OK OK — - OK

Og=-. , 0/=:-: J Ou^-~ -y ,

^ sma smaj sinaj

d'où Von déduit que les tensions des divers côtés du polygone funiculaire sont inversement proportionnelles aux sinus des angles que ces côtés font avec la direction commune des forces extérieures appliquées aux sommets intermédiaires. On remarquera aussi qu'elles ont toutes une môme projection OK sur une ligne perpendiculaire à la direction commune des forces.

(d) Polygone chargé de poids égaux et également espacés; application aux ponts suspendus, — Le polygone funiculaire ABCDEF. . . {fig, 201) est formé d'une suite de côtés AB, BC, CD, ... ayant tous une même projection horizontale h; en chacun des sommets A, B, C, ... on attache un poids constant/?. Pour appliquer la construction de Varignon (n« 160), on portera donc sur une môme verticale ag une suite de Ion-

gueurs égales entre elles, dont chacune représente Vun des poids p; puis on mènera par les deux points extrêmes a et des parallèles au côté du polygone qui précède le sommet A et à celui qui suit le sommet F; enfin Ton joindra le point de rencontre 0 de ces deux parallèles aux points de division intermédiaires b, c, d, e, /. On sait que, si l'équilibre existe, ce faisceau de droites issues du point 0 donne les directions des divers côtés du polygone ainsi que leurs tensions; de plus on peut en déduire, comme nous allons le voir, une propriété intéressante concernant la figure ABCDEF.

Fig. 201.

Cherchons en effet l'expression des coordonnées des divers points B, C, D, E, F, ... (que nous savons déjà être dans un même plan vertical), relativement à un système d'axes obliques, l'un Kx formé par le prolongement du côté AB, Tautre Ky pris suivant la verticale du milieu de ce côté. Si Ton pose AB = 2/, il est clair qu'on aura d'abord pour les abscisses la suite de valeurs

ce qui permet d'écrire, d'une manière générale, pour le /i^*™" sommet,

Menons ensuite par les points C, D, E, F, ... des parallèles à K;27 et, d'autre part, traçons une verticale à la distance h de 0, laquelle sera coupée en parties égales parles droites Oa, Oô, Oc, — . Le triangle BCC est égal à Op^» comme ayant ses côtés parallèles et môme hauteur h\ donc l'ordonnée du point C est la longueur Py> Qtie nous désignerons par k. Le triangle CDD' est égal à 0 pô, par la même raison, de sorte que Pordonnée YMS" du point D se compose deD''D'=A: et de D'D = p8 =r 2X:. On trouverait de la môme manière l'ordonnée de E, composée de £"£'= â:-+- 2A- et de ££'= 3 A:; en continuant à suivre une marche toute semblable, on formerait le Tableau des ordonnées, savoir :

Pour le point B. . . Ordonnée o.

et généralement, pour le n»*"»'' sommet,

L'élimination de n entre les expressions de a? et de j conduit à la relation

c'est l'équation d'une parabole à axe vertical, sur laquelle doivent se trouver tous les sommets du polygone.

Supposons maintenant, pour plus de simplicité, le cas particulier où le polygone aurait un côté horizontal; supposons en outre ses côtés en nombre infini, en môme temps que nous ferons décroître indéflniment la distance h et le poids />. Dans ce cas, le polygone se change en une courbe, et il devient

très facile d'en avoir directement Téqualion, ainsi que la valeur de la tension en un point quelconque.

Soient MN {fig. 202) la courbe funiculaire, toujours conlenue dans un plan vertical, comme les polygones dont elle est

la limite; 0 son point le plus bas; Ox, 0^ deux axes coordonnés dont l'un est la Udgente horizontale à la courbe en 0, l'autre la verticale de ce point. Nommons Q et T les tensions en O et en un autre point L quelconque, répondant aux coordonnées x, r. Une partie quelconque de la courbe, comprise entre les abscisses x et x* supporte des poids /»

en nombre égal à

, -> soit un poids total ^ix — a?) 00 h h

T!y(j? — x'), en nommantcT le quotient constant y > qui exprime

le poids supporté par chaque unité de longueur comptée horizontalement. Si l'on fait x' = o, on aura wx pour charge totale de la portion OL, et, comme les poids élémentaires sont uniformément répartis suivant l'axe des x^ la résultante

mx passe au milieu de l'abscisse OL', ou à la distance -de 0.

Considérons maintenant l'équilibre de cette portion OL sous l'action des trois forces Q, T et mx. Pour qu'il se réaUse, il faut nécessairement que ï soit égale et contraire à la résultante de 0 et demx; par conséquent, ces composantes étant rectangulaires, on a d'abord

(i) T = v^Q«-f-Tîj»x«;

puis on a l'équation des moments par rapport à L

Qy=zjsx 'X -x^zz-wx^.

L'équation (i) exprime la loi suivant laquelle varie la tension aux divers points de la courbe; cette tension a une composante horizontale constante Q et une composante verticale

égale au poids compris entre le sommet et le point L considéré. L'équation (2) est celle de la courbe et montre que c'est une parabole à axe vertical dont le sommet se trouve en 0.

Si Ton donnait, outre le sommet, un second point N de la courbe, répondant aux coordonnées x-=a^ y — /, on aurait, en substituant ces valeurs dans Téquation (2),

ma}

valeur qui, portée dans les équations (i) et (a), donnera

On connaîtra ainsi les valeurs de la tension et Téquation de la courbe en fonction de quantités immédiatement données.

Ces calculs sont approximativement applicables aux chaînes ou câbles des ponts suspendus. On ne peut évidemment pas considérer ces chaînes comme douées d'une flexibilité parfaite, mais elles sont néanmoins très flexibles; nous en dirons autant des câbles formés parla réunion d'un certain nombre de fils de fer, dont la section transversale est petite et la longueur comparativement grande. A ces chaînes ou câbles sont attachées des tiges verticales et équidistanles en assez grand nombre, de sorte que la portion comprise entre deux tiges peut être assimilée à un élément de courbe; ces tiges sont également chargées et, par conséquent, transmettent aux chaînes ou câbles une action verticale uniformément répartie suivant l'horizontale. A cette action s'ajoute le poids propre des chaînes ou câbles, dont la loi de répartition est, à la rigueur, uniforme suivant la courbe; mais nous admettrons que ce poids est petit en comparaison du précédent et qu'on peut, sans grande erreur, le regarder aussi comme réparti uniformément suivant l'horizontale. On se trouve alors dans les conditions voulues pour faire usage des équations (3) et (ZJ).

Supposons que les points extrêmes de la parabole soient à

une dislance 2a, sur une même horizontale, etque/soîlla distance du sommet à cette horizontale, c*est-à-dire la flèche de la courhe. Dans les circonstances ordinaires, 2a est donnée et le constructeur dispose de / entre ceiiaines limites. La parabole est alors déterminée, car son sommet se trouve sur la verticale menée à égale distance des points extrêmes, et il est aussi sur une horizontale connue ; on peut donc tracer les axes Oo:, Or de la fig. 202, et comme /et a sont les coordonnées d*un des points extrêmes, on aura l'équation (4) qui définira complètement la courbe. Quant à la tension, Téqualion (3) montre qu'elle est croissante du sommet à un point

jsa^

extrême, entre la valeur minimum — -j et la limite supé-

rieure

'■=vV

répondant à ^ = a. Les chaînes ou câbles doivent avoir une section transversale suffisante pour résister convenablement à celte tension Ti.

§ V. — Équilibre des systèmes polygonaux articulés

sans frottement.

162. Définitions ; propriétés caractéristiques des articulch tions sans frottement. — On appelle articulation la liaison réciproque de deux corps solides en vertu de laquelle ils ne peuvent prendre, relativement Tun à Tautre, que des mouvements de rotation autour d'axes passant par un point appartenant géométriquement aux deux corps et fixe dans chacun d'eux. Ce point se nomme le centre d* articulation.

L'articulation est dite cylindrique lorsque l'axe de la rotation relative est une ligne déterminée dans chaque corps; elle est dite sphérique dans le cas contraire. L'assemblage à charnière donne la réalisation pratique de la première espèce d'articulation; il consiste essentiellement, comme on le sait, en deux cylindres circulaires de même rayon, l'un creux et attaché au premier corps, l'autre plein et attaché au second corps. Pareillement l'articulation sphérique se réalise dans

l'appareil qu'on nomme assemblage à genou, consistant essentiellement en deux sphères concentriques et de même rayon, Tune creuse et Tautre pleine, respectivement attachées aux deux corps.

L'articulation sans frottement, qu'elle soit sphérique ou cylindrique, jouit de la propriété essentielle qui définit les liaisons considérées au n** 130. Elle est en effet toujours réalisée par le glissement de deux surfaces solides Tune sur l'autre, et nous admettons que la réaction mutuelle de ces surfaces est constamment dirigée suivant la normale commune. On rentre donc immédiatement dans l'un des cas où l'on a vérifié que la somme des travaux des forces dues aux liaisons est nulle pour tous les déplacements que ces liaisons permettent. Par conséquent, le théorème général du n*» 131 est applicable aux systèmes articulés sans frottement et permet d'obtenir les conditions nécessaires et suffisantes de leur équilibre.

Dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours toutes les articulations sphériques, alors môme que le système en présenterait quelques-unes de l'autre espèce. Les conditions d'équilibre trouvées de cette manière pourront parfois ne pas être toutes nécessaires, mais elles seront certainement suffisantes. £n effet, quand on substitue à une articulation sphérique une articulation cylindrique (l'axe de cette dernière passant, bien entendu, par le centre de la première), une certaine partie des mouvements qui primitivement étaient compatibles avec les liaisons perd cette qualité, pendant que l'autre partie la conserve; la substitution ne peut donc avoir d'autre résultat que de supprimer la nécessité d'un certain nombre de conditions, parmi celles qu'on aurait trouvées en ne la faisant pas. Ce nombre peut d'ailleurs tomber quelquefois à zéro, et c'est ce qui arriverait si la somme des travaux virtuels produits par les forces directement appliquées était identiquement nulle, dans tous les mouvements virtuels rendus incompatibles avec les liaisons par le changement dont il s'agit ici.

Dans une articulation sphérique sans frottement, toutes les forces exercées sur l'un des deux solides par l'effet de la liaison étant normales h la surface d'une sphère, ces forces concourantes peuvent se remplacer par une résultante unique

BiiRSse. — Cours de Méc, I. 28

passant au point de concours, qui est le centre de la sphère, c'est-à-dire le centre d'articulation.

1G3. Equilibre d'un système polygonal articulé. — Nous allons prendre un système ABCDEFG {fig* '^oZ) formé d'une série de corps solides, dont les corps intermédiaires présentent chacun deux articulations, Tune avec le corps précédent, raiilre avec le suivant; B, C, 1), E, F sont les centres

Fi(;. 2o3.

(rarticulation. Indépendamment de leurs actions mutuelles, les solides supportent diverses forces extérieures directement appliquées. Il s'agit d'établir les conditions d'équilibre et de trouver les actions mutuelles qui s'exercent dans les articulations.

Désignons collectivement par (P), (P»), (P2), ...,le5S}slèmes de forces appliqués directement aux corps AB, BC, CD, ..., ces systèmes n'étant pas censés comprendre les actions que chaque corps intermédiaire reçoit de ses deui voisins, mais (levant comprendre, au contraire, les réactions (les articulations extrêmes A et G, si elles existent. Soient Ni la résultante de translation de (P) (n<» 143), N, la résultante (le ti^anslation de (P) et de (P,), N, celle de (P), (Pj) et(P,), (it ainsi de suite. Les groupes (P), (Pj), (P,), . . . sont regardés ])rovisoirement comme des données immédiates, d'où l'on déduira sans peine Ni, Nj, Nj,

Cela posé, considérons un certain nombre de corps consécutifs à partir d'une extrémité, trois par exemple à partir de la gauche. Ce système ABCD est en équilibre, et les forces extérieures agissant sur lui doivent satisfaire aux six conditions générales de l'équilibre (n° 129) ; en particulier la somme

tQLILIBRB DES SOLIDKS, ETC. t

des iiiomciils (le ces forces cloil Olrc nulle rolalivcment à ir axes rectangulaires Dj-, Dy, D^ passant par le point B. Or Torces extérieures dont nous parlons compienneat les s, lèines (P), (P,), (l'î) et la réaction exercée par le qualriè solide sur le troisième. Comme celle réaciion passe au cen d'articulation U (n° 1C2), son moment est nul par rappoi tout axe issu du même point; donc la somme des mome de (P), (Pi), (Pi) doit être aussi nulle relativement aux a: Dj:, Dj, D;. De là résulte l'énoncé suivant :

Lorsqu'un système jwlygonal articulé se trouve en éq libre, si l'on considère l'ensemble d'un certain nombre corps consécutifs qui en font partie, depuis une ej:lrén Jusqu'à un centre d'articulation quelconque, la somme moments des forces extérieures appliquées à cet ensemble c être nulle, relatii-ement à trois axes rectangulaires menés ^ le centre dont on vient de parler.

Il faut (le plus que le svsième pris en entier satisfasse : si\ condiiions générales de l'équilibre que doivent toujo remplir les forces extérieures appliquées à un système ma riel en équilibre (n" 129).

Réciproquement, si toutes ces conditions sont remplies, forces se feront équilibre, c'est-à-dire que les solides i BC, .... FG, supposés primiiivemenl en repos, ne se ir troiit pas en mouvement. C'est ce que nous allons démont en appliquant le théorème du travail virtuel pour les systèi â liaisons (n" 131). II faut établir que la somme des travau\ forces directement appliquées (P), (P,), . .., (P,) est nu dans tout déplacement virtuel compatible avec les liaison)

On obtiendra un déplacement de celle nalurc, et le ] général possible, en procédant comme il suit : donner à 1' iicmblc complet, après l'avoir solidiTié, un mouvement i arbitraire ; imprimer simultanément au système ABCUEF ( lement solidifié une rotation (i) autour d'un axe passant pa cette rotation étant un mouvement relatif par rapport au lidc FG supposé fixe; donner de même une rotation rela simultanée (a') au système ABCDE solidilié, par rappori corps EF, puis une rotation relative {"■') b. ABCI) par rap| à DE, une rolation a" à AUC relativement à CD, et enfin

rotation (a'^) au premier corps AB relativement au second BC. Il est bien évident que de cette manière chaque corps a le mouvement le plus général qu'il puisse prendre en satisfaisanl toujours aux liaisons, car Tensemble a été déplacé arbitrairement et Ton a fait jouer, arbitrairement aussi, toutes les articulations. Maintenant, pour avoir la somme des travaux virtuels de toutes les forces dans le déplacement résultant, on peut faire la somme des travaux qui se produiraient si chaque mouvement composant existait seul. Or il est facile de coi>stater que, dans chaque mouvement composant, la somme des travaux des forces est nulle, i^ Les six équations générales de l'équilibre des forces extérieures agissant sur le système entier expriment cette nullité pour le mouvement (M), comine on Ta vu au n^ 129. a® Dans la rotation (a) le corps FG reste immobile et l'ensemble ABCDEF tourne comme un solide unique; le groupe (P5) ne fait aucun travail, et les autres groupes (P), (Pi), . . ., (P*') ayant une somme de moments nulle par rapport à trois axes rectangulaires menés par le centre F, leur travail total est nul dans la rotation (a) (n'» 134). Le même raisonnement s'appliquerait à chacune des rotations (a'), (a''), (a*^), (a'^). Donc les conditions d'équilibre ci-dessus données sont bien suffisantes, puisqu'il en résulte que la somme totale des travaux virtuels des forces directement appliquées est nulle dans le déplacement le plus général compatible avec les liaisons.

Il reste encore à trouver les actions mutuelles des corps du système les uns sur les autres. Si l'on veut, par exemple, avoir la réaction exercée en D par le quatrième corps sur le troisième, on observera qu'elle fait équilibre aux groupes (P), (Pi), (Pj), sur le système ABCD; une des conditions de cet équilibre est que la résultante de translation soit nulle (n<*ii6); donc la réaction dont il s'agit est égale et contraire à la résultante de translation N3 des groupes (P), (Pi), (Pj). Les autres se trouveraient de même, et l'on obtiendrait Ni, N„ . . . changées de sens, pour les forces exercées en B, C, ..., par le corps de droite sur celui de gauche; ou bien encore, ces forces Ni, Nj, ..., prises dans le sens qu'elles ont, seraient les actions exercées aux mêmes points par le corps de gauche sur celui de droite.

Dans tous les raisonnements qui précèdent, on peut prendre pour extrémités du système tels centres d'articulation qu'on veut, pourvu qu'on tienne compte des forces exercées en ces points sur la partie conservée, par celles qu'on laisse de côté. De même, s'il y a des appuis fixes assimilables à des articulations, les réactions de ces appuis devraient être comptées dans les groupes de forces tels que (P). Ces réactions seraient des inconnues auxiliaires qu'on déterminerait en se servant des conditions d'équilibre.

Le nombre de ces conditions est facile à établir. Nous avons d'abord les six conditions générales que doit vérifier l'ensemble de toutes les forces extérieures du système pris en entier, puis trois équations de moments pour chaque centre d'articulation B, G, . . . , F. En désignant par n le nombre des solides articulés entre eux, cela fait 6h-3(/i — i) ou 3/n- 3 conditions. Dans le cas, assez ordinaire, où le système aurait deux centres d'articulation fixes, vers ses extrémités A et G, les trois composantes des réactions de ces points, suivant trois axes coordonnés, deviendraient des inconnues auxiliaires, et après leur élimination il ne resterait que Zn — 3 conditions d'équilibre.

164. Exemple particulier. — Soit un système de quatre corps ABCH'A' {fig. 2o4) présentant cinq centres d'articula-

Fig. 284.

lion A, B, G, B', A' dans un même plan, pris pour celui de la figure; les deux extrémités A, A' sont fixes. On suppose qu'il y a symétrie relativement à CD, non seulement pour la forme du polygone ABC B'A', mais encore pour les forces directement appliquées aux corps du système; ces forces se réduisent pour

chaque corps à une résultante parallèle à CD, a^ant une intensité P pour les corps AB, A'B', et une intensité Q pourle> deux autres BC, B'C; nous admettrons que ces résultantes passent aux milieux des quatre côtés AB, BC, CB', B'A'. On demande d'indiquer les conditions d'équilibre et de déterminer les forces que chaque corps subit en vertu de ses liaisons avec les corps voisins ou les appuis fixes.

On reconnaît d'abord que toutes ces forces provenant des liaisons sont, comme les forces directement appliquées P, 0» situées dans le plan de la figure. Considérons, en effet, la partie du système comprise entre l'une quelconque des articulations, B par exemple, et l'extrémité A'. Cette partie est en équilibre sous l'action des forces Q, Q, P directement appliquées à BC, CB', B'A', des réactions qui s'exercent à ses extrémités B et A', et de ses forces intérieures. Appliquons l'une des conditions générales de l'équilibre (n"" 129), en égalant à zéro la somme des moments des forces extérieures, relativement à un axe arbitraire mené par A' dans le plan de la figure. Les forces Q, Q, P et la réaction du point Cixe A' ont un moment nul, parce qu'elles sont dans un même plan avec l'axe; donc le moment de la réaction exercée en B par AB sur BC doit être aussi nul, ce qui ne pourrait avoir lieu pour tous les axes menés par A', si la force n'était pas dans le plan de la figure. Le môme raisonnement s'appliquerait évidemment à toutes les articulations autres que B.

D'après cela, on peut décomposer la réaction exercée en V sur le système, par suite de la fixité de ce point, en deui forces, l'une X dirigée suivant AA', l'autre Y dans une direction parallèle à P et de sens contraire. Si l'on opère une décomposition analogue en A', on trouvera nécessairement deux composantes symétriques, car les équations qui détermineraient celle du point A s'appliqueraient tout aussi bien pour celles de A'. Pour avoir les valeurs de X et de Y, on prendra : i* l'équation de projection de toutes les forces extérieures sur la direction CD, ce qui donne

(I) Yr=P + Q;

a® l'équation des moments, relativement à B, des forces agis-

sanl sur AB, laquelle est, en désignant par a bI k les pi lions (le ÂB sur AA' et sur DC,

La première de ces équations fait connaître Y, et l'on i ensuite de la seconde

En considérant désormais comme connues les réa que le système des quatre corps reçoit en A et A', la tl {rénéralc du n° 163 nous apprendrait qu'il y a 3.;! 4 i5 conditions nécessaires et suriisanles pour l'équilibre ici ce nombre se réduit considérabiemeni, eu égard à ture particulière des données et à l'emploi déjà fait partie de ces conditions. D'abord les six conditions gén de l'équilibre du système dans son entier sont salis car les deux forces X se détruisent algébriquement da équations, et les deux forces Y donnent une résultante et contraire à celle des quatre forces P, Q, Q, P. En s lieu, on peut imaginer par cbacun des points B, C, Il axes rectangulaires, dont un perpendiculaire au plan figure et les deux autres dans ce plan ; les moments des seront toujours nuls par rapport à ces derniers, de sort sur les neuf équations de moments fournies par la i générale, il y en aura six qui se réduiront à des idei Enfin, nous avons déjà fait usage de l'équation des mo par rapport à l'axe B ; et comme la somme des moment: tivcmenl £i l'axe B' aurait même valeur, par raison de trie, cette somme est également nulle. En résumé, qu conditions sur quinze sont déjà remplies; il n'en rest qu'une à satisfaire, et on l'obtiendra en égalant à z somme des moments, relalivemcnl ù C, des forces appli enire A et C, d'oii résulte, en nommant // cl l les projc de ABC sur A\' et l)C,

(3) \l-\0-hV[b-

44o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXlfcXB.

La substitution des valeurs (i) et (2) de Y et de X transforme celte équation en la suivante :

{i-yo{^,!-i-')=-

c'est la seule condition à remplir par les forces données et Icb dimensions du système pour que Téquilibre ait lieu si le système est supposé en repos initial.

Nous avons encore à déterminer les actions mutuelles en B, C, B'. Conformément à ce qu'on a vu au n«163, la réaction exercée en B par le corps AB sur BC est égale à la résultante

(les forces Y ~ P h- Q X 1= -7 (P -+- 2Q) et P; elle aura donc

une composante égale à Q dans le sens et la direction de Y, et une composante égale à X. Au point B' s'exercerait une force symétrique de la part de A'B' sur B'C. Quant à la réao tion en C, on voit de môme, par l'équilibre de la partie ABC, que celte partie reçoit de CB'A' une réaction égale et directement opposée à X. La question est donc entièrement résolue dans les termes où elle a été posée.

On pourrait rendre le système articulé indéformable el son équilibre obligatoire, indépendamment de toute relation entre P et Q, en réunissant deux points symétriques M, M', pris sur BG et CB' par un tirant MM' articulé en ces deux points. Si nous supposons, pour plus de simplicité, que ce liranl ne soit soumis k aucune force directement appliquée, son équilibre exigera qu'il reçoive, par l'efTet des articulations M, M', deux forces ï égales et contraires qui constitueront sa tension. Réciproquement, le tirant exercera sur BC etCB'des réactions égales à T, qui seront en sens contraire des forces! subies par lui. La réaction T, appliquée en M, devra être introduite dans l'équation (3) des moments; si nous désignons par T, la distance de C à MM', cette équation deviendra

X/-YZ^-r-PU- - H-Qf - "l-^Tr, .= 0.

Après la substitution des valeurs de X et Y, on obtiendrait» non pas une condition d'équilibre, puisque l'équilibre est forcé, mais une équation déterminant l'inconnue auxiliaire T; celte

équation résolue par rapport à T donnerait

Dans le cas ou le tirant serait assimilable à un fil et incapable de supporter une pression, au lieu d'une tension proprement dite, il faudrait encore que la force T eût réellement le sens que nous lui avons attribué; on vérifierait que cette condition est remplie en constatant que le second membre de l'équation (5) est positif. S'il ne l'était pas, le tirant ne rendrait plus la distance MM' invariable, et l'équilibre ne pourrait avoir lieu.

11 est à remarquer que tous les calculs du n<» 164 subsisteraient sans aucune modification si les articulations en A, B, C, B', A' étaient simplement cylindriques, avec des axes perpendiculaires au plan de la figure.

Les deux problèmes qui suivent ne sont pas, à proprement parler, des applications de la théorie du n° 163. Leurs solutions reposent sur des considérations particulières; toutefois les systèmes dont on étudie l'équilibre sont toujours formés de corps solides réunis par des articulations sans frottement.

165. Pressions et tensions dans la charpente d'une grue, — La grue est un appareil employé pour l'élévation ou la descente des fardeaux; nous la supposons en équilibre dans une certaine position, et nous allons rechercher les actions mutuelles qui se développent entre les pièces dont elle se compose.

L'appareil consiste essentiellement en un arbre vertical AD {Jig. 2o5), articulé en C et D avec deux pièces inclinées DE, CE, appuyé en B sur un collier et terminé en A par un pivot entrant dans une crapaudine. La pièce DE se nomme le tirant, et CE la contrefiche. Le poids P est suspendu en E, centre d'articulation commun à DE et CE; on admet que ce poids a une intensité assez grande pour qu'on puisse négliger, comme comparativement très petils, les poids propres des trois pièces AD, DE, CE. Il s'agit de déterminer les réactions supportées par l'arbre en A, B, C, D, ce qui fera connaître en même temps les pressions ou tensions des pièces CE et DE.

Chacune de ces deux pièces n'est soumise, parhypothèïc,à Taction de forces qu'en ses points extrêmes; leur équilibre exige que les deux forces agissant aux points extrêmes soienl

égales et opposées, et, par con- '^' ^° ' séquent, les deux pièces sont

simplement tendues ou comprimées suivant leur longueur. Si l'on nomme Q la compression de CE et T la tension de DE, le point E doit rester en équilibre sous l'action de trois forces, savoir : i® le poids P; a* la force Q dirigée dans le prolongement de CE; 3* la force T dirigée de E vers D. Il faut donc que P soit égal et contraire à la résultante des deux autres forces; par suite, si Ton mène en P une parallèle à CE jusqu'à la rencontre G avec le prolongement de DE, on aura

QmPG, T:=:r,Ë,

car la résultante de ces deux forces est bien PE , c'est-à-dire P pris en sens contraire. D'ailleurs, ces deux lignes représentatives des forces Q et T subies par le point E ont bien le sens qu'on leur avait attribué a priori, ce qui montre qu'il y a effectivement compression dans la contrefiche et tension dans le tirant.

La similitude des triangles DCE, EPG prouve que les trois forces P, Q, T sont dans le même rapport que les côtés de DCE; on a donc

Q-P-^, Cl)