I -H cos6 "" (1 — e)(i -h cos w)' . et enfin

(10) tang- e ziz y/ - — lang- u,

L*angle u étant connu en fonction de t par Téquation (8), les équations (9) et (10) donneront r et 0 à la même époque.

On peut mettre à la place de la constante C diverses expressions. D'abord ce serait le produit de la vitesse, à un instant quelconque, par sa distance au point 0. Secondement,

comme nous avons remplacé plus haut — par a(i — e*), on a aussi

ce qui transformerait l'équation (8) en (il) w — e sin w 1=: i / -- t.

in« = y/Ji

Enfin, si Ton désigne par T le temps employé par le mobile pour le parcours de la courbe entière, on aura

— 27ca' \i 1 — éf^ ou ^ = - ;

on voit, par conséquent, que le coefficient de t dans les équations (8) et (11) n'est autre chose que la vitesse angulaire constante d'un point qui tournerait uniformément autour d'un

3l6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DECXIÈME.

centre, en faisant un tour complet dans un temps égal à celai que met le point H pour parcourir son ellipse entière. En désignant par n cette vitesse angulaire, on écrirait la valeur de u^esiïiu sous la forme définitive

(la) u — esini/=:/i^.

En vertu de Tune des équations (8), (ii) et (la) (qui en réalité n'en font qu'une), u est une fonction du temps. La recherche de cette fonction est une question qu'on nomme le problème de Kepler; nous allons la résoudre dans Thypothèse où l'excentricité serait assez petite pour rendre négligeables ses puissances au delà de la seconde.

L'équation (la) donne d'abord

a=rn^ -h esini/;

en remplaçant u par nt-\-es\nu dans le second membre, cette équation devient

u=:nt -\- e sin {nt 4- e sin u) i=znt -\-e sin nt cos {e sin u)-he cos nt sin {e sin u).

Or on a aussi

cos(esinu) =1 e'sin'w -\-. . .,

sin {e sin «) = e sin w — ^ e'sin* a h- ... ;

la substitution de ces valeurs dans la dernière expression de u donne, en négligeant les quantités au delà du second ordre relativement à e,

u=z nt -\-e sin nt 4- e* cos nt sin u.

Enfin, si Ton remplace encore une fois u par nt -\-e sin u dans le second membre, on trouvera, e' étant toujours supposé négligeable,

u z= nt -h e smnt -h e^sïnnt cos nt.

119. Mouvement des planètes autour du Soleil; lois de Kepler et leurs conséquences immédiates. — Les lois du mouvement des planètes que Kepler a déduites de ses observations

DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL. Sl^

sont au nombre de trois et peuvent se résumer dans les énoncés suivants :

Première loi. — Le centre de chaque planète décrit autour du Soleil supposé fixe, et dans un plan passant par son centre, une orbite dans laquelle les aires engendrées par un raj on vecteur joignant les deux centres sont proportionnelles au temps.

Deuxième loi. — La courbe décrite par le centre de chaque planète est une ellipse dont le centre du Soleil occupe un des foyers.

Troisième lot. — Les carrés des temps des révolutions sont proportionnels , pour les diverses planètes, aux cubes des grands axes de leurs orbites.

La première loi nous prouve (n* 108) que le moment de la quantité de mouvement de la planète par rapport au centre du Soleil est constant; il Test donc aussi par rapport à un axe quelconque issu de ce point (n» 103). Donc le moment de la force exercée sur la planète est nul relativement à tous ces axes, d'où Ton conclut que la force passe par le centre du Soleil, si toutefois il est permis de considérer ce poinl comme fixe.

L'équation de l'orbite étant mise ensuite sous la forme (7), on en tire

donc

I I-4-CCOS6

r — ecosô

par conséquent, l'équation (5) du n<»117 nous donne pour expression de la force rapportée à l'unité de masse

' ^ ' ar'{i — e*) /•'

la notation [x conservant le même sens qu'aux n«» 117 et 118.

3l8 DBU3UÈMB PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈIVE.

Celle valeur est négative, car dans l'ellipse on a e<i; donc la force est une attraction variable en raison inverse du carré de la distance.

Si Ton nomme T le temps de la révolution entière d'une planète aulour du Soleil, on a établi plus haut (n» 118) l'égalilé

dont les deux membres expriment un même coefficient dans les équations (ii) et (12). Or la troisième loi de Kepler nous

montre que i./ 7=- reste constant pour toutes les planètes;

donc il en est de même, en raison de l'égalité précédente, pour le coefficient {a. Nous pouvons en conclure que l'accélération totale est la même pour toutes les planètes à égalité

de distance, puisqu'elle s'exprime par -^ en valeur absolue;

la force correspondante serait proportionnelle à la masse de chaque planète.

Les lois de Kepler ne sont pas d'une exactitude rigoureuse; de plus, nous avons raisonné, pour en tirer des conséquences, comme si le centre du Soleil était absolument fixe et comme si les planètes n'exerçaient aucune action les unes sur les autres. C'est cependant en adoptant ce point de départ approximatif que Newton est arrivé à découvrir la grande loi de la gravitation universelle, découverte qui aurait suffi à elle seule pour immortaliser son nom. Les petites erreurs que l'on commet ainsi se compensent avec tant d'exactitude que cette loi , prise à son tour comme point de départ et appliquée avec toute la rigueur possible, permet d'expliquer et, au besoin, de prévoir à l'avance toutes les circonstances des mouvements observés dans le système solaire; elle a même conduit Le Verrier à déterminer par le calcul une planète importante (Neptune), inconnue avant lui et dont il a pu indiquer la position aux observateurs. Mais c'est là un ordre de questions que nous ne pouvons développer davantage, et qui rentre plutôt dans le domaine de l'Astronomie ou de la Mécanique céleste.

BTirAMIQDE DO POINT HÀTËIIBL.

120. Mouvement d'un point pesant sur une droite tr. — Soil un point M (/ig. i63), soumis à son poids mg ei assujetti à décrire une droite inclinée M«A, qui angle x avec la verticale. Nous admettons, comme au n" 110, que les obstacles par lesquels on oblige le point à décrire cette trajectoire exercent sur lui une force N, normale à MjA et inconnue a priori. Si l'on remplace le poids MG par deux composantes rectangulaires, l'une MH = m^cos« dirigée suivant MA, l'autre Ml^m^sinct contenue dans le plan vertical MGH, le point pourra être considéré comme se mouvant librement sous l'action des trois forces m^cosi, mg sina, N. Le dernières ayant des projections nulles sur MA, la pr<

dv sera égale à lâ force tangentielle m -y- (a' 105), et l'ot

par suite,

Cette équation sufTit pour déterminer le mouvement di sur la trajectoire donnée. Par une première intégration en déduisons la vitesse

v^ t>t, -h gt coai,

1', étant la vitesse initiale, à l'époque où le mobile était époque à partir de laquelle on comptera le temps. Ap maintenant x la longueur M,, M parcourue pendant le tei

à la place de c, nous mettrons -j-y et une seconde ir lion donnera

x^ 1-0(4- -gt* COSa.

Comme on le voit, le mouvement suivant Mi,A est t mément varié; son accélération est ^cos a, projection droite parcourue de l'accélération g qu'aurait le poi tombait librement.

Dans l'bypothèse c, = o, la longueur j: = o se réi

-^/*cosa, projection de la longueur verticale MoB=:-^(*

sur la direction Mo A. Si Ton imaginait des points pesants partant simultanément, sans vitesse initiale, de la position M« commune, mais dans toutes les directions possibles, la droite MqB que Ton devrait projeter pour avoir les positions de tous ces points à une même époque serait indépendante de 2; donc le lieu de toutes ces positions contemporaines serait une sphère décrite sur MqB comme diamètre. Le point B varierait d'ailleurs avec le temps et descendrait verticalement, comme un point abandonné en Mo sans vitesse initiale, sous l'action de son poids.

L'accélération totale d'un mouvement recliligne se réduisant à l'accélération tangentielle (n*» 15), la force centripète s'annule dans le cas particulier que nous traitons. Donc la force normale N est égale et contraire à la composante normale MI du poids /n^nzMG; ou bien encore la pression du point M sur l'obstacle qui lui fait parcourir la droite M«Aest égale à m^sina. L'inconnue auxiliaire N se trouve ainsi déterminée. On remarquera que son égalité avec la composante normale du poids tient uniquement à la nature de la trajectoire et ne subsisterait pas si le point parcourait une courbe au lieu d'une ligne droite.

121. Pendule circulaire simple. — Le pendule circulaire simple consiste en un point matériel pesant M, qu'on suppose assujetti à se mouvoir sur un arc de cercle MqAM'^ {^. '64),

contenu dans un plan vertical et tournant sa concavité vers le haut.

On admet ici, comme dans l'exemple précédent (n* 120) et dans la théorie générale du n« 110, que l'obligation pour le point de parcourir cette trajectoire résulte de l'action d'une force normale N, d'intensité a priori inconnue ; le point supporte en outre l'action de la pesanteur, c'est-à-dire une force verticale constante mg. En projetant ces deux forces sur la tangente et sur la normale, on obtient les composantes

Fig. i6'|.

tangentielle et centripète de la résultante (n« 105); donc, si Ton nomme a Tangle du rayon OM avec la verticale et / sa longueur constante, on a

— j- =z N — mg cos a.

La première équation permet, comme on va le voir, de déterminer le mouvement; ensuite la seconde fera connaître la

force N =1/12^ cos a H Cette force pourra être produite

P par une ligne matérielle qui réunirait le point M au point 0 ;

la réaction de M sur cette ligne la mettrait en état de tension, puisqu'elle agirait en sens contraire de N, suivant OM prolongé, autant du moins que Tangle a ne dépasserait pas Tangle droit. On pourrait donc, sous cette réserve, constituer la ligne avec un fil inextensible, dont la masse devra de plus être supposée négligeable, car autrement son poids aurait une certaine influence dans le mouvement du système total, et celui-ci n'aurait pas la simplicité idéale que nous voulons lui attribuer.

Occupons-nous maintenant de rechercher le mouvement du point M. Soit Mo sa position initiale, telle que le rayon OMo fasse un angle donné MoOA = ao avec la verticale; le point est supposé abandonné sans vitesse, après avoir été amené en Mo* Comme l'arc Mo M s'exprime par /(ao— a), on en déduit

.dx dv . ûP a

donc on a, en vertu de la première équation ci-dessus, (I) ^|sma.

Multipliant les deux membres par 26^x et intégrant, nous trouvons

\dt) "" /

cos«-Hconst.,

BtEftSE. — Cours de Mée. I. ai

OU, si Ton tient compte de ce que la vitesse t' 6t ^ sont nulles en Mo,

\dt) ~~ l

(COSa — COSao)*

On peut remarquer que le premier membre de celte équation, multiplié par m/*, exprime l'accroissement de la force vive du point dans le parcours Mo M; le second, multiplié par le même facteur, devient

2m^/(cosa — cosao) OU 2m^(0B — OBp),

c'est-à-dire le double du travail de la force verticale mg dans le même parcours. L'équation (2) n'est donc pas autre chose que le résultat de l'application du théorème des forces vives (n» 109), car le travail de N est toujours nul; on aurait pu, par conséquent, poser immédiatement cette équation. Elle permet déjà de constater une propriété du mouvement. L'angle i

va commencer à décroître, parce que, autrement, (-t-) devrait

prendre des valeurs négatives, ce qui est impossible; pendant

doi que a décroît de «o à o, ^ et t» vont en croissant; lorsque j

continue à décroître et passe au négatif, cosa reprend les mêmes valeurs que dans le parcours Mq A, de sorte que la wtesse est la même pour deux points M et M' symétriquement situés de part et d'autre de la verticale OA; le mouvement du point sur sa trajectoire conserve d'ailleurs le même sens, jusqu'à ce que la vitesse, progressivement décroissante à mesure que M s'élève, repasse par la valeur o. C'est ce qui a lieu pour la position Mq, prise à la hauteur de Mq. Le point mobile se trouve alors dans les mêmes conditions qu'au point de départ; il va donc revenir en Mo, en passant par des vitesses de même grandeur et de sens contraire, après quoi il reviendra encore en Mq, et ainsi de suite indéfiniment. Le mouvement est oscillatoire, et, comme toutes Içs oscillations présentent des circonstances identiques, il suffît d'étudier le passage de Mo à M'o, en faisant varier a de ao à — «o.

DTIfAVIQDE DU POIITT HATÉBIBL.

Pour cela, nous tirerons d'abord de l'équation (a)

V'cOSa — COS»,

le signe — donné au radical se justifie, parce que quand t augmente. L'intégration de celte relation s< noie exigerait l'emploi des fonctions elliptiques; ma l'éviter en supposant les angles a et a^ assez petits p( négligeables leurs puissances au delli de la troisié

sans constante dans la dernière équation, parce ( 6tre nul pour a = a,, ce qui aura lieu pourvu que censé le plus petit des arcs positifs ayant leur coi

Il -■ On déduit de là

(4) « = a,co8(y/^,

ce qui définit a en fonction du temps.

Si l'on veut avoir le temps T d'une oscillation enl sitions H« et M', (dans l'un ou l'autre sens), il fat dans l'avant^ernière équation a := — a^ et arc cos( donc

ce qui montre que les petites oscillations ont une d pendante de leur amplitude.

Nous ne chercherons pas à exprimer « en fonctior le cas où l'amplitude des oscillations ne serait pas t

nous chercherons seulement ce que devient le temps T. Pour cela posons

J7 = I — COSa, b=zï — COSGCo»

- . » 1 dx dx dx

dx =z sina aa, aa = — — = = , ;

sina ^j(i^)i y/ax — j:*

la substitution de la variable x k a dans l'équation (3) donnera

I 77 dx

et, attendu que — exprime le temps du parcours MoA, égal pour cause de symétrie à celui du parcours AM^,

OU enfln

L'intégrale qui entre dans le second membre de l'équation (6) peut se développer en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de b. On a, en effet.

série convergente même dans le cas où a dépasserait -> ccr

DTNAMIQDE DO POIHT HATÉBIBL.

X ne peut dépasser la limile a, el — ne dépasse pas l'un

Donc, si l'on porte cette expression de I i 1 dans l'éq

tion (6) et que l'on pose d'une manière générale, n étant nombre entier quelconque.

Il ne reste donc plus qu'à déterminer les diverses intégrj

définies représentées par A», A,, A„ .... A„ Or on p

les ramener toutes à la première.

On a, en effet,

2\/bx (an — lii.^--'— anx»

2l/ÙX — x'

Multiplions par dx les deux membres de cette égalité et ii grons de o à 6; comme x"-^ \Jbx — x*, intégrale indéfinie premier membre, s'annule aux deux limites (pourvu que n descende pas au-dessous de i), nous trouverons ainsi

(an — i)iA„-, — araAn = o,

soit

art

Faisant successivement, dans cette relation, n égal à

on en tire

DBUXI&n PàBTIB. — CHAPITBS BECXIÈIB.

A,= gA.Ô = ^Ao6S

An =

2/1 — I . , 1.3.5. ..(an — i) . .

D'un autre c6té, la valeur de Ao s'obtient bien facilemeot. On a

arccos

si donc on prend les intégrales entre o et 6, il viendra

\bx — x^

= Ao= arc cos(— i) — arc cos i = it.

Toutes les intégrales définies A;^ sont donc maintenant connues; leur substitution dans l'expression (7) de T conduit au résultat final

ri.3.5...(2/i — inv^y

Quand on suppose l'amplitude ao très petite, b est très

voisin de o, et cette formule donne T

=vi

comme noos

DTKAKIQUB DU FOIHT MlTeiUEl.

l'avions trouvé directemenl. Si l'on veut exprimer T avec approximation plus grande en fonction de «a, on Tera dai formule (8)

&— 1 — cosa,),

ou, en considérant comme négligeable la quatrième puiss (le Os,

on trouvera ainsi

Effet de la résistance de l'air sur l'amplitude et la a des petites oscillations. — Conformémeni à ce qui a dêji fait dans une autre occasion (n° 115), on admettra que, tenir compte de la résistance de l'air, il faut : i" remplac par une valeur plus petite, ff' = S'U — p)i en désignant ] le rapport, ordinairement très petit, entre la densité de et la densité moyenne du pendule; a" introduire une I agissant sur le pendule en sens contraire de la vitess

exprimée par mg' -r^- Si l'on modifie, d'après cette im

lion, la valeur de la force tangentielle, l'équation (i) ci-d( devient

ou, plus simplement.

'\dt)

le coefficient p étant défini par la relation p -

Maintenant, on suppose le pendule abandonné à lui-m^ avec un écart initial a», et l'on demande : i" son plus g écart a', de l'autre côté de la verticale, à la fin de la prenoscillation; a» le temps de cette première oscillalion, A

338 DECXIÈMB PARTIE. — CHàPITBE DEUXIÈME,

avoir résolu ces questions, il est bien évident qu'on pourra, par Tapplication des mêmes formules, trouver l'amplitude et la durée de Toscillation suivante, car il suffira de remplacer «0 par a!^ ; puis on passerait de la seconde à la troisième, et ainsi de suite.

Afin d'éviter un calcul trop compliqué, nous supposerons que le coefficient p est assez petit pour qu'on soit autorisé à

-j-j de

l'équation (lo) peut être évalué en prenant pour valeur de la

vitesse angulaire -r- celle qui aurait lieu si p devenait égal

à o. Or cette valeur est donnée par l'équation (2), sauf qu'on doit y remplacer g par g'; sa substitution dans l'équation (lo) donne

-^=— ySma-h ^- (C0S3t — cosoio),

ou encore, dans le cas où a reste très petit. Intégrant, après avoir multiplié par 2t/a, on trouve

Les limites de l'oscillation répondent à -j- = o, c'est-à-dire

aux positions où la vitesse devient nulle; cela se produit d'abord pour a = «<,, ce que nous savions d'avance, puisque le pendule avait été abandonné sans vitesse initiale, dans la position définie par a = ao. Pour avoir l'autre limite, on résoudra l'équation du second degré en a

«o-t-a-J- -^ (a*-f-aao— - 2aJ) =0,

qui a deux racines a', a'', exprimées par les formules

ol'

OU, en bornant Tapproximation aux termes contenant la première puissance de/?,

ip 3

Ces deux racines sont négatives; la première est légèrement inférieure à «o en valeur absolue; la seconde est très grande en raison de la petitesse de />. C'est donc la première qui fournit la limite cherchée, car le pendule arrive sans vitesse à la position a = a' et il ne peut aller plus haut, puisque son poids tend toujours à le faire redescendre.

Ainsi se trouve résolue la première partie du problème que nous nous sommes posé. Si Ton nomme «o, a'^, a^, ... les angles d'écart successifs pris en valeur absolue, il résulte du calcul précédent qu'on aura

ce qui permet de déduire tous ces angles du premier.

Cherchons maintenant le temps nécessaire pour passer de 2o à a', c'est-à-dire pour accomplir la première oscillation. Nous mettrons d'abord le facteur entre crochets dans le second membre de l'équation (ii) sous la forme

?^(a~a')(ot^a').

33o DEUXIÈn PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈIE.

Le facteur -y- (« — «') devient, en remplaçant a' par sa valeur,

il diffère donc toujours très peu de Tunité, et, par conséqaeDt, l'équation (ii) peut, sans erreur sensible^ se réduire à

(Êy=T("-')("-"')-

On en lire

et, en intégrant,

^ Tv^o— «)(* — «';

Or on a

r -doL r --di

r —dt

— arc cos — , — ;

donc, en prenant l'intégrale entre les limites,

T= i,' ~7 [arCCOS( -l)— arc cos l] =:::-i:i /y

Le temps de la première oscillation est donc indépendant de/7, c'est-à-dire de celte partie de la résistance de l'air qui est proportionnelle au carré de la vitesse; et, comme ce temps ne dépend pas non plus de l'écart primitif a© (pourvu q»f celui-ci soit petit), il restera encore le môme pour les oscillations suivantes.

On voit, en résumé, qu'on tient suffisamment compte de U résistance du milieu fluide, en ce qui concerne le calcul du temps T des petites oscillations d'un pendule circulaire simple

DYniMIQUE SU POINT MÀTfiHlBL.

si l'on remplace dans la formule (5) la constante g par i valeur un peu moindre ^, égale à ^(i — p), ce qui condu la nouvelle formule

Ce temps aurait donc subi une augmentation, d'ailleurs ] sensible, quand le pendule est formé d'une petite lentille i ullique, car alors p peut descendre à i ou a dix-millièi et oième moins.

122. Pendule cyctoïdal. — Le pendule cycloïdal se c (inguedu précédent en ce que le point matériel pesant M assujetti à se tnouvoirsur une cycloïde BAC {fig. i65) conlei

dans un plan vertical. Pour remplir cette condition, on p concevoir qu'on ait établi deux cylindres horizontaux ay pour sections droites les demi-cycloïdes BD, DC, dont la r nion constitue la développée de BAC. Un lil flexible et iu' lensible, de longueur égale à BD, sera attaché en D par i extrémité et au point M par l'autre. Le fil étant supposé t jours tendu, une partie telle que DS s'enroulera sur la dé loppée, pendant que le bout M de la partie libre SM déci la cycloïde BAC.

Le point matériel a d'abord été mis en Mg sans vitesse i tiale. Nous pouvons trouver sa vitesse c répondant à une ; sillon M quelconque, par l'application du théorème des for vives. Si nous désignons par /^ et y les hauteurs vertica des points M, et M au-dessus du point le plus bas A de la

33a DEUXIEME PARTIE. — CHÀPITEE DEUXIÈIB.

cloïde BAC, le travail du poids mg de M sera mg{y^—y)\ te travail de la force exercée par le fil sera nul, parce que cette force agit toujours normalement au chemin élémentaire suivi par son point d'application. Donc l'équation (7) du a* 109 devient ici, après suppression du facteur - /n,

Cette équation montre que la vitesse croît de o jusqu'à uo maximum ^'^gy^ répondant au point A, puis décroît de ce maximum jusqu'à o, en repassant par les mêmes valeurs. Le point mobile, après avoir descendu le long de Mo A, remontera donc le long de AM'o jusqu'à la hauteur du point de départ; dans cette seconde partie de l'oscillation, les déplacements sont symétriques avec ceux de la première moitié, et, comme il y a des vitesses égales en deux points symétriques, il est clair que le temps total sera le même pour les deoi

parcours MqA, AM^.

Nommons 5 la longueur de l'arc de courbe AM et r le rayon du cercle générateur de la cycloïde. Lorsque le point décrivant était en M, ce cercle occupait une position RMQ, telle que l'arc RM = RB; le centre instantané de rotation du cercle est alors son point de contact R avec BC, de sorte que les droites RM, MQ joignant M aux deux extrémités du diamètre vertical RQ sont la normale et la tangente à la cycloïde en M; par suite, on a

dy .-^-3 MQ

-7- = cosMQR = —^ • as ar

Or, en abaissant de M la perpendiculaire MP sur QR, on sait que

MQ =2r.PQ = 2rj;

donc l'expression de -^ devient, eu égard à cette valeur de

MQ,

dy sfïry

ds ' ir

V ar

On en déduit immédiatement

ds ziTy/ÔTr ~y

et, en intégrant,

s^zisjir \Jy ou 5- = 8r/,

sans constante, parce que 5 et/ s'annulent simultanément.

La substitution de ^ à la place de 7 dans la valeur ci-dessus trouvée de la vitesse donne

d'où résulte

- de- V4r^" '

< = i / — arc cos — h consi .

La constante de la dernière équation est nulle, quand on compte le temps depuis l'époque où le mobile est en Mo, et alors on a

Le temps total de l'oscillation T peut se déterminer, soit en faisant .v — — ^o, soit en faisant 5 r= o et doublant la durée correspondante. On trouve

cosTi/-r-~ — I ou cos- v/-r- = o, d'où l'on conclut

Ce résultat est remarquable en ce qu'il ne dépend pas de la position initiale Mo; les grandes oscillations s'effectuent dans

334 BEUXlfiMB PàRTIB. — CHAPITRE DECXlKlE.

le même temps que les petites. Pour cette raison, on dit que la cycloïde est une courbe tautochrone^

Parmi toutes les courbes contenues dans un plan Tertical et symétriques relativement à la verticale du point le plus bas, la cycloïde est la seule qui jouisse de cette propriété. Cest un fait depuis longtemps connu, dont on a donné (Uverses démonstrations; en voici une fort simple.

En vertu de l'équation

qui donne la valeur de la vitesse, on a, pour le temps de la descente.

I r -ds j Ç^' ds

Or supposons la courbe définie par une équation entre s et /i telle que

et prenons, en outre, une variable auxiliaire «= — ; la substitution de/(7) et de «/o» au lieu de s et de y^ change l'expression de - T en

uYndu

laquelle, en posant, comme définition d'une nouvelle fonction ^(a:),

se met encore sous la forme

y^)du

Si Ton veut que le temps - T reste le môme quand /otarie, je dis que ^Kwjo) doit se réduire à une constante. En effet,

DTNAHIQOB DU FOINT lÂTËlIBL.

s'il en était différemment, on pourrait prendre ^b assez f pour que, entre u = o et m = i, la dérivée ^'{«/i)) conse toujours le même signe; alors un changement de y^ U varier dans le même sens tous les éléments de l'intégrale par conséquent, celle-ci ne pourrait conserver la même leur, ce qui entraînerait aussi le changement de - T. E nous devons poser

\/y/'(y)=consl.--C, d'où résulte

/'(7)=-^ et /(/) = 2Cv'r.

sans terme constant dans le second membre, si l'origine d et celle des^' sont placées au même point, ce qu'on est jours lihre de supposer.

Donc, enfin, la courbe cherchée est représentée par quation

s=:2C\/y ou 5'=4C'j';

c'est une forme connue (déjà employée plus haut) de quation d'une cycloïde, dont le sommet serait placé au f le plus bas de la trajectoire.

Remarques. — Nous avons admis que le fil DSM {fig. serait toujours tendu. Si l'on cherchait, conformément Ihéorie générale du n°110, la force exercée par le point M ce ni, on verrait qu'elle a bien le sens voulu pour le ten car la composante normale du poids mg et la force centri agissent toutes deux suivant le prolongement de 5M.

123. Brachislochrone d'un point pesant. — Lepointpe M est assujetti k descendre, sans vitesse pj„, ,56.

initiale, le long d'une courbe AB {fig- 166), j^ dont les extrémités A et B sont invariablement données. Parmi toutes les courbes, en nombre infini, qu'on peut imaginer entre A et B, on demande celle pour laquelle la durée totale du trajet entre ces deux points sera minimum. Cette courbe porte le non brachislochrone, qui se justifie par son étymologie grec

La solution du problème repose sur un théorème dû à Fermât, dont voici l'énoncé : Si un point doit aller de C en D ijig' 167) en trai^ersant un plan HG, et s* il se meut des deux côtés du plan avec des vitesses s? et v', dont chacune esi

constante, le trajet exigeant le minimum de temps sera composé de deux lignes droites CE, ED qui déterminent un plan CED perpendiculaire à HG ti qui font avec la normale Y^ à ce plan des angles i, i' vérifiant Végalité

sin£

sini'

En effet : i<* si CE et DE n'étaient pas des lignes droites, on diminuerait la durée de chaque parcours en remplaçani Tare par la corde, puisque, les vitesses restant les mêmes, il y aurait diminution dans la longueur du chemin; 2* la même chose aurait lieu en remplaçant le chemin brisé CED par sa projection sur le plan mené par C et D normalement à HG, dans le cas où le plan CED ne serait pas lui-même ce plan normal; 3*» si Ton fait ensuite varier E infiniment peu et qu'où mette ce point en F, le parcours CE s'allongera d'une quantité FE' = ËFsin«, pendant que ËD diminuera de lF=zËf sin/; donc la variation de la durée du trajet total sera

ëf(^'

sin«'\

et, comme cette variation doit être nulle dans le cas du minimum, on en conclut la dernière condition ci-dessus iudiquée.

Cela posé, revenons à la brachistochrone et soit AB celle courbe (y?^. 166). D'abord, elle doit se trouver contenue dans le plan vertical des points A et B; car, autrement, en remplaçant AB par sa projection sur ce plan, il est visible qu'on diminuerait la longueur du trajet; comme, d'un autre côté, l'application du théorème des forces vives fait reconnailre que la vitesse dépend seulement de la hauteur du point mo-

bile au-dessous d'un plan horizontal de comparaison (*), chaque élément de AB serait parcouru avec la même vitesse que sa projection et, par conséquent, ferait dépenser plus de temps que celle-ci; il y aurait donc bénéfice à remplacer AB par sa projection. Prenons maintenant pour axes coordonnés, dans le plan vertical de AB, l'horizontale et la verticale du point de départ A; soient M le point répondant aux coordonnées X et /, MMi, MM' deux éléments successifs de la courbe. Le travail de la pesanteur dans le parcours AM étant mgy^ on a, en vertu du théorème des forces vives, pour la vitesse V de M,

on peut admettre que MiM sera parcouru avec cette vitesse et que MM' le sera avec la vitesse

D'un autre côté, ces éléments font avec la verticale MN, normale au plan horizontal de M, des angles /, «' ayant pour

sinus .— et -7- -h ^-T-; or le théorème de Fermât, rappelé as as as '^^

tout à l'heure, assujettit les deux éléments MMi> MM' à la

condition que le rapport

sin/ ds ou

prenne la même valeur sur chacun d'eux; car, sans cela, on pourrait, en changeant la position du point M sur son horizontale (sans changer celles de Mi et M'), diminuer la durée du parcours MiMM' et, par conséquent, celle du parcours lolal, ce qui est incompatible avec l'hypothèse du minimum.

I dx La différentielle de l'expression -= -7- est donc nulle quand

(') Oa supposs toujours que les obstacles en vertu desquels le point est obligé de suivre la courbe AB produisent, au total, une force normale à la courbe.

BsBSfir.. — C*>uts de M de, I. a a

338 DBUXIÈMB PARTIE. — CHAPITRE DEUXlin.

on passe d'un élément au suivant, et, par suite, cette quantité reste constante pour tous les points de AB. On déduit de là, en désignant par C une constante,

Cette dernière équation donne

d'où résulte, par une intégration,

s^=i — 2 v/C(C — /) -h const.

La constante qu'on vient d'introduire aura pour valeur 2C, si les arcs s sont comptés depuis le point A, car s et /devront s'annuler simultanément; on aurait alors finalement l'équation

qu'on peut écrire aussi

ou bien, en transportant l'origine au point de la courbe défini par les valeurs particulières

et posant

on mettrait l'équation sous la forme

qui représente, comme on le sait, une cycloïde dont le cercle générateur a C pour diamètre.

On remarquera que-— est égal à i pour y = 0; donc le cercle

sera tangent en A à la verticale Aj. En le faisant rouler sui l'horizontale Ajp, son point A décrit la brachistochrone cher-

DYT(AMIQUE DU POINT MATÉRIEL. SSq

chée. Le diamètre C devrait se déterminer, de manière à faire passer la courbe par le point donné B.

Les résultats obtenus aux n^* 122 et 123 montrent que la cycloïde jouit de deux propriétés mécaniques fort remarquables ; elle est à la fois tautochrone et brachistochrone. Nous devons ajouter que ces propriétés n'ont jamais été utilisées d'une manière quelconque. Celle du tautocbronisme aurait cependant de rintérôt pour Thorlogerie; mais on a dû renoncer à s'en servir, en raison de rimpossibilité, bien vite reconnue pratiquement, de construire des appareils remplissant exactement toutes les conditions supposées par la théorie.

124. Mouvement relatif d*un point pesant à la surface de la Terre. — D'après la théorie exposée au n** 113, la force capable de produire l'accélération d'un point pesant, dans son mouvement relatif à la surface de la Terre, est la résultante : !• de toutes les forces réelles qui agissent sur lui ; 2° de la force qui produirait son accélération d'entraînement changée de sens; 3" de la force centrifuge composée. Parmi les forces réelles, on peut ensuite considérer à part les attractions exercées sur le point par la Terre et par tous les corps célestes ; la résultante de ces attractions, composée avec la force qui constitue le second des trois groupes ci-dessus, donne ce que nous avons appelé (n° 114) le poids du corpsy ordinairement désigné par la notation mg. Donc, en résumé, dans les mouvements relatifs dont nous voulons nous occuper ici, l'accélération relative sera produite par le poids, joint aux forces réelles qui ne proviennent pas de la gravitation universelle et à la force fictive qu'on nomme force centrifuge composée.

Nous allons appliquer ces indications générales à deux exemples.

(a) Chute libre d'un point pesant^ dans le vide, — Nous pannorlerons les positions successives du point à un système d'axes coordonnés fixes relativement à la Terre, dont l'origine sera placée en 0 {fig. 168), position du point mobile à l'époque ^ = 0. L'axe des x est une perpendiculaire au plan méridien de MO, dirigée vers l'est; l'axe des/, tangent à la méridienne du même point 0, se dirige vers le nord; l'axe des z est une verticale descendante, qui passe au centre C de

la Terre supposée sphérique. On sait que la rotation de la Terre se fait autour de la ligne des pôles PP', d'occident en orient; son axe représentatif (n« 35) sera une ligne CA, de

longueur égale à la vitesse angulaire co, portée dans le sens nord-sud, afin qu'un spectateur ayant la têle en A et les pieds en C voie tourner dans le sens des aiguilles d'une montre. Si nous appelons X la latitude boréale du point 0 ou M (*), les composantes de cette rotation suivant les axes coordonnés auront pour valeurs

o, — to cosX, cosinX;

par suite, les formules du n" 40 donnent pour les composantes de l'accélération centrifuge composée,

, ^ dv . dz

2 o) sm A -j — h 2 (O cos A -;- I at dt

. . dx

2a>SinA -r-j

. dx

— 2 Cl) cos A -r '

D'ailleurs, le poids se réduit à une force m§ suivant l'axe des z.

On peut alors appliquer au mouvement relatif les équations (2) du n<» iOl, qui deviennent, par la suppression du

facteur m,

r/'.r . . dv . dz

,- -- 2u)sinX -7- -h 2 0) cosX -j^. »

dt^ dt dt

(Py . ^ d.r

* —rr ~— 2 0) siUA -j- ,

dt* dt

, -y- ir i^ — 20)C0SA -77«

\ dt* * dt

L'intégration de ces équations ne présente aucune difficulté notable et pourrait faire connaître j?, /, z en fonction du temps. Toutefois, en raison de ce que l'exposé de la méthode à suivre supposerait la connaissance du Cours d'Analyse de

(' ) Nos calculs s'appliquent spécialement à Thémisplière boréal; pour les étendre à rhémisphère austral, il faudrait attribuer à X des râleurs négatives.

DyKlXIQUE DU POINT MATÉRIEL.

seconde année, el aussi pour diminuer les calculs i saires, nous nous contcnlerons d'une approximation. '. tesse angulaire ti> esl un nombre très pelit, égal (n"

" ' ou 0,0000729; dès lors, il semble permis de néglig puissances, à partir delà seconde inclusivement. Quam aïons étudié plus baut (n" 113 et 116) le mouvemen point pesant dans le vide, nous n'avons eu égard qu'au mg et avons laissé totalement de côté l'effet de la fore triTuge composée, ce qui revenait à négliger ui; nous maintenant approcher davantage de l'exactitude, en ne géant plus que lu'.

Soient a, b, c les trois composantes de la vitesse r<

initiale, c'est-à-dire les valeurs de -j-i -j-i -^ pour t —

at al at leur à laquelle répondent j;=:^o,y — o, s=^o, d'après I nitiondes axes. Une première intégration des deux der équations (1) donne

portant ces valeurs dans la première équation et négi les termes en tu*, il vient

-j^ — ao>(6sin). + ccosX)-(- am^tcosl.

On déduil de là, par deux intégrations successives,

-^ =a+ 2(of(isinX-t-ccosX) + tu^(»COS>,

(3) X — a/-f-u)(*(*sinl-i- t;cosl) + iio^i'sInX.

Enfin, on substitue la valeur (3) de x dans les équalioi on trouve, en continuant à négliger lo*,

^ — 6— auxKsinX, -^ — c + <?■/ — aomicosX

343 DBDXIfiMB PàBTIB. — CHÀPITKB DBCXliOUI.

d'où l'on tire, par une intégration,

y=bt — (oa/'cosXy

Les équations (3), (4) et (5) fournissent la solution complèie du problème simplifié que nous nous sommes posé.

Dans le cas où le point serait supposé sans vitesse relative initiale, il faudrait faire a = o, b=io, c=zo; les équaùonsacviennent alors

^=5W^^'C0SX, /

z ^ - gt\

Si le temps ne prend pas de grandes valeurs, x reste toujours petit et, comme/ est nul, on voit que le point tombe à peo près suivant la verticale de son point de départ. Cependant, il éprouve une petite déviation dans le sens des x positifs, c'est-à-dire vers Test; l'étendue de cette déviation est donnée par la première des formules (6), ou encore par la suivante,

obtenue en faisant t

2v/2tt) COSX

La déviation se trouve ainsi exprimée en fonction de la hauteur de chute z.

M. Reich a fait, dans un puits de mine à Freyberg, descipériences qui permettent d'essayer une vériQcation de cette formule. La latitude X était de 5i® et la hauteur z de i58%5; avec ces données, on trouve par la formule (7) la déviation orientale a^ == o*°,o276, tandis que Texpérience a donné moyennement o°*,o283, ce qui diffère bien peu du résultat théorique.

Supposons encore un corps lancé verticalement avec une vitesse initiale ascendante ^o» *l fst^t faire a=:o, 6 = 0, c = — ('o> ce qui donne

o;^ — (DPo^*cosX-f- ^ tùgt^cos'ky J = o,

éii —

e.t-h'-ii'-

Dm&XIQDE DU POINT HATËBIEL,

Quand le point cessera de monter, on aura -j- d'où résultent les valeurs particulières

En désignant par h la hauteur de l'ascension, solue, soit -Î-. la déviation à l'époque — deviei

,o, a<i>cosX , ,J it/â(ocosX

A égalité de hauteur verticale parcourue, le p bas en haut s'est dévié deux fois plus, quand il c ter, que le point tombant sans vitesse initiale,* d vialion a lieu en sens contraire dans les deux ca vers l'ouest si le point monte, vers l'est s'il desc paraison des formules (7) et (8) rend ces coi (lentes.

Si le mouvement présente successivement ic! qu'on vient d'étudier, c'est-à-dire une ascensioi

descente, pendant une durée totale — °, on

' dt

— —r reste toujours positif, et par conséquer

— X s'accroît toujours dans le même sens, vers igu'à l'époque où le mobile est revenu à son poi La déviation occidentale est alors double de ccl la formule (8); puis elle décroît, si le corps co cendre au-dessous de son niveau primitif, i

( = — 'i 3= — °t et chanire ensuite de signe,

de nouveau vers l'est et grandir sans limite.

{&) Théorie de l'expérience de Foucault sur i Les axes de coordonnées, fixes relativement à li ceux de la Jig. i65, à part cette différence qui sera plus en coïncidence avec une des positions bile, imaginons un point pesant attaché à ceti

une droite inextensible et sans masse, de manière à constituer un pendule circulaire simple. Soit N la tension de cette ligne, ou la force qu'elle exerce sur le point; ses composantes suivant les axes seront, en nommant / la longueur

du pendule,

Nx Nr Viz

d'ailleurs le poids et les composantes de la force centrifuge composée auraient les mêmes expressions que dans le problème qu'on vient de traiter; par suite, si Ton applique encore au mouvement relatif les équations (2) du n« lOi, on trouvera ici

, ^ dv . dz

-h 2(0SinA -^ H- 2b>C0SA -r-j

dt al

(9) {^=-rr/ -awsinX^,

^— 2(DC0sX-^>

à quoi il faudrait joindre

et l'on aurait ainsi quatre équations permettant de déterminer les quatre inconnues j?, j, -s, N en fonctions du temps.

Sans essayer de pousser plus loin le calcul, nous allons déduire des équations (9) une propriété remarquable du mouvement. On a, par l'élimination de N entre les deux premières,

dt^

d}y dt^

dt^

d}x d*y . ^/xdx-hydy\

vds

relation dont nous pouvons négliger le dernier terme dans l'hypotbèse de petites oscillations, parce que, dans ce cas, la vitesse relative du pendule est toujours sensiblement horizontale et ~ très petit ; alors cette relation se met sous U

forme

d ( dx dy\ . ^ ûf , , ,.

DOASIQUR DC POIKT MITËHIEL. 3

OH encore, en intégranl,

^"' ^'Tt ~^i = (x* + j')iu sinl + consl.

Reprcaenlons maintenant à part le plan des xy (Jig. 169) imaginons que la projection P du pendule sur ce plan si suivie par un rayon vecteur OF — r; désignons en outre pa: l'angle de ce rayon avec Ox. Noos aurons

X = /■ cosfi, y^=r sinO v:

et, par suite, I /^

ydx — xdy—-. -~ r-dft,

valeurs qui, portées dans l'équation (11), la transforment celle-ci :

(11) — r'-y- =r*to5inX + consl.

Ij détermination de la constante dépend des circonstanc initiales. Pour adopter Thypothèse qui donne lieu au caU le plus simple, nous supposerons qu'à l'époque f =^ o on av r— o, c'est-à-dire que le pendule était alors en coïnciden avec l'axe des s, et qu'on l'en a écarté par une impulsion c lui a communiqué une certaine vitesse. Dans ce cas, la ce slante sera nulle, puisque tous les autres termes de l'éqL lion (la) s'annulent pour / — o.

L'équation (13} se réduit, en conséquence, à

— r' -j- — r-usinl, soit -j- =— usinX.

Le produit tusin> exprime la composante de la rotati terrestre autour de la verticale descendante du point de si pension ; c'est une rotation dans le sens de Ox vers Oy, c'e à-dire dans le sens est-nord-ouest-sud. La projection horiz(

taie du pendule a une vitesse angulaire apparente -t- égi

en valeur absolue à cette composante, mais dans le sens c posé, celui qui va du nord à l'est, puis au sud et à l'oue

346 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DBUXlfeXB. — DTIUXIQUE, ETC.

Comme la valeur numérique de (d sinX est toujours très petite et atteint au maximum 0,000072921, l'angle 0 varie très pea pendant la courte durée d'une oscillation du pendule ;celui-ei semble donc exécuter son oscillation dans un plan vertical, mais ce plan varie peu à peu en tournant autour de la verticale, avec la vitesse w sinX et dans le sens nord-est-sud-ouesl qui vient d'être indiqué. La durée d'un tour complet de ce

plan serait — r-^> cest-à-dire - . ^ > puisque ^^ ^, est la "^ wsinX sinX * ^ 86i64»

valeur de la vitesse angulaire w par !•. A Paris, avec A^ ^S'So',

on a

-^^ =^ 1x4458», soit 3i»»47"38*.

Ces déductions théoriques se trouvent confirmées par une remarquable expérience de Foucault; on y trouve une preuve nouvelle de la rotation du globe terrestre.

Ici se termine la série des problèmes particuliers donnés comme exemples de la détermination du mouvement d'un point matériel. Nous avons successivement considéré des points libres, des points gênés par des obstacles et eofin des points en mouvement relatif, et Ton peut avoir ainsi une idée de la manière dont s'appliquent les divers théorèmes exposés dans le § I de ce Chapitre.

Nous allons maintenant commencer à nous occuper, non plus de points matériels isolés, mais de systèmes formés parla réunion en un seul corps d'un nombre quelconque de points matériels. En premier lieu, ces systèmes seront considérés i l'étal de repos, sous l'action des forces appliquées à leurs divers points; on dit alors que ces forces se font équilibre, 00 bien encore que le système est en équilibre. La recherche des conditions des lois de l'équilibre fait Tobjet d'une partie de la Science, à laquelle on donne le nom de Statù/ue,