VI. Donnée j — y [v). On a

•=L. wf ,=, - + l

§ II. — Étude du mouvement sur la trajectoire.

Après avoir dit du mouvement d'un point tout ce qu’on peut en dire sans s’occuper de la trajectoire de ce point, il faut, pour compléter notre élude, examiner ce que peut ajouter à ce qui précède la considération purement géométrique de la trajectoire.

A ce nouveau point de vue, le mouvement le plus simple est le mouvement rectiligne; la théorie développée dans le paragraphe précédent renferme tout ce qui est relatif à ce mouvement.

Quant au mouvement curviligne, nous allons montrer comment on en ramène l’élude à celle du mouvement rectiligne, au moyen de la considération des mouvements simultanés.

Théorie des mouvements simultanés.

Soit MM' la trajectoire d’un point, rapportée à trois axes quelconques (fg. 1 3 ). Considérons, en même temps qu’un point M de cette trajectoire, la projection P de ce point sur l’axe des x, fuite parallèlement au plan zXy.

Pendant que le point M se déplace sur sa trajectoire, le point P se déplace sur l’axe \x; on dit que ces deux mouvements sont simultanés. Ils sont d’ailleurs tellement liés entre eux, que l’un se déduit immédiatement de l’autre, si la trajectoire est connue. Si elle ne l’est pas, il faudra, pour que le mouvement du point M soit bien défini, connaître les mouvements des projections de ce point sur trois axes concourants quelconques.

Soient

les équations de ces mouvements rectilignes. L’élimination de t entre ces trois relations donnera les équations de la trajec-

CHAriTRE I. MOIVEMENT SIMPLE d’i'N POINT. 3?

toire sous la forme ordinaire; à moins toutefois qu’on n’aime mieux conserver, pour représenter la trajectoire, les trois équations (i) qui définissent cette courbe par l’intermédiaire d’une variable auxiliaire t, ce qui sera tout aussi commode.

Les relations (i) s’appellent les équations du mouvement du point M.

Nous avons ainsi ramené l’étude d’un mouvement curviligne quelconque à celle de trois mouvements rectilignes simultanés; mais il importe encore de faire voir comment on peut déduire les divers éléments du premier de ceux des deuxièmes, supposés connus.

Auparavant, remarquons que, dans notre manière de considérer la vitesse, cette quantité est une longueur, ds, affectée d’un dénominateur numérique dt.

D’après cela, la direction de la longueur finie, est celle

de l'élément ds, prolongé dans le sens du mouvement; et, si l’on veut avoir la définition complète de la vitesse d’un mobile, au double point de vue de la grandeur de cette droite et de sa position dans l’espace, il faudra porter une longueur

égale à -j- sur la tangente à la trajectoire de ce mobile ( Jig. ta),

à partir du point de contact et dans le sens du mouvement. La droite MN, ainsi obtenue, représentera à la fois la grandeur, la direction et le sens de la vitesse du mobile.

Nous pouvons maintenant chercher les relations de position et de grandeur qui existent entre la vitesse du point M et les vitesses des trois projections de ce point.

F ilesses dans les mouvements simultanés. — Considérons sur la trajectoire un point M' infiniment voisin du point M {Jig. 1 4 )> Tle sorte qu’on puisse indifféremment regarder ce point M' comme situé sur la courbe elle-même, ou sur la tangente au point M.

Les accroissements infiniment petits des coordonnées, dx, dy , dz, forment les trois côtés d’un parallélipipède dont ds est la diagonale. Construisons un parallélipipède semblable sur les mêmes arêtes prolongées, et donnons-lui des côtés qui soient à leurs homologues dans le premier parallélipipède comme l’unité est à dt.

38 TBEMIÈBE SECTION. — CIKÉMATIQL'B PIRE.

Les côtés de ce nouveau prisme seront respectivement égaux à

<!x il y dz

T' Tt' Ti'

et il est évident que la diagonale prendra la valeur correspondante, en conservant d'ailleurs sa direction, qui est celle

de la tangente à la trajectoire.

On déduit de là les résultats suivants :

Théorème I. — Lit vitesse d'ttn mobile est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède fait sur les vitesses simultanées de ses trois projections.

Théorème 11. — La vitesse de la projection d'un point sur un axe quelconque est égale à la projection, faite sur le même axe et parallèlement au même plan, de la vitesse du point donné.

Enfin, si l’on considère le mouvement de la projection du point M sur un plan quelconque, x\ r, on voit encore, à l'inspection de la fg. 14 , que :

Théorème 111. — La vitesse de la projection orthogonale ou oblique d’un point sur un plan quelconque est, en grandeur et en direction, la projection de la vitesse du mobile sur ce plan.

Cas d’une trajectoire plane . — Quand la trajectoire est une ligne plane, il est naturel de la rapporter à des axes situés dans son plan {fig. i5); on n’a plus alors à considérer qu’un triangle infiniment petit MM' N, dont les côtés sont respectivement proportionnels à la vitesse du mobile et aux vitesse^ de ses deux projections. ,

Ce triangle est connu dans la science sous le nom de triangle infinitésimal de Harrow, nom qu’on devrait remplacer par celui de triangle de Fermai.

Fermai est en effet le premier qui ait étudié les propriétés de ce triangle célèbre, propriétés qu’on doit reconnaître comme le point de départ de la méthode des fluxions, et de la découverte du calcul infinitésimal.