MT = M.M

d’où l’on conclut

MTF = FMM, = MM, F.

Mais, les deux triangles MTF et MM, F ayant la base MF commune, leurs sommets T, M,, sont sur une parallèle à cette base; donc TM, est parallèle à MF, et la direction de l’accélération totale, au point M„ est celle du rayon vecteur MF, ou M.F.

a" Nous avons trouvé précédemment, en supposant la vitesse aréolaire constante et égale à C, que la vitesse correspondante, v, du mobile sur sa trajectoire, avait pour expression — 2< --i : donc r cos i

p p r* cos’ J

D’après la théorie précédente, cette quantité est aussi égale à Jcosi : on a' ainsi pour l’accélération totale :

r’Xpcos’i

Newton a démontré d'autre part que le produit pcos’i est constant dans l’ellipse; donc l’accélération totale varie en raison inverse du carré de la distance de la planète au soleil.

Remarquons que notre premier résultat est indépendant de la nature de la courbe décrite; ainsi :

Toutes les fois que les aires décrites par un mobile autour d’un point fixe F sont proportionnelles aux temps, l'accélération totale est dirigée vers le point F.

Quant à la grandeur de cette accélération totale, elle dépend de la nature de la trajectoire, et de la position du pôle F dans le plan de celte courbe, par la quantité p cos’ i. Ainsi :

Dans l’ellipse rapportée à son centre, on trouve

pcos’i = ^> J = K'r;

Dans la spirale logarithmique, on a

p cos’ i = Kr, J = — •