CHAPITRE III. ÉQUIPAGES DK ROUES DENTÉES
On appelle raison d'un système de rouages le quotient t de la vitesse du dernier arbre par celle du premier; soit
c'est le rapport du produit des nombres de dents des pignons, au produit des nombres de dents des roues, quel que soit l’ordre dans lequel ces divers éléments se trouvent disposés. Quand le train comprend une vis sans fin, celle-ci compte pour un pignon à une seule dent (à n dents si la vis est à n filets}.
On représente un train de roues dentées sans figures, en indiquant seulement les axes géométriques des rouages, et inscrivant sur ces axes les nombres de dents correspondants : on a soin de placer l'un au-dessous de l’autre les nombres qui se rapportent à deux roues engrenant ensemble.
Le diagramme suivant représente une horloge à secondes :
Boue d "échappement . 3o
Ai(j. des see
Roue moyenne
Roue motrice . ......
Aig. des min.
Aig. des h.
Le mouvement est communiqué de la roue motrice à la roue d'échappement, par le moyen de deux pignons de 6 dents, et de deux roues comptant l'une 45, l’autre 4® dents.
La roue d’échappement est réglée à raison d'un tour par minute, et c’est sur l’arbre de cette roue qu’est fixée l’aiguille des secondes. Il résulte du tableau que la roue motrice lait un tour par heure, car le rapport de sa vitesse à relie de la roue d'échappement est donné par la fraction
Enfin celle môme roue motrice transmet encore le mouvement, d’une part à l'aiguille des minutes au moyen de deux I. «6
roues de a5 dents, d'autre part à l’aiguille des heures au moyen d'un pignon de 6 dents et d’une roue de 72.
Il ne suffit pas d’avoir la valeur absolue du rapport des rotations des arbres extrêmes d'un train : il faut encore connaître la relation qui existe entre les-sens des mouvements de ces arbres (*). La règle est extrêmement simple, toutes les fois qu’on a seulement affaire à des engrenages cylindriques extérieurs ou intérieurs; mais chaque paire de roues coniques, et chaque vis sans fin, nécessite un examen spécial. Dans tous les cas, avec un peu d’attention, on trouvera sans peine les lois de la transmission du mouvement de rotation, dans un équipage de roues dont tous les axes sont fixes.
Notions sur le calcul des rouages. — Quand on se propose au contraire d’établir un train, propre à réaliser un rapport de vitesses donné, le problème qui consiste à déterminer le nombre des arbres intermédiaires et les proportions des diverses roues présente dans la plupart des cas de très-grandes difficultés, et ne peut être résolu que par une série de tâtonnements souvent longs et pénibles.
Voici quelques exemples de calculs de ce genre.
Horloge à secondes . — Pour relier, dans une horloge, l'aiguille des secondes à celle des minutes, il est indispensable de recourir à un arbre intermédiaire, afin d’éviter à la fois l'emploi » d’une roue à dents trop nombreuses, et l'engrenage intérieur qui serait nécessaire si l’on voulait, conformément à l’usage, faire tourner les deux aiguilles dans le même sens.
Nous avons indiqué tout à l’heure le train
qui fournil une première solution du problème.
(*) Quand ces deux arbres sont parallèles, il est commode d'affecter s du signe -4- ou du signe — , selon que les deux rotations sont de même sens ou de sens contraires.
CIIAPITRE . III. ÉQUIPAGES DE ROUES DENTÉES. Sip
Mais, les pignons de 6] ailes étant assez défectueux, il est préférable de ne pas descendre au-dessous de 8 ailes, et d’employer, par exemple, l’un'des deux trains :
dont la raison est aussi égalejà -1-
Pour établir un système de rouages, il est indispensable d’avoir le rapport e sous la forme d'une fraction rationnelle
dont les deux tefmes soient décomposés en facteurs compris entre les limites que nous avons indiquées; et par conséquent, si l’un des termes de t possède un facteur premier considérable, on est obligé de se contenter d'une approximation.
Horloge lunaire. — Considérons deux aiguilles, l’une marquant les heures sur un cadran ordinaire, l’autre faisant un tour complet dans la durée d’une lunaison : soit On a
£— 4i54 — ÏÔ63Ï’
et io63r est un nombre premier.
Le rapport
correspond à un train facile à exécuter, lequel est en erreur d’une minute par lunaison.
Méthode des fractions continues. — Quand les deux termes du rapport £ sont de très-grands nombres, on développe ce rapport en fraction continue; et on cherche, parmi les réduites successives, une fraction fournissant à la fois une décomposi-
lion convenable et une approximation suffisante. Cette méthode, indiquée pour la première fois par Iluygcns, est basée sur la propriété qu'ont les réduites d’exprimer une approximation donnée avec les plus petits entiers possibles.
Application. — Supposons qu’on veuille construire une horloge donnant à la fois le temps sidéral et le temps moyen.
L’un des procédés pour arriver à ce résultat consiste à placer derrière l’aiguille des heures un cadran mobile plus petit que le cadran ordinaire, et concentrique avec lui. L’aiguille fait sa révolution en 24 heures solaires, et marque le temps moyen sur le cadran fixe; elle indiquera en même temps l'heure sidérale sur le cadran mobile, si l’on s’arrange de manière à donner à celui-ci un mouvement rétrograde de 56*, 555 = 236*, 555 par jour moyen.
Comme le cadran contient 86400 secondes, le rapport de la vitesse do l’aiguille à celle du cadran est
8f>4<>oooo 288000
La fraction , réduite en fraction continue, donne les
résultats suivants :
Quotients . .
3 1 1 y I 5îj • • •
Réduites . . .
Il 23
80 ’ toi’
La réduite
fr»7
3 XnXi 9
io 3
io 3
= io 3 x 8
fournit une grande approximation.
L’important n’est pas précisément d’avoir de petits nombres pour les deux termes de la fraction qui exprime la raison d’un rouage à établir ; il faut surtout que ces nombres soient décomposâmes en facteurs. Aussi, quand on ne trouve pas de fraction satisfaisante parmi les réduites, faut-il avoir recours à des fractions moins simples, parmi lesquelles il s’en rencontrera souvent de plus avantageuses pour l’objet qui nous occupe.
