OC = OC', OD = OD

En effet, les deux triangles ABO, A'B'O sont égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. 11 suit de là que le point O, considéré comme appartenant à la première figure, est lui-même son homologue dans la seconde; par

simplicité, dit M. Chasles, que sc trouve la première trace des propriétés d'une figure en mouvement.

Nous verrons plus tard que le mouvement épicycloïdal, étudie par Descartes, comprend comme cas particuliers tous les mouvements possibles d'une figure plane invariable dans son plan; mais Descartes et Bernoulli ignoraient l’oxistencc de cette propriété.

(*) Pour que le théorème soit vrai, il faut que les deux polygones représentent deux positions d'une même figure dans son plan ; c'est-à-dlre qu’on doit pouvoir effectuer la superposition, sans être obligé do retourner l’une des figures.

suite, il est également distant des points C et C', D et D', et de tons les autres couples homologues.

Nous appellerons indifféremment point central ou centre de rotation ce point autour duquel on peut faire tourner une des figures pour l’amener à coïncider avec l’autre.

L’énoncé du théorème 11, qui s’applique à un déplacement fini ou infiniment petit, est emprunté à M. Chasles (*), qui a restitué au théorème de Bernoulli son véritable caractère, et qui a fondé sur ce théorème une méthode géométrique des tangentes, laquelle n’est autre chose que celle de Descartes généralisée.

La méthode de M. Chasles est basée sur cette observation que, si le déplacement qui nous occupe est infiniment petit, le point O se trouve à la fois sur les normales à toutes les trajectoires des divers points A, B, C de la figure. Il suit de là

que ces normales se croisent toutes nécessairement en un point unique, et l’on a le théorème suivant :

Théorème 111. — Quand une figure plane invariable est animée d’un mouvement quelconque dans son plan, les normales aux trajectoires des différents points de cette figure se coupent toutes en un même point (**).

De là résulte une méthode fort simple pour déterminer les normales ou les tangentes des courbes décrites dans le mouvement d’une figure de forme invariable.

Considérons par exemple une droite de longueur constante AB (fg. 8a), dont les extrémités s’appuient sur deux droites fixes Ox, Oy, ou sur deux courbes quelconques (P) et (Q); et supposons qu’on demande la tangente au lieu décrit par le sommet d’un triangle invariable, construit sur la base AB.

Le point A décrit Oj" donc le centre instantané est sur la perpendiculaire élevée au point A surO.v. De même, la trajectoire de B étant la ligne Ox, le centre de rotation se trouve

(*) Bulletin des Sciences mathématiques de Férus sac, t. XIV, p. 322; i83o ; et Correspondance mathématique de M, Quête let , U VII, p, 3 j3.

(**) Ce point remplit, pour un déplacement infiniment petit de la figure, le rôle du point central dont il \ient d’être question : c’est un centre instantané de rotation .