CHAPITRE I. * MOUVEMENT SIMPLE D’cN POINT. 5l

sont dans le même rapport que les longueurs MI et MR : on déduirait de là une démonstration à posteriori du théorème fondamental de la théorie des caustiques.

Développement de la méthode de Roberval.

Ces exemples suffisent pour montrer comment la méthode ingénieuse, imaginée par Roberval, conduit à la détermination géométrique des tangentes aux lieux courbes. Mais, si l’on appliquait directement le principe de cette méthode à tous les cas, on aurait souvent un grand nombre de vitesses simultanées à considérer, et on pourrait se trouver conduit à des constructions, sinon impraticables, du moins extrêmement compliquées.

Pour éviter cet inconvénient, il faut chercher à dégager du principe de Roberval un petit nombre d’éléments simples, éléments qui joueront dans cette théorie le rôle que remplissent dans le calcul différentiel les formules donnant la dérivée d’un produit, d’un quotient, d’une fonction de fonction, etc. C’est ce qu’a fait M. Mannheim dans des travaux encore à peu près inédits (*), dont nous allons extraire quelques formules fondamentales, et les élégantes constructions qui en découlent.

Première for ml le : Expression de la variation de longueur d'une droite. — Considérons [fig. 29) un rayon vecteur issu du point O, et coupé aux points M et M' par deux courbes quelconques.

Soient N et N' les points où les normales à ces deux courbes viennent rencontrer la perpendiculaire élevée en O sur le rayon vecteur. Nous avons trouvé

d. OM = ON r/0, d.OM'=OXdO;

donc

(1) d. MM' = NN'</0.

(* ) F'oir toutefois S ouvrîtes Annales de Mat hématit/ ues, t. XVI, p. 3 ? 3 , et t. XVIII, p. 371 ; Noie de Gcométrio infinitésimale ( Annales de Tortolini , t. II); enfin une Note insérée à la fin du premiur volume des Applications d’ Analyse et de Géométrie du général Poncelet.

Celle formule donne la variation de la longueur MM', interceptée sur une droite mobile par deux courbes quelconques. La loi du mouvement de la droite indéfinie OMM' est arbitraire ; le point O est celui où celle droite est tangente à son enveloppe (*).

Application. — Une droite MM' (fig. 3o) se meut suivant une loi qu'on définit en donnant l’enveloppe des positions successives de cette droite ; elle rencontre deux courbes quelconques aux points M, M'. On partage la distance MM' au point M" en deux parties dont le rapport 1 soit constant : trouver la normale au lieu du point M".

Traçons la perpendiculaire ON, les normales MN, M'N', aux courbes données; et soit M"N" la normale cherchée. On a