V >, — PX

les coefficients p et q étant les mêmes que ceux qui figurent dans les expressions de et ty,.

Nous verrons tout à l'heure la signification des quantités P> ?> r (*)> qui jouent le principal rôle dans cette théorie, et qui jusqu’ici représentent simplement, pour abréger l’écriture, certaines fonctions des neuf cosinus et de leurs dérivées.

Axe instantané de rotation. — Considérons les expressions que nous venons de trouver, pour les vitesses projetées sur les axes mobiles '

•’x, = qz, — ry„

*>, = rx, — p:„

v. x ~py,—qxr,

(*) On peut dé* ii présent remarquer, avec M. Duhamel, que les produit! pth, r/dt, ritr, représentent respectivement les angles formés par chacun des axes mobiles avec sa position infiniment voisine. Si l'on prend pour nxes fixes les positions initiales des axes mobiles, on trouve, pour déterminer la position du ces axes au bout du temps dt, les cosinus suivants :

a = I , a' — — rdt, a." = qdt,

fi =rilt, fi' = l , fi’ = — pdt,

7 = — jdl, •/ = pdt, ■/ = I.

on annule à la fois ces trois quantités, en posant

£1 — -Zi — fl.

Or, ces équations sont celles d’une ligne droite, dont tous les points ont à l’instant considéré une vitesse nulle : ainsi se trouve démontrée la première partie de ce que nous nous proposions d’établir.

La droite immobile passe par l’origine; elle fait avec les axes mobiles des angles dont les cosinus ont pour expressions :

en prenant

Cela posé, faisons la somme v* -h «ÿ -f- *£ ( des carrés des trois composantes de la vitesse d'un point du système, il vient, en vertu d’une formule algébrique bien connue :

v* = ip' -+- ?’ »•’ ) ( -+- r’ + 2 î ) — ( p x > + qy> ■+• )».

Désignons par p la distance du point [x„ y„ a,) à l’origine, par 12 l’angle de ce rayon vecteur avec la droite (p, q, r); c’est-à-dire faisons

*?+.TÎ +

px, -+- qr, -I- rs , „

pu

il vient

e 1 = w’p’sin’ 12,

ou, en désignant par A la distance du point considéré à la droite immobile :

La vitesse v est donc proportionnelle à la distance A. De plus, cette même vitesse est perpendiculaire au plan de la droite (p, q, r ) et du rayon vecteur: c’est ce qui résulte des équations

P l ’x, + q v /t + rv H = o;

donc les vitesses de tous les points du corps sont bien les mêmes que si ce corps tournait effectivement autour de la