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ce qui permet de connaître Q et T sans avoir à construire la ligne PG.

Il faut maintenant trouver la réaction horizontale N fournie par le collier et la réaction de la crapaudine. Cette dernière se décomposera en une force horizontale X et une force verticale Y. On reconnaît d'abord facilement que N et X doivent

ÉQUILIBRE DBS SOLIDKS, ETC. 4^^

se trouver dans le plan de la figure, car sans cela on ne pourrail satisfaire à Téquation des moments de toutes les forces extérieures du système, relativement à un axe quelconque mené dans ce plan par l'un des points A ou B. Il suit de là que toutes ces forces extérieures se trouvent dans un même plan ; les trois équations d'équilibre auxquelles elles doivent satisfaire (n* 133, 3°) suffiront pour déterminer les trois inconnues N, X, Y. En prenant lesprojectionssur l'horizontale et la verticale, on a

on voit alors que les forces se réduisent à deux couples (N, X), (P, Y), et si Ton nomme h et /fleurs bras de levier respectifs, réquation des moments sera, relativement à un point quelce nque du plan,

Les valeurs des inconnues sont donc définitivement

L'expression des réactions horizontales montre l'utilité de ne pas trop diminuer la distance A— AB, afin de ne pas soumettre le collier, ainsi que le pivot et la crapaudine, à des efforts trop considérables, qui pourraient amener la rupture et produiraient tout au moins des frottements nuisibles.

166. Pressions et tensions dans une ferme avec arbalétriers soutenus par des tirants et contrejiches, — La Jlg, 206 représente une disposition de ferme qui offre assez de ressemblance avec les fermes usitées dans les gares de chemins de fer et connues sous le nom de leur inventeur, M. Polonceau. Toutes les pièces sont comprises dans un plan vertical et symélriqucment placées de part et d'autre de la verticale passant par le sommet C. Aux points A, B, C, B', A', que nous considérons comme des centres d'articulation, sont suspendus des poids P, 2P, 2P, 2P, P, devant lesquels on néglige les poids propres des pièces. Les deux arbalétriers AG et A'C sont soutenus en leurs milieux par des contrefiches BI), B'D', reliées ellesmêmes par des tirants AD, DC, A'D',D'C, DD'. Tous les assem-

blagcs sont censés réalisés au moyen d'articulations sansfroltemonl. Dès lors, chaque pièce n*est soumise à des forces qu'en ses deux points extrêmes, et il est nécessaire, pour son équilibre, que les deux résultantes appliquées à ces poinls soient égales et contraires; donc toutes les pièces sont tendues ou comprimées par des forces qui agissent suivant leur longueur, et l'on demande de déterminer toutes ces pressions et tensions.

Fig. ao6.

La ferme repose en A et A' sur deux plans horizontaux Gxes; nous supposons l'un des dcuxappuis,A'par exemple, établi de manière à ne pouvoir donner qu'une réaction verticale. Cela étant, l'autre appui A ne pourra également produire qu'une réaction verticale; car, si sa réaction avait une composante horizontale, comme ce serait la seule force extérieure non verticale, la résultante de translation ne s'annulerait pas et l'équilibre ne pourrait avoir lieu. Quant aux deux composantes verticales qui forment toute la réaction de chacun des pointsA et A', elles sont égales par raison de symétrie ; de plus, l'équilibre des forces extérieures exige que leur somme égale le poids total 8P; donc

c'est-à-dire que chaque appui donne une réaction verticale ascendante, ayant pour valeur 4P. En réduisant celte force

ÉQUILIBRE DBS SOUDES, ETC. 44^

avec le poids P, il ne subsisterait plus que la force verticale ascendante 3 P, en A et en A'.

Désignons maintenant par

Q, R, S les compressions subies par les pièces BC, BD, BA; T, U, V les tensions des tirants DD', DA, DC: P rinclinaison des arbalétriers AC, CA' sur le plan horizontal; a Tangle des tirants AD et DC avec Tarbalétrier AC.

Les forces Q, R, S, T, U, V sont des inconnues à déterminer. En les qualifiant, les unes de compressions, les autres de tensions, nous leur avons attribué a priori nn certain sens arbitraire; ainsi, par exemple, dire que CD éprouve une tension V, c'est affirmer que les forces, encore inconnues, qui agissent aux deux extrémités de CD et suivant la ligne CD tendent à écarter Tun de l'autre leurs points d'application. Il n'y a aucun inconvénient à faire cette supposition arbitraire; si dans la réalité CD devait subir une compression, la force V figurerait dans tous nos calculs avec un signe contraire à celui qu'elle devrait avoir, et l'on serait averti de l'erreur en trouvant pour cette force une valeur négative. Voici maintenant comment on peut obtenir les valeurs de ces inconnues.

Le point A reste en équilibre sous l'action de la force Y— P=: 3P, de la force U dirigée suivant AD et de la force S agissant suivant le prolongement de BA. Chacune des trois forces devant être proportionnelle aux sinus de l'angle formé par les deux autres (n^ll), cette propriété s'exprime ici par les deux équations