OH

QH’

Or, les deux triangles OPR, OQR sont égaux ; les produits OP X Q1I et OR X QH', qui représentent les doubles de leurs aires, sont donc égaux : c’est-à-dire qu’on a

QH OR r

QH' — OP p'

Donc r est égal à OR, puisque OP a été pris égal à p.

Parallélogramme îles rotations. — En réunissant les deux résultats qui précèdent, on dira simplement que deux rotations simultanées, autour de deux axes concourants, se réduisent à une rotation unique, représentée par leur résultante géométrique. Celle règle est identique à celle qui se rapporte à la composition de deux vitesses d’un point mobile.

On conclut de là que des rotations en nombre quelconque, s’effectuant autour d’axes qui passent tous par un même point, se réduisent à une seule représentée par la ligne qui ferme le polygone des rotations composantes ( * ). On en conclut encore

(*) Cette représentation lumineuse <lc à Lagrange.

la composition des rotations est duo

«46 PREM1ÈRB SECTION. CINEMATIQUE PERE.

qu’une ro talion quelconque, dont l’axe est donné, peut toujours être remplacée par trois rotations autour de trois axes rectangulaires ou obliques, qui se croisent en un point de l’axe donné.

Composition îles rotations autour d'axes parallèles.

Considérons d’abord deux rotations de même sens, et soient AP, BQ [Jig. ioy) les axes de ces rotations : les deux composantes correspondantes de la vitesse d’un point sont dans un plan perpendiculaire à ces axes; donc tous les points du corps ont des vitesses parallèles à ce plan, et par conséquent le mouvement se réduit à une rotation autour d’un axe parallèle aux axes donnés.

Il est d’ailleurs évident que les points animés d’une vitesse nulle sont situés dans le plan des deux lignes AP, BQ : qu’ils se trouvent entre ces deux lignes, si, comme nous l’avons supposé, les deux rotations sont de même sens : enfin que les distances x et y de ces points aux deux axes doivent satisfaire à la relation

px = qy.

On conclut de là que les distances de l’axe de la rotation composée aux axes des rotations composantes sont inversement proportionnelles aux vitesses angulaires p, q.

Remarquons enfin que la vitesse d’un point de la ligne BQ s’exprime indifféremment par p ( x -+-/) et par ry , si on désigne par r la vitesse angulaire autour de l’axe CR que nous venons de déterminer; donc

p[*+y) = ry.

En remplaçant dans le premier membre de celle équation px par qy, on obtient

Deux rotations p et q, parallèles et de même sens, se composent en une seule égale à leur somme p -h q. L'axe de cette rotation est parallèle aux axes donnés, et divise leur distance dans la raison inverse des quantités p et q.

Si les deux rotations p ci q étaient de sens contraires ( fig . i io), on trouverait aisément :

i° Que le mouvement résultant est une rotation autour d’un