CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS D’US SOUDE. T

sur une même ligne droite, points animés à un instant donné d'une vitesse nulle;

a" Que les vitesses de tous les autres points du solide sont les mêmes que si le corps tournait effectivement autour de celle droite dont la vitesse est nulle, droite qui porte le nom d’ave instantané ou spontané de rotation ;

3“ Enfin que ces vitesses sont encore les mêmes que si le corps tournait simultanément autour de trois oxes rectangulaires quelconques ( menés par le point fixe ), avec des vitesses angulaires représentées par les projections sur ces trois axes de la vitesse angulaire autour de Taxe instantané.

11 suffit, pour établir ces propositions, de différenlicr les formules ordinaires de la transformation des coordonnées, en appliquant ces formules au passage d’un système d’axes liés au corps à un système fixe dans l’espace. Nous supposerons ces deux systèmes rectangulaires.

Prenons pour origine le point fixe; soient OX,, OY,, 02,, [fg. 122 ) trois axes rectangulaires immobiles par rapport au corps, et OX, OY, OZ, trois autres axes fixes dans l’espace.

Un point du solide est déterminé à un instant quelconque par ses coordonnées x,,y„ z,, prises par rapport aux axes mobiles, et par les positions de ces axes au même instant : positions qu’on définit en donnant les neuf cosinus des angles formés par les axes mobiles avec les axes fixes.

Si l'on pose, pour abréger,

a = cos X,, X,

n" — cos Z, , X ,

b = cos X,, Y,

b" = cos Z, , Y,

c = cos X, , Z,

tf = Y„ Z,

c" = cos Z, , Z ( *

on a les expressions suivantes pour les coordonnées du point (.r,, y„ z,), considérées par rapport aux axes OX, OY, OZ ;

x — ax , -t- a' y, -f ■ a" z,, y —— bx, b' y, -+- b":,,

z = ex, -f- c'y, -4- e*S|.

(*) Ces neuf cosinus sont les mêmes à chaque instant pour tous les points du corps; mais ils varient pendant le niouvenicul. Ce sont donc des fonctions du temps, et du temps seulement.

Ces cosinus satisfont aux relations que l’on commit.

lGa PREMIÈRE SECTION. — EINC.11.U 1QIK PERE.

Différentions ces équations, en considérant x, , y,, z, comme des constantes; nous obtiendrons les composantes de la vitesse du même point, projetée sur les trois axes fixes ;

da dd

da"

Tt +r '~dt+ : '

dt ’

db db •

db"

~3t =Vjr = x '

Tt+ r '~di + z '

dt'

de de'

de"

dt ~ v ‘ ~ x ‘

Tt +r '~dt + z '

dt '

Cela posé, je dis en premier lieu que le mouvement du corps est une rotation autour d’un axe que nous allons déterminer.

Cherchons les projections v, t , ty, , v,, de la vitesse de notre point sur les axes mobiles.

On obtient ty en multipliant respectivement v„ e, par a, b, c, et ajoutant; l'expression à laquelle on arrive présente ceci de remarquable : qu’elle ne contient pas de terme en x,. On a en effet

da . db de d a dt +b Tt +c dt == dl

quantité identiquement nulle, puisque la somme n’-4- c’ est égale à l’unité.

Il suit de là que l’expression de e,, se compose uniquement de termes multipliés par y, ou par z, : nous la mettrons sous la forme

qzt — rj-,,

les coefficients q et r satisfaisant aux relations da" . db" de"

da' . db'

■ a —r — h b -j— ■ de dt

l lsL

Si on calcule v T , par le même procédé, on trouve naturellement zéro pour le coefficient de y,; de plus, il arrive que !e coefficient de x,

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