CHAPITRE IV. COMPOSITION DES MOUVEMENTS Dt’fN SOLIDE. l

peut remplacer les angles de ce triangle par les angles égaux formés autour du point M, et poser la proportion

c/S : ds : ds' : : sin MC, MC' : sin MC', MA : sin MC, MA.

On conclut de là le rapport de la vitesse de glissement à l’une ou à l’autre des vitesses angulaires.

Corollaire. — Pour que le glissement élémentaire soit nul, il faut qu’on ail

sin MC, MC' = o,

c’est-à-dire que le point de contact des deux courbes soit sur la ligne des centres.

Problème IV. — Déterminer les deux courbes, de manière que la transmission du mouvement s’effectue sans glissement, et que le rapport des vitesses angulaires soit constant.

Solution. — Pour que le glissement soit nul, il faut que le point de contact des profils cherchés soit sur la ligne des centres de rotation. Si de plus on veut que le rapport des vitesses soit constant, ce point doit être un point fixe M, de la ligne CC'.

II suit de là que les longueurs CM, C'M sont constantes, et que par conséquent les courbes décrites par le point M, relativement aux centres respectifs C et C', sont deux circonférences de cercle ( fig . 117). Les rayons de ces circonférences sont déterminés par leur somme, égale à la longueur CC', et par leur rapport, qui est l’inverse du rapport de vitesses donné.

Scolie. — Si l’on supprime la restriction, sans glissement, le point de contact des deux courbes peut être n’importe où : le rapport des vitesses ne cessera pas d’être constant, et conservera la même valeur que précédemment, pourvu que la normale commune vienne passer au point de contact M des circonférences dont nous venons de parler; de sorte que, géométriquement, le problème admet une infinité de solutions : nous savons qu’on peut se donner arbitrairement l’une des deux courbes, et que l’autre est l’enveloppe des positions relatives de celte-ci.

Nous verrons plus tard, parmi ces solutions en nombre infini, quelles sont celles que la pratique a adoptées.

l5> PREMIÈRE SECTION. CINÉMATIQUE PIRE.

Problème V. — Étant donnée la courbe (C') [fig. 1 18 ), déterminer la courbe (C) de manière que le glissement soit nul : trouver dans celte hypothèse le rapport variable des vitesses simultanées des deux cames.

Solution. — Posons :

CC '—a, CM = r, C'M = r\

et soient 6 et 0' les angles des rayons vccteui's r et r' avec deux axes CP, C’P’, fixes respectivement aux centres C et C'.

La courbe ( r, 0) devant être tangente nu point M à la courbe ( r û'), on a les relations suivantes :

Comme on tire de l'équation (î)

(3) dr = — dr',

on voit que l'équation (a) se réduit à

(.j) rdO = — r'dO' (*) :

c’est l’équation différentielle de la courbe cherchée.

Une fois qu’on connaît ren fonction de r', on a pour le rapport des vitesses

Problème VI. — Réciproquement, le rapport variable des vitesses étant donné. : trouver les deux courbes (C) et (C'), le glissement devant toujours être nul.

La solution analytique de ce problème inverse est fournie

dû

dry

dr

(•) On vérifie que le mouvement est bien un roulement simple; en effet :

tis = r'dO' = y/c// r'* rf ù'* =

II résulte de celte équation que les arcs parcourus simultanément par le point do contact sur les deux courbes sont égaux.

ClUriTRE IV. COMPOSITION DES MOUVEMENTS d'l'N SOLIDE. 1^7

par les équations qui résolvent le problème précédent; à savoir (i), ( 4 ) et (5).

Généralement, le mouvement d’un des arbres est uniforme, et on se donne la loi du mouvement qu'on veut imprimer à l'autre : on connaît alors m en fonction du temps, ou de l’angle 0 qui varie proportionnellement au temps.

Scolie. — Quand on a trouvé deux courbes convenables, on peut, sans cesser de satisfaire à la question, déformer ces deux courbes de la manière suivante.

On réduira tous les angles 0 et 0' dans un rapport constant quelconque, rapport qui doit être le même pour les deux courbes conjuguées; puis, sur chacun des rayons correspondant aux angles réduits, on portera des longueurs égales à celles des rayons vecteurs primitifs : les courbes ainsi obtenues répondront à toutes les conditions du problème.

Problème VII. — l'n corps tourne autour d’un axe G' {fi g- 1 1 9 J : trouver son mouvement par rapport à un autre corps animé d'un mouvement de translation dans le sens de la fèche ( f ).

Solution. — Ou passe des problèmes précédents à celui-ci en supposant que le centre C s’éloigne à l’infini, sur la perpendiculaire à la direction delà translation.

Pour résoudre le même problème directement, il faut composer la rotation (G') avec une translation contraire à la translation donnée. Remplaçons cette translation par un couple de rotations et prenons l’une des rotations du couple égale et contraire à la rotation (C'), ce qui est toujours possible : le mouvement composé se trouvera simplement représenté par l’autre rotation du couple, laquelle est égale et parallèle à la rotation (C'), et dirigée dans le même sens.

La position À de l’axe de cette rotation est déterminée par l’équation

v étant la vitesse de la translation donnée (*).

(*) I-o point A n’est outre chose que le point du corps tournant, dont Jj

vitesse est précisément égale ù la vitesse **, et dirigée dans le même sens. Par suite la vitesse relative de cc point est nulle.

l53 l’REMIÈRE SECTION. — Cl.NÉMATIQlE PC RE.

On obtient donc le mouvement relatif en transportant la rotation (C') parallèlement à elle-même, en un certain point de la perpendiculaire abaissée du centre G' sur la direction de la vitesse de la translation.

Problème VIII. — Deux corps tournent uniformément autour de deux axes non situés dans te même plan : trouver te mouvement relatif.

Solution. — Soient [fg- 120) Pp, Qq les axes des deux rotations données. Menons la plus courte distance PQ de ces deux droites, et soit h la longueur de cette plus courte distance.

Pour avoir le mouvement relatif du deuxième corps, il faut composer sa rotation Qq avec une rotation P p,, égale et contraire à la rotation de l’autre solide.

Introduisons deux rotations contraires Qp„ Qp„ égales à p en valeur absolue : nous n’aurons rien changé au mouvement relatif cherché. Or les rotations q et p, se composent en une seule r; et l’on a en outre le couple (p,, p,), lequel équivaut à une translation QA perpendiculaire au plan P Qp„

Le mouvement relatif se compose de la rotation Qr et de la translation QA, dont la vitesse est représentée par le produit ph.

Problème IX. — Les choses étant comme dans le problème précédent, déterminer l’axe de rotation glissant du mouvement relatif.

Solution. — Décomposer la translation QA (Jig. 121) en deux, dont l’une QB soit dirigée suivant l’axe de la rotation résultante, l’autre QC étant perpendiculaire à cet axe : on a

QB = ph sin p, r,

QC = phcosp, r.

Remplaçons QC par un couple dont l’une des rotations soit égale et contraire à r : l’autre s’effectuera autour d’un axe contenu dans le plan PQr. Soit OR ce nouvel axe, et z le bras de levier du couple, c’est-à-dire la distance QO, on aura

i z = ph cos p, r.