CHAPITRE IV. — VITESSES EN RAPPORT VARIABLE. 2-j
lèles. Le même système se prêle à la production d’un mouvement alternatif, quand l’excentricité est supérieure à la longueur de la manivelle pleine.
2" Axes concourants.
Joint universel (*). — Considérons deux arbres dont les prolongements géométriques se rencontrent {fg. 219), et qui forment un angle voisin de 180 degrés. Chacun de ces arbres est terminé par une fourche, et les deux fourches sont ellesmêmes réunies par un croisillon invariable, qui s’assemble avec elles au moyen de quatre points d’articulation.
Le mouvement de l’un des deux arbres se communique à l’autre par l’intermédiaire du croisillon, mais la transmission n’est pas uniforme. Le rapport des vitesses varie, comme nous allons le voir, d’autant plus que l’angle des deux axes est plus considérable : aussi le joint universel ne peut-il s’employer avec quelque avantage que dans le cas où cet angle est assez faible. On y a recours, par exemple, pour relier les deux tronçons d’un arbre trop long pour être fait d’une seule pièce : l’interposition du joint universel dispense de la nécessité d'ajuster les paliers avec précision. De plus, l’angle des deux axes peut varier, sans qu’il résulte de celte circonstance des efforts anormaux sur les pièces du mécanisme. Seulement, ces effets n’étant obtenus qu’aux dépens de la régularité (**), 011 doit se garder de faire servir le joint universel à la transmission d’efforts un peu considérables.
Soient OA, OB, les deux axes do rotation; les bras du croisillon sont représentés par les droites CC\ DD’, perpendiculaires : la première à l’axe OA, la seconde à l’axe OB.
La droite 1)1)’, assujettie à rester perpendiculaire à l’axe OB, décrit un plan dont la trace sur une sphère ayant son centre en O est le grand cercle E, tandis que les extrémités de la droite CC' décrivent le grand cercle F, perpendiculaire à l’axe
(*) Le joint universel est aussi connu sous le nom de joint de Cardan ou joint hollandais. M. Willis en attribue l’invention à Hooke (1674)»
(**) Rappelons à cette occasion que M. Porro a imagine une sorte de joint universel h rapport constant (p. 2*4)» <l u » josiit des mêmes propriétés que le joint de Cardan.
OA. Comme de plus les droites OC, OD sont perpendiculaires entre elles, l’arc CD est constamment égal à un quart de grand cercle; et la position de l’un des points C, D sur sa trajectoire est connue, lorsqu'on a la position de l’autre point sur la sienne.
On peut donc chercher la loi de la transmission du mouvement par le joint universel, en étudiant les lois du mouvement sphérique des extrémités d’un are de grand cercle égal à un quadrant, qui se meut entre deux grands cercles dont l'angle est égal au supplément de l’angle des axes {Jig. 220).
Partons de l'instant où le croisillon est dans le plan perprnidiculaire à l’axe A. Représentons par C„ D, deux positions simultanées des points d’articulation C, I); et désignons par or et y les arcs CC,, DP,, décrits par ces points à partir de leurs positions initiales.
Le déplacement x du point C, extrémité d’une perpendiculaire à l’axe A, mesure la rotation de l’arbre correspondant; de môme, l’arc y mesure la rotation autour de l’axe B.
Or on a dans le triangle DD, C, :
TT
cos - = cos
cos -+- sin
sin y cos D,
ou
ce qui donne
sin x cos y= cosx sin.)’ cos D, langer = tangr cos D (*).
En différentiant celle équation, on trouve le rapport des vitesses angulaires simultanées, lequel est égal à On obtient également ce rapport en appliquant les principes de la composition des rotations : en effet, les trajectoires des points C,, D, étant connues, le pôle instantané de la rotation du croisillon est en I, intersection des arcs normaux à DD, et CC,.
Cela posé, on a
w' sin 1D, sin IC, D, cos CC, D,
ta sin IC, sin 1D, C, cos DD,C,"
( * ) Dans ces équations, D est l'angle aigu des deux axes de rotation.
