui donner la forme

(7) ^^aO-e^)

^'' I -hecosO

Cette courbe sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que e, ou — y sera inférieur, égal ou supérieur à I. Or on a posé

DYNAMIQUE DU POIKT MATÉRIEL. 3l3

relation qui peut s'écrire

on voit, par conséquent, que le genre de la section conique dépend uniquement du signe de h. On aura rellipse, la parabole ou rhyperbole suivant que h sera négatif, nul ou positif, c'est-à-dire suivant que (*o 6t r^ satisferont à telle ou telle des trois relations .

Il est remarquable que la nature de la trajectoire, pour une position initiale donnée, soit uniquement déterminée par la grandeur de la vitesse et ne dépende en rien de la direction variable que Ton pourrait donner à celle-ci.

Nous devons encore chercher 0 et r, ou tout au moins Tun des deux en fonction du temps ^, afin de pouvoir connaître la position du mobile sur sa trajectoire à une époque quelconque. On pourrait, à cet effet, employer l'équation (4) qui,

par la substitution de cp(r) — - > deviendrait

, rdr

dtz

l'intégration s'effectuerait sans difflculté, puisque le radical est seulement du second degré ; mais il faudrait avoir égard au signe de h, si l'on voulait éviter l'introduction des imaginaires dans les formules. Sans nous arrêter davantage à ce calcul, nous pouvons, dans le cas de la trajectoire elliptique, le remplacer avantageusement par la démonstration géométrique suivante.

Soient ABDE {Jig. 162) l'ellipse parcourue, AD, BE ses axes principaux, C son centre de figure, 0 le foyer d'où émane la force attractive, M une quelconque des positions du point mobile. Suivant l'usage ordinaire, nous désignons par a la

longueur AC et par e le rapport -==- ou l'excentricité. Nous

supposerons le temps t compté à partir de l'époque où le

DKUUfcMB PARTIE.

GHàPITIB DEUXllQU.

mobile était en A, et nous allons chercher deux expressions du double de Taire MOA engendrée par le rayon vecteur OM depuis la position initiale OA. Une première expression est C^ la constante G conservant la signification qu'on lui a doanée

dans les calculs précédents. Poor en avoir une autre, décrivons le cercle A6|DE| sur AD comme diamètre, menons HP parallèle à BC et prolongeons cette .ordonnée jusqu'à sa rencontre en M' avec le cercle; soit u l'angle M'CA des rayons M'C et CA. Le double du secteur M'CA est a* « ; en le multipliant par v/i — ^S rapport constant entre les ordonnées du contour formé par CM' et l'arc d'ellipse MA d'une part, et celles du contour formé par CM' et l'arc de cercle M'A d'autre part, on aura deux fois l'aire CMA ; donc

2aireCMA=ia*£/v/i — e*.

D'un autre c6té, le double de l'aire du triangle MOC est le produit de OC — oe par la hauteur

d'où

MF = v^i* - e« U'y=a\^i — e* sin«,

aaireMOC = a^\ i — e-esinu.

Par suite, on a

aaireMOA — 2(aireCMA — aireMOC) i^à^^i — e'{u -esinu)

et, en égalant les deux expressions de cette même surface,

Ct

u c sm a =

La variable auxiliaire u est liée à r et à 0 par des relations fort simples. Une des propriétés connues de l'ellipse consiste d'abord en ce que OM = a — eCP, et, comme CP =acostt,

DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL. 3l5

on en déduit

(9) r = a (i — ecos m).

Par la comparaison de séquations (7) et (9), on a ensuite

I — e cos u =r

i-hecosô^

d'où résultent successivement les équations

^ cos u — e

cos6 = ,

I — e cos u

I — cos6 (i -i-e)(i — cosm)