CHAPITRE 1. MOUVEMENT SIMPLE »’UN POINT. 3g
Les théorèmes auxquels donne lieu la projection du mouvement plan ne diffèrent pas de ceux que nous avons démoi>trés plus haut.
Digression sur les. résultantes on sommes géométriques.
On énonce ordinairement les théorèmes sur les mouvements simultanés d’une manière qui nécessite quelques définitions préalables.
Définition. — Etant donnée une série de droites ayant chacune une longueur, une direction et un sens bien déterminés, si, en parlant d’un point quelconque, on porte toutes ccs droites bout ù bout, la ligne qui, partant du même point , ferme te polygone ainsi formé, s’appelle la résultante des lignes données.
Ainsi OF ( fig . iG) est la résultante des droites OA, AB,. . ., droites qui, relativement à la ligne OF, reçoivent la dénomination de composantes.
Propriétés des résultantes géométriques. — On voit en premier lieu qu'une résultante ne change pas quand on intervertit l'ordre de deux composantes consécutives, et par suite celui de deux ou plusieurs composantes quelconques.
En deuxième lieu, on voiÇque la résultante diffère seulement par le sens qui lui est attribué, du côté qui fermerait le polvgone des composantes.
Enfin, il est évident que la projection d’une résultante sur un axe quelconque est la somme algébrique des projections des composantes sur le même axe.
Lorsqu’il y a seulement deux composantes (fg. 17), la résultante est la diagonale du parallélogramme fait sur ces deux droites, supposées portées dans un sens convenable à partir d’une origine quelconque O. Quand ccs mêmes composantes sont ati nombre de trois {Jig. 18), la résultante est la diagonale du parallélipipède des composantes.
On peut donc énoncer le théorème suivant, qui comprend à à la fois le cas du mouvement dans un plan et celui d'un mouvement quelconque :
Théorème IV. — La vitesse d’un mobile est la résultante des vitesses simultanées de ses projections.
Relations analytiques entre les composantes et la résultante. — 1“ Cas du triangle ou du parallélogramme. — Soient (/ig. 19) A et B deux droites, K leur résultante; on a, par la trigonométrie reetiligne :
sinA,B sinh.lt . sinA, H R 1 = A* + B’+aABeosA, B,
A 1 = B’ -f- R* — 2 BR eosÏÏTÏÏ,
B 3 = A* + IC— 2 Alt cosÂTÏÏ.
La dissymétrie des dernières formules tient à ce que la résultante ne si; compte pas dans le même sens que scs composantes.
Quand l’angle des deux composantes est droit, les formules deviennent
A = RcosA, lt,
B = RcosB, R;
2* Cas du parallêlipipède. — Bornons-nous au cas le plus habituel, celui où les trois composantes sont rectangulaires.
Soient A, B, C, les composantes, R la résultante, a, ( 3 , y (*) les angles formés par celte ligne avec les trois premières. On a
A = Reosa,
B= Reos { 3 ,
C == R cosy;
3 ° Cas d’un polygone, ou d'un nombre quelconque de com-
(*) Les Angles a, fl y •/ sont liés entre eux par la relation cos* « -f- cos’ fl -4- COt* y ss 1 ;
il est pourtant nécessaire de connaître c<*$ trois angles, pour que la direction de la droite k laquelle ils appartiennent soit bien définie; et même, lorsque ces angles sont donnés chacun par une ligne trigonométrique, il est indispensable que cette ligue soit un cosinus, c’est-à-dire une ligne qui change de signe quand on passe d’un arc à son supplément, et qui ne change pas, quel que soit le sens dans lequel on mesure l’angle compris entre deux directions déterminées.
