OM = OP X

Composition des mouvements quelconques.

Pour composer un nombre quelconque de mouvements élémentaires, lesquels se réduisent chacun en particulier à la combinaison d’une translation et d’une rotation, on prendra une origine arbitraire 0, et on transportera en ce point toutes les rotations. Ces rotations se composeront toutes en une rotation unique, à laquelle il faudra joindre, pour avoir le mouvement réel, la résultante qu’on obtient en composant toutes les translations données, plus celles qui proviennent du transport des rotations au point 0.

Concevons par le point 0 trois axes quelconques : ce qui précède donne le moyen de décomposer le mouvement d’un solide en trois translations, parallèles aux trois axes, et trois rotations s’effectuant autour de ces mêmes axes.

Enfin tout mouvement élémentaire peut encore être décomposé, et d’une infinité de manières, en deux rotations autour de deux droites non situées dans un même plan. L’une de ces droites peut être prise à volonté (*); l'autre est la conjuguée de celle^i, et réciproquement.

( # ) Il suit de )ii qu'une droite peut être amenée d’une position à une autre par l’effet d'une simple rotation autour de sa conjuguée, il est à remarquer que cette conjuguée e*t unique, quel que soit le système solide dans lequel on iusère la première droite.

Lorsqu'on considère une droite mobile, sans se préoccuper de Gxcr les trajectoires des divers points de cette droite, il y a une inlLnite de manières de la faire passer d’une position à la position voisine, au moyen d’une simple rotation. Le lieu des conjuguées qui répondent à ces divers mouvements, c’està-dire le lieu des axes des hyperboloîdes de révolution qui se raccordent

t5l PREMIÈRE SECTION* — CINÉMATIQUE PIRE.

§ XIV. — Mouvement relatif de deux solides qui se déplacent

CHACUN d'une MANIÈRE QUELCONQUE.

Problème général. — Veux corps sont animés de mouvements connus quelconques : trouver le mouvement relatif de l'un d'eux par rapport à l’autre, c’est-à-dire par rapporta trois axes rectangulaires invariablement liés à celui-ci.

I.a solution de ce problème, dont on rencontre de nombreuses applications dans l’élude des machines, résulte immédiatement de la théorie de la composition des mouvements.

En effet, il est évident qu'on ne change pas le mouvement relatif cherché, en imprimant à l’ensemble des deux corps un

oycc la surface gauche décrite par la droite, n’est autre chose que le paraboloïde normal à cette surface le long de notre droite.

De la définition que nous avons donnée des droites conjuguées, considérées comme axes de rotation, découle immédiatement la propriété suivante, qui delinil ces mêmes droites au point de vue de la Géométrie pure :

J. es plans normaux aux trajectoires de tous les points d’une droite mobile ont pour intersection commune la droite conjuguée.

Menons la perpendiculaire commune à l'axe central et à la droite donnée D; le pied de cette perpendiculaire P sur la droite I) est le point central do l’élément gauche décrit par cette droite dans son mouvement infiniment petit: nous l'appellerons le puiul central de la droite.

Cela posé, considérons le paraholo'ide normal à la surface de vis a filets carrés décrite par la perpendiculaire P, on a le théorème suivant :

La conjuguée d’une droite est parallèle ù la génératrice du paraboloide normal qui passe par le point central de cette droite.

Cette propriété étant réciproque, la conjuguée se trouve aussi déterminée de position, puisqu’il su Ait pour en avoir le point central de chercher sur la ligne P le point où la génératrice du paraboloide est parallèle à la droite donnée.

Plaçons-nous sur l’axe central, supposé vertical, de. manière à voir la rota tion instantanée s'effectuer dans notre sens positif, et regardons toutes les droites dont le point central est sur la ligne P. I.es portions de ces droites situées au-dessus du paraboloide sont les axes des rotations conjuguées équivalentes au mouvement hélicoïdal qui nous occupe. Il n’est donc pas possible, au point de vue cinématique, pour toutes les droites qui descendent au-dessous du paraboloide, d'assigner une direction conjuguée. Quant aux génératrices du paraboloide et de tous les autres paraboloide* de même nature, il n’existe aucune manière de les amener d’une position à la position voisine, au moyen d’une, simple rotation.

Je ne dcvcloppcroi pas davantage les propriétés des droites conjuguées, lesquelles s'étendent au cas où l’on considère un déplacement fini d’une droite dans l’espace. (Consulter les nombreux Mémoires do M. Chasles, déjà cites.)