OM' — AM
on oblient le point O en menant la bissectrice AB de l’angle des tangentes [fig. 38), et prenant OM' = BM.
Troisième formule : Expression de la variation de l'angle de deux droites. — O 11 donne les enveloppes des deux droites, et la courbe décrite par leur point de rencontre [Jig. 3g).
En désignant par dO et dô’ les déplacements angulaires des rayons vecteurs OM, O'M, et appliquant les formules connues, on a
d’où
d<î> = dô' — dù = ds
Application. — Considérons [ftg. 4°) la normale MN à l’ellipse, laquelle partage en deux parties égales l’angle des rayons vecteurs, FMF'. De l’équation
on conclut
FMN = N MF', </.FMN = t/.NMF';
d’où, d’après la formule (3), en supprimant ds et représentant par O le point où MN louche son enveloppe, c’est-à-dire le centre de courbure de l’ellipse.
MÜ MN MN 7 SÏÜ’
MO MN MÎV
O est donc l’harmonique conjugué de M par rapporta N et à N'.
Quatrième formule : Expression de la variation d une aire curviligne . — Enfin la formule de la vitesse aréolaire,
(4) d$ = ±r>dO,
s’emploiera de la même manière que les précédentes, dans les questions où entreront des aires.
Go PREMIÈRE SECTION. CINÉMATIQI E PP RE.
Par exemple, si l’on suppose qu’une droite MM' (fi g. 40 se meuve de telle sorte que l’aire du segment MM' soit constante, on trouve immédiatement que le point de contact O de la droite MM' avec son enveloppe est le milieu de la corde interceptée.
De plus, nous obtiendrons le centre de courbure de l’enveloppe (O), en considérant la droite MM' comme assujettie à être coupée en deux parties égales par une courbe trèsvoisine de l’enveloppe. D’après les'principes établis, la normale à la courbe auxiliaire vient rencontrer la normale ON au milieu C de NN', et si l’on suppose que notre courbe fictive se confonde avec l’cuiveloppe, ce milieu C n’est autre chose que le centre de courbure de cette enveloppe.
Application A l’hyperbole (Jig- 4 2 )- — fa droite mobile MM' coupe deux droites fixes de manière à former avec celles-ci un triangle d’aire constante. L’enveloppe est une hypeibole ayant les droites fixes pour asymptotes; le point de contact est au milieu de MM', et la construction précédente fait connaître le centre de courbure correspondant, C.
En résumé, les quatre formules primordiales que nous venons d’établir sont les éléments d’une méthode générale qui permet de résoudre simplement un grand nombre de problèmes de Géométrie infinitésimale.
Ces formules, et d’autres analogues (*), facilitent singulièrement les applications de la méthode de Koberval, et donnent à cette belle méthode une portée dont on ne parait pas s’être jusqu’ici suffisamment rendu compte.
(•) J’ai dû me borner à donner ici ce court extrait des recherches de M. Mannheim, lequel suffit pour montrer de quelle utilité sont en Géométrie les considérations du domaine de la Cinématique.
Il est facile de comprendre que les formules que nous avons posées, et qui se rapportent à de simples lignes planes, ne sont pour M. Mannheim que le point de départ de recherches relatives aux expressions géométriques d’infiniment petits de divers ordres, sc rattachant à des figures planes, sphériques, tracées sur des surfaces arbitraires, ou encore à des déplacements quelconques dans l’espace.
Nous laissons à cet habile géomètre le soin de faire lui-même en temps et lieu l’exposition complète de ses travaux intéressants de Géométrie infinitésimale, avec tout le développement que comporte un pareil sujet.
