P __ ¥ AB

On prend généralement le nombre lo pour valeur de ce rapport.

§ lY. -- Éqnilibre des systèmes fnnicalaires.

157. Définition; équilibre d'un cordon sollicite par deux forces appliquées en ses points extrêmes. — On appelle systèmes funiculaires ceux qui sont composés de fils ou cordons auxquels on attribue, par hypothèse, la flexibilité et l'inextensibilité parfaites. Peu importe que le fil soit fabriqué en

métal ou en matière textile, pourvu qu'il possède ces deux propriétés, qui, du reste, ne sont jamais absolument réalisées dans la nature.

Lorsqu'un fil ou cordon AB {fig- 196), ayant la forme rectiligne, est seulement soumis à des forces P et Q appliquées en ses points extrêmes A et B, il faut, en premier heu, pour que ^

l'équilibre existe, que ces forces

satisfassent aux conditions gêné- ^ ^ e

raies de l'équilibre (n<» 129). La ^

nullité de leur projection totale sur une droite quelconque permet d'abord d'affirmer qu'elles sont égales et de sens contraires; de plus, elles doivent être directement opposées, c'est-à-dire agir toutes deux suivant la ligne AB, car autrement on pourrait mener par le point A des axes qui ne rencontreraient pas Q, et la somme des moments ne serait pas nulle par rapport à ces axes. On trouve donc, comme conditions nécessaires de l'équilibre, que P doit être égal à Q et que ces forces doivent agir toutes deux suivant AB et en sens contraires. Maintenant il faut examiner si cela suffit.

Ici deux cas sont à distinguer. En premier lieu, si les forces P et Q tendent à écarter l'un de l'autre les points A et B, comme le représente la figure, l'inextensibilité du cordon suffira pour empêcher cet eiîet de se produire; le système supposé en repos initial y persistera donc, et il y aura équilibre. Les conditions ci-dessus indiquées seront alors suffisantes; mais, si l'on change le sens des forces égales P et Q, nous regardons comme un fait résultant de la nature du cordon (fait établi d'ailleurs par l'expérience) que ce cordon se courbera et sera incapable d'empêcher les points A et B de se rapprocher, en sorte que l'équilibre n'existerait pas et que les conditions ne seraient plus suffisantes.

Nous avons supposé le cordon rectîligne. Dans le cas contraire, l'équilibre serait toujours impossible, car deux forces égales et contraires appliquées aux extrémités le déformeraient nécessairement en diminuant ou augmentant sa courbure, suivant qu'elles tendraient à écarter ou à rapprocher leurs points d'application.

En résumé, les conditions nécessaires et suffisantes de l'é-

quilibre consistent donc en ce que : i° le cordon doit être rectiligne ; 2" les forces doivent être égales et agir en sens contraires suivant la ligne du cordon; 3* leur sens doit être tel qu'elles tendent à augmenter la distance de leurs points d*application.

Si maintenant on imagine un plan quelconque Cl) rencontrant le fil ou cordon en E, Téquilibre de la partie AE exige que l'autre partie EB exerce sur la première une force égale et directement opposée à P, et de môme l'équilibre de la partie EB montre que cette partie doit recevoir de AE une force égale et contraire à Q. Cette seconde force exercée enE sur EB est égale et contraire à celle qui est exercée au même point sur AE, puisqu'on aP — Q(*);ilya donc en E deux actions mutuelles des deux parties Tune sur l'autre, ou, si l'on veut, l'action et la réaction. Cette action réciproque en vertu de laquelle les deux parties ne peuvent pas se séparer, malgré les forces P et Q qui tendent à opérer la séparation, constitue ce qu'on nomme la tension du fil ou cordon. Comme on le voit, elle est constante dans toutes les sections, s'il y a équilibre, et sa valeur est celle des forces extérieures appliquées aux deux bouts.

Fig. 197.

158. Équilibre d*un cordon soumis à trois forces, — Supposons trois forces P, Q, R appliquées aux trois points A, B, 0 d'un cordon {Jig. 197) et se faisant équilibre. La partie AB ne supportant aucune force dans l'intervalle de ses points extrêmes A et B, l'équilibre exige, comme on vient de le voir, qu'elle soit droite et soumise à une tension constante, égale à P; il faut de plus que P agisse suivant la droite AB dans le sens voulu pour produire une tension. De même l'é-

( ' ) L'égalité des forces mutuelles exercées dans la section E aurait encore lieu (n<> 95), même dans le cas où P serait différent de Q et o'ù Téquilibre du cordon n'existerait pas.

quilibre de BG démontre que cette partie est droite, que R agit suivant sa direction et produit une tension égale à R en tout point de BC. Maintenant si nous imaginons deux sections faites dans AB et BC inOniment près de B, la petite quantité de matière ou le point matériel compris dans leur intervalle sera soumis à trois forces, savoir : la force Q et les deux tensions, respectivement égales à P et R, qui agissent dans les directions BA et BC. Puisque le point B reste en équilibre, Q doit être égale et contraire à la résultante de P et de R; donc, en prenant B/> = P, Br^R et achevant le parallélogramme Bpgr sur ces deux droites, la diagonale Bq devra être égale à Q et se trouver en prolongement de cette force.

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, l'équilibre existera. En effet, l'équilibre existerait nécessairement en rendant fixe le point B, et il ne sera pas troublé quand on restituera sa liberté à ce point, car il ne pourra sortir du repos sous l'action de trois forces dont la résultante est nulle.

Les rapports de grandeur de ces trois forces s'obtiennent facilement par la considération du triangle Bqr; la proportionnalité des sinus aux côtés opposés donne les relations déjà connues (n* 11)

sin(Q, K) ~sin(R,P) ~" sin("P,0)'

On voit par là que, si les forces P, Q, R conservent entre elles des rapports finis, il doit en être de même pour les sinus; il serait donc impossible de supposer un cordon rettiligne tendu par les forces P et R et soumis en même temps à une force transversale Q, car on aurait alors

sin(R,P) = o, sin(Q,R)=i:sin(P,Q),

et les équations ci-dessus ne pourraient être satisfaites qu*en prenant

Nous remarquerons enfin que si la force Q, au lieu d'être appliquée directement au point B du cordon AC, agissait par Tintermédiaire d'un autre cordon noué en B avec le premier, ce second cordon devrait, dans l'hypothèse de l'équilibre

être tendu en ligne droite dans la direction de la force Q. Sa tension produirait alors sur le point B la force que nous y avions d*abord appliquée directement; la même condition d'équilibre et les mêmes rapports de grandeur entre les trois forces se trouveraient donc conservés.

On pourrait supposer un nombre quelconque de cordons réunis par un nœud et soumis chacun à une force; on verrait de même que les conditions d'équilibre consistent en ce que i<» chaque cordon doit être rectiligne; a" chaque force doit agir dans la direction de son cordon et dans le sens voulu pour le tendre; 3» les forces considérées comme agissant toutes sur le point de réunion des cordons doivent se faire équilibre.

159. Équilibre du polygone funiculaire, — Soit ABCDEF {fig. 198) un cordon sollicité en ses points extrêmes \, Fpar

Fip. 198.

des forces G, H, et aux points intermédiaires B, C, D, E par des forces P, Q, R, S, qui agissent immédiatement ou par Tinlermédiaire de cordons noués sur ABCDEF. Comme on vient de le voir, cela revient au même; on a supposé la seconde alternative en dessinant la figure. Il s'agit d'indiquer les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre de ce système.

Considérons d'abord la partie du système composée des cordons qui aboutissent en un point intermédiaire; prenons par exemple le point C, auquel se réunissent le cordon C^el les portions BC, CD du cordon ABCDEF. Ce système partiel

doit être en équilibre sous l'action de la force Q et des forces exercées en ses points extrêmes B, D, lesquelles peuvent toujours se réduire à une résultante unique pour chacun d'eux. On rentre ainsi dans les conditions de la question traitée au n® 158, et, en appliquant au système partiel dont il s'agit ici les résultats ci-dessus obtenus, nous pourrons dire que les trois cordons Cy, BC, CD doivent être rectilignes et sollicités chacun par une force suivant sa direction et dans le sens voulu pour le tendre. La répétition d'un raisonnement tout pareil pour chacun des autres points intermédiaires B, D, E nous conduit à dire la même chose de tous les cordons ou parties de cordons aboutissant à ces points; donc :

i<* Dans rétat d'équilibre le cordon principal ABCDEF ût/fecte la forme d'un polygone à côtés rectilignes, ayant ses sommets aux points où il est rencontré par les lignes d'action des forces intermédiaires P, Q, R, S; les cordons secondaires Bp, Cy, Do, Es sont également rectilignes ; chacun de ces cordons secondaires est y ainsi que les parties extrêmes AB, EF du cordon principal,, sollicité par une force ayant sa direction ^ et le sens convenable pour le tendre.

Ce premier point établi , remarquons que le point B doit être en équilibre sous l'action de deux forces connues G, P et d'une force inconnue T, égale à la tension du côté BC. Pour cela il faut que cette dernière soit égale et contraire à la résultante des deux premières; si donc, après avoir transporté celles-ci en B, on construit sur elles un parallélogramme, la diagonale de ce parallélogramme devra se trouver dans le prolongement du côté CB, et sa grandeur fera connaître la tension T. Nous passons ensuite au point C, et nous observons qu'il se trouve en équilibre sous l'action de la force T, maintenant connue, de la force Q connue aussi et d'une force inconnue U, exercée par le côté CD et égale à sa tension. La diagonale du parallélogramme construit sur T el Q, transportée en C, doit donc coïncider avec DC prolongé, et sa grandeur égale la tension U de ce côté. En appliquant le même procédé successivement à tous les sommets, on vérifiera que les diagonales des parallélogrammes ont bien les directions et sens voulus, et l'on déterminera en même temps

4^4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXlfelE.

les valeurs des tensions inconnues a priori; de plus, quand on arrivera au dernier sommet E, la tension X qu'on aura trouvée pour le côté £F devra être égale à la force donnée H, sans quoi ce côté ne pourrait rester en équilibre.

On remarquera que T est la résultante des deux première* forces G, P; U est la résultante de T et de Q, et par suite celle des trois premières forces G, P, Q ; de même V est la résultante de G, P, Q, R ; la tension X est la résultante de G» P, Q, R, S; et enfin la résultante de l'ensemble complet des forces G, P, Q, R, S, H est la môme que celle de X et de H, c'èst-à-dire zéro, comme on vient de le voir. Donc les conditions d'équilibre fournies par la recherche des tensions subie» par les divers côtés peuvent se résumer ainsi :

2* Si Von compose toutes les forces agissant sur le polygone, depuis une de ses extrémités (A par exemple) jusqu'à un sommet quelconque, y compris celle qui agit sur ce sommet, elles doivent se réduire à une résultante unique ayant la direction du côté suivant et le sens voulu pour le tendre. En outre, le système complet des forces extérieures doit se réduire à une résultante nulle.

Nous allons démontrer que ces conditions» jointes à celles que nous avons déjà indiquées, sont suffisantes. En effet, tous les côtés du polygone étant droits, ainsi que les cordons sur lesquels agissent les forces intermédiaires P, Q, R, S, et chaque force extérieure étant supposée dans la direction du cordon qu'elle sollicite et dans le sens voulu pour le tendre, il est évident qu'on rendra l'équilibre nécessaire et inévitable en fixant tous les sommets B, C, D, E. Maintenant nous pouvons, sans le troubler, rendre la liberté au sommet B, car la résultante T des forces G et P, qui lui sont appliquées, ne fait que tendre la partie du cordon BC et ne peut déplacer B, en raison de la fixité du point C. Nous rendrons ensuite h liberté à C également sans détruire l'équilibre, car ce point ne pourra sortir du repos sous l'action des forces T et Q, dont la résultante U tend simplement le cordon CD, attaché au point fixe D. On verrait de la même manière qu'on peut rendre la liberté àD; et l'on pourra aussi la rendre au dernier sommet, parce que les deux forces égales et directement op-

posées X et H tendront le cordon EF, sans lui faire prendre aucun déplacement. L'équilibre existera donc indépendamment de la fixité des sommets.

160. Construction de Varignon. — La deuxième série de conditions d'équilibre du polygone funiculaire (n" 159, 2<») se vérifie très élégamment par une construction due à Varignon, laquelle fournit en même temps les tensions inconnues. Supposons \dLjig. 199 construite à côté de \difig. 198, de la manière suivante : on mènera par un point 0 pris arbitrairement la droite 0^ égale et parallèle à la *^' *^" force G, et de même sens; au bout de cette ligne on transportera parallèlement à elle-même la force P •= gty puis successivement et bout à bout les forces Q, R, S, représentées en grandeur, direction et sens par les droites tu, uç, vx. Enfin on joindra le point 0 à tous les points ty u^ v, x, par les droites 0^, Om, Ot', 0:r. Il est clair, d'après cette construction, que 0^ est la résultante de 0^= G et de ^^ r^P; donc 0^ représente la tension T et la fait connaître en grandeur, direction et sens. On constatera de môme que les diagonales suivantes représentent les grandeurs, directions et sens des tensions U = 0 w, V = Ot^, X ~ 0 j?, lesquelles sont ainsi déterminées. Dès lors les conditions dont il s'agit se traduisent en disant que :

Les diagonales intermédiaires, allant de 0 à tous les points ty w, Vy doivent être parallèles respectivement aux côtés BC, CD, DE, dont elles représentent les tensions; elles doivent avoir le sens voulu pour tendre ces côtés quand elles sont rétablies dans leur vraie position, en les transportant parallèlement en'B, C, D; enfin, la dernière diagonale Ox doit être égale, parallèle et de sens contraire à la force donnée H.

Au lieu de cette dernière partie de Ténoncé, on peut dire que, si Ton achève le polygone des forces, en menant par le point X une droite égale et parallèle à H, ayant aussi même sens, cette droite doit se terminer en 0, de manière à fermer le polygone.

4^6 TROISIÈME PARTIE. — CnAPlTRE DBLXIËMB.

161. Cas particuliers du polygone funiculaire. — Nous allons étudier certaines modifications, intéressantes à divers points de vue, des données générales du n® 159.

{a) Les extrémités \et¥ {Jig* 198) du polygone sont attachées à des points fixes. — Les forces données n'agissent plus qu'aux sommets intermédiaires B, C, D, £; en A et F les appuis fixes produisent des réactions G et H, a priori inconnues. L'équilibre du système a toujours lieu sous l'ensemble des forces (i, P, Q, R, S, II; les raisonnements du n* 159 sont encore applicables et démontrent d'abord que le polygone doit avoir ses côtés droits; que les cordons secondaires 63, Cy, Dû, Ee doivent être également reclilignes et tendus par les forces P, Q, R, S agissant suivant leurs directions respectives et dans le sens voulu; enfin que les réactions inconnues G et H agissent dans les directions et sens BA, EF. Imaginons ensuite qu'on applique la construction de Varignon (n® 160). Rien n'empêchera de construire d'abord la partie gtuvx {fig. 199) du polygone des forces, laquelle comprend seulement les forces connues P, Q, R, S portées bout à bout; puis, comme les diagonales extrêmes Ogy Ox sont parallèles à AB et EF, on mènera ces parallèles par les points g et jr, et l'on obtiendra le point 0 par leur rencontre. Les conditions d'équilibre résultant de la construction de Varignon consistent donc ici en ce que : 1° les deux parallèles dont nous venons de parler doivent se couper; a® les diagonales intermédiaires Ot, Ouy Ov doivent être respectivement parallèles aux côtés BC, CE, DE; 3« les droites Ôgy Ô7, Wû, Or, Os, qui représentent les tensions des côtés AB, BC, I)E, EF, doivent avoir les sens voulus pour produire une tension dans chacun d'eux, quand on les suppose respectivement transportées en A, B, C, D, E.

On remarque enfin que les réactions G et H des points fixes sont représentées en grandeur, direction et sens par Ô^. pour le point A, et par xO pour le point B.

{b) Cas où toutes les forces sont parallèles à un plan. — Sup' posons toules les forces intermédiaires P, Q, R, S (fig, 198) et l'une des forces extrêmes, G par exemple, parallèles à un même plan (H). Il est facile de constater qu'alors le polv-

gone OgtuvxO (/ig. 199) résultant de la construction de Varignon est tout entier dans un môme plan parallèle à (n), et qu'il en est de même du polygone funiculaire ABCDEF, dans rhypothèse de Téquilibre, puisqu'il doit avoir ses côtés parallèles aux droites Og, Ot, Om, ....

(c) Les forces intermédiaires P, Q, R, S sont parallèles à une même droite. — Les côtés gt, tu, uv, . , . du polygone des forces {/lg> 199) se trouvent alors tous en ligne droite; quelque position qu'on donne au point 0, ce polygone sera compris dans un plan parallèle à la direction p. ^^^

commune des forces. Par suite, il en est de même, si l'équilibre existe, pour le polygone funiculaire correspondant.

La Jig. 200 représente ce que devient la fig. 199 dans Je cas particulier dont nous nous occupons maintenant. Les diagonales 0^, Ot, Ou, ... donnent en grandeur, direction et sens les forces qui tendent les côtés successifs AB, BC, CD, ... du polygone funiculaire. Or, en nommant a, a,, a„ ... les angles de ces droites avec gx, et traçant la perpendiculaire OK à cette direction, on aura