FORCES ET LES EFFETS DES FORCES

De l'espace et du temps.

: 43. L 'espace est l’étendue indéfinie, sans bornes, qui

contient tous les corps, et dont chacun occupe une partie plus ou moins considérable qu'on nomme son volume , son étendue et quelquefois sa capacité.

t. On nomme souvent aussi espace , le volume, l'aire superficielle d’un corps, ou la distance, l'intervalle compris entre deux corps ; mais alors on considère ces étendues comme occupant une certaine portion de l’espace, ce qui ne présente point d'équivoque.

44* Temps, mesure du temps. On conçoit un temps plus long on plus court qu’un temps donné ; le temps est donc une grandeur ; il est donc susceptible d'ètre mesuré comme les lignes, lesaircs et les volumes. — Pour mesurer un temps quelconque, il ne s'agit que d'obtenir des temps égaux, et qui se succèdent sans discontinuité. En tombant d’une centaine hauteur sur un plan de niveau, un même corps emploie toujours le même temps; il en est de même pour des corps égaux tombant de la même hauteur. Supposez qu’aussitôt que le corps est arrivé sur le plan, un antre corps, égal , soit lâché du même point, et successivement

• PRÉLIMINAIRES. ' ■ i v - C

lin troisième, un quatrième, etc., vous aurez une suite de temps égaux , et leur somme sera le temps total. En représentant par i , ou prenant pour unité l'un des temps élémentaires , vous pourrez exprimer un temps quelconque au moyen d’un nombre; en y joignant le nom du temps élémentaire, vous aurez l’expressioncomplète du temps.

La clepsydre des anciens , nommée ordinairement sablier , offre un moyen plus commode d'obtenir des temps égaux ou d’égale durée, par l'écoulement de l’eau ou de sable fin qui se vide successivement d’un vase dans un autre, (f^oy. Pl. I, Fig. 8.) — Les pendules, les horloges et les montres, aujourd’hui en usage , sont des instrumens éneore plus commodes et sur tout plus précis.

/j 5. Division, représentation géométrique du temps. La fraction la plus petite du temps que donnent les pendules et les montres ordinaires, est la seconde: 6o secondes qu’on écrit ainsi 6o", font une minute ou P; 6o' font une Heure ou 24 fc font î jour; enfin l’année complète, ou le temps compris entre deux retours successifs du soleil et de la terre aux mêmes positions relatives , est de 365', 5 h , 48', 5o"cnviron ou 3i 556 y3o". — M. Breguet est parvenu à faire des montres qui ne varient pas d’une demi-seconde dans une année ; certaines montres, appelées chronomètres , donnent jusqu'aux dixièmes de seconde.

Ainsi nous pouvons compter le nombre d’heures, de minutes , de secondes, etc., écoulées entre deux instans quelconques , avec autant de précision et de facilité que nous comptons le nombre de mètres , de décimètres, etc. , contenus dans une longueur ou distance. — Nous pouvons même représenter les temps par des lignes en portant , sur une droite et à partir d’un même point, autant de distances égales qu'il y a d’unités de temps dans chacun d’eux. Voyez PLI, Fig. y, l’exemple d’une échelle AB dont les parties égales représenteraient des secondes.

Repos , mouvement , vitesse , inertie.

46. Un corps est en repos quand il reste nu même lieu de l’espace; il n’est peut-être dans l’univers aucun corps qui soit absolument en repos; et, comme tout démontre que notre globe tourne saus cesse sur lui-même et au-

tour du soleil , rien u’y possède un repos absolu. — Le repos n’est donc que relatif ; un corps est en repos , pour nous , quand il conserve la même position par rapport à ceux que nous regardons comme Gxes. Un corps qui resle à la même place , dans un bateau, est en repos par rapport à ce bateau , quoiqu’il soit réellement en mouvement par rapport aux rives.

Un corps est en mouvement quand il occupe successivement diverses positions dans l’espace; le mouvement n’est que relatif comme le repos. Un corps est en mouvement, pour nous, quand il change de place par rapport à ceux que nous considérons comme (ixes.

Le mouvement est essentiellement continu, c’est-à-dire qu’un corps ne peut arriver d’une position à une autre sans avoir passé par une série de positions intermédiaires ; ainsi le mouvement d’un point décrit une ligne nécessairement continue, Quand on parle du chemin décrit par un corps, on entend essentiellement celui d’un certain point lié à ce corps, et dont la position indique celle dn corps: par exemple, pour une boule sphérique, pour un cube, pour un cylindre, ce sera le centre de figure , etc.

47 • Distinction des mouvemens , vitesse. Le mouvement d’un point est dit rectiligne ou curviligne , selon que le chemin qu’ih décrit est une droite ou une courbe. Quand le mouvement est curviligne , on peut le considérer comme ayant lieu sur un polygone rectiligne dont les côtés, extrêmement petits, se confondraient sensiblement avec la courbe. Les côtés successivement parcourus et prolongés indéfiniment, qui sont réellement des tangentes a la courbe, indiquent les directions correspondantes du mouvement.

Coucevons que le temps total , employé par un point à parvenir d’une position à une autre , soit divisé çn un grand nombre de parties égales et extrêmement petites, par exemple, en millième de secondes. Cela posé, si les portions de chemin , successivement décrites dans ces diverses parties du temps, sont égales entre elles, le mouvement sera régulier ou uniforme. S’il en est autrement , le mouvement sera varié. 11 sera accéléré si les petits chemins successivement décrits sont de plus en plus grands , retardé si , au contraire , ces ch'emins sont de plus en plus courts. — L’aiguille des minutes d’une horloge , le cours

PRÉLIMINAIRES. a 9

régulier des eaux , etc. , offrent l’exemple de mouvemens sensiblement uniformes , parce ^ue des espaces égaux sont décrits à chaque instant dans des temps égaux 5 le mouvement de rotation de la terre autour de son axe, qui s’opère en un jour, est aussi dans ce cas. — Un corps qui tombe verticalement offre l’exemple du mouvement accéléré ; un corps qui s’élève aussi verticalement, celui du mouvement retardé. Dans le premier cas , le corps part avec un mouvement nul ; dans le second , son mouvement finit par s’éteindre.

Dans tous ces cas , la rapidité ou la lenteur du mouvement est indiquée , pour chacun des instans égaux et très-petits, par la longueur, plus ou moins grande, de l’espace ou du chemin décrit pendant cet instant : cette longueur mesure l 'intensité de -la vitesse à ce même instant. — Ainsi la vitesse est constante dans le mouvement uniforme . elle est accélérée ou retardée dans le mouvement accéléré ou retardé.

48. Mouvement , vitesse uniformes. Dans ce mouvement, le plus simple de tous, les petits espaces, parcourus dans les instans successifs , étant égaux , il est clair que le chemin décrit dans un temps quelconque, se composera d’autant de parties égales d’espace qu'il y a de parties égales dans ce temps. — Ainsi , dans le mouvement uniforme , des espaces égaux sont décrits dans des temps égaux quelle que soit leur petitesse ou leur grandeur ; les espaces croissent comme les temps , dans le rapport des temps , ou sont proportionnels aux temps employés à les décrire ; enfin le rapport de chaque espace au temps employé à le décrire reste constant. Toutes ces expressions désignent la même chose d’après les définitions et propriétés connues des proportions. — E étant le nombre des unités do chemin parcourues pendant le nombre d’unités de temps T , e celui des unités de chemin parcourues pendant le temps t; on a , selon ce qui précède,

EleüTit ou ElTr.e’.t ou

Puisque, dans le mouvement uniforme, les espaces sont proportionnels aux temps employés à' les décrire, la vitesse peut être indiquée parla longueur de l'espace décrit durant un temps quelconque, ou pour la simplicité, pendant l’unité

3o AifAAiUytl^ litLItOXiaLLLb*

de temps. Ainsi l’on dit! la .vitesse de tel corps est ô" 2“ par seconde, ou de 60 fois 2 m = >20“ par minute, ou de o“,2 par dixième de seconde, etc.; ce qui revient au même, puisqu'ici le rapport de l’espace au temps ne change pas. — Quand on sait qu’un mobile a décrit uniformément un certain espace dans un certain nombre d’unités de temps, de secondes- par exemple, on trouve la vitesse ou le chemin dans l’unité de temps, en partageant l'espace en autant de parties égales qu’il y a d’unités de temps, ou en divisant l’espace par le temps. — Exemple : l’espace décrit uniformément pendant 1' et 5 " ou 65" étant de 260“, la vitesse

par seconde, ou l’espace décrit pendant 1", est de -^—=4“.

Réciproquement, si l’on multiplie la vitesse par un certain nombre d’unités de temps, le produit donnera l’espace décrit uniformément pendant ce temps.

49 * Mouvement périodique constant. Il arrive quelquefois, dans la pratique, que la vitesse n’est pas rigoureusement constante ou la même à chaque instant , quoique les espaces décrits au bout de certains temps égaux, soient égaux. Tels sont en particulier tous les mouvemens oscillatoires, alternatifs ou de va et vient, dont les diverses périodes ou retours s’exécutent régulièrement et dans le même temps, bien que la vitesse varie continuellement dans l’intervalle de chaque période. Tel est encore le mouvement d’une voilure, d’un piéton qui décrivent constamment le même chemin dans chaque heure , chaque quart d’heure, et dont néanmoins le mouvement, tantôt accéléré, tantôt retardé, varie à chaque instant. Tel est enfin le mouvement de la terre autour du soleil, qui, tantôt plus lent et tantôt plus rapide, redevient cependant le même au bout de chaque année ou période.

• De semblables mouvemens sont dits périodiques , et on les remplace, pour la simplicité, par des mouvemens entièrement uniformes qui s’accompliraient dans le même temps. La vitesse constante qui résulte de cette considération est une vitesse moyenne ; il ne faut pas la confondre avec la vitesse effective qui est variable à chaque instant : c’est ainsi que les astronomes ont substitué au mouvement réel ou vrai de la terre, qui n’est que périodique, un mouvement moyen, uniforme, bien moins compliqué, et qui

PRÉLIMINAIRES. ,3l

s’accomplit, comme l’autre, dans le cours d'une année; delà aussi, la distinction du jour vrai, du temps vrai et du jour moyen , du temps moyen , dont les premiers sont donnés par les cadrans solaires et les autres par les bonnes horloges.

50 . Représentation géométrique des lois du mouvement. Supposons que nous ayons une table à deux colonnes ou espèce de Barème, qui, pour un certain mouvement, donne les espaces ou chemins décrits au bout de chaque temps écoulé; prenons une certaine longueur ( r miil ., i cent., etc.), pour représenter l'unité de temps, la seconde par exemple, et une autre longueur (i cent., i décim. , etc , ) pour représenter l’unité de chemin , le mètre par exemple. Cela posé, traçons une drpilc indéfinie OB (PI f, Fig. 10 ), et portons sur cette droite (45), à partir d'un même point O, une distance O d représentant l'un des temps indiqués à la table; sur la perpendiculaire en d , à la droite OB, portons une distance d'd représentant, d’après la table, le chemin décrit au bout du temps Od', faisons de même pour les autres temps et les chemius correspondans , on obtiendra une suite

de points a', lé, d, qui, réunis deux à deux par des

droites, donneront le polygone a'b'c' Ce polygone finira

par se confondre avec une courbe véritable, si l'on multiplie convenablement les points, ou si l’on prend, dans la table, des temps sutlisamment rapprochés les uns des autres. U est clair aussi qu’au moyen du tracé de la courbe, on pourra obtenir, comme par la table, le chemin décrit pour chaque temps donnés, de sorte que, cette courbe en tiendra lieu pour représenter la loi, la relation entre les temps et les chemins, quel que soit le mouvement, j

5 1 . j^e marque générale. Nous rappellerons que les

lignes Ou, (Jb se nomment, en. général les abscisses

de la courbe, O l 'origine et OB l’axe de ces abscisses; que pareillement les perpendiculaires cia , b'b, de,.... sont nommées les ordonnées de la courbe , et l'ensemble de ces ordonnées et abscisses, qniée correspondent respectivement, les coordonnées de cette même courbe ; qu’enfin , l’intervalle cd entre deux ordonnées consécutives telles que de, d'd, ou la différence de leurs abscisses, se nomme quelquefois Y accroissement de ces abscisses, comme la différence dd" entre ces mêmes ordonnées consecutiv.es, se nomme aussi

3a MÉCANIQUE INOTJSTltlELLE.

leur accroissement, ou leur décroissement , selon que ces ordonnées vont en augmentant ou en diminuant, à mesure qu’elles s’éloignent de l’origine. — Quand les points consécutifs a', V, d,.... sont tellement rapprochés entre eux, que les droites a'V, Vd..., qui les unissent deux, à deux, peuvent être censées se confondre avec les arcs correspondans de la courbe, on dit que ce sont des élèmens de cette courbe; et, en général, les parties extrêmement petites d’une grandeur se nomment ses parties élémentaires, ses élémens.

52. Représentation du mouvement uniforme. Dans ce mouvement, les espaces croissent comme les temps (48); 'ainsi les ordonnées a'a, b'b,dc.... (Pl.I, Fig. 11), y sont

proportionnelles aux abscisses O a, O b. Oc...., et partant

telles que la ligne a'b'd..., qui donne la loi du mouvement, est une droite ( Voy., enGéométrie, la théorie des lignes proportionnelles). — Supposez qu’on partage l’axe OB des abscisses ou des temps, en un grand nombre de parties égales très-petites ; puis qu’après avoir élevé les ordonnées correspondantes, on mène, par l’extrémité de chaque ordonnée, des parallèles à l’axe des abscisses, on formera une suite de petits triangles égaux et rectangles, tels que dd'd” par exemple, semblables aux triangles O an', Ocbl. ,.,et dont les côtés seront proportionnels à ceux de ces derniers. Observant donc que les hauteursrM".... de ces petits triangles mesurent les espaces décrits pendant les temps élémentaires correspondans dd", ou cd, on pourra répéter, au moyen de la figure, tout ce qui a été dit ci - dessus sur les lois du mouvement uniforme. Ainsi la vitesse, c’est-àdire (47) l’espace décrit dans chacun des inslans égaux ab , * bc ,cd...... est constante, et peut être donnée par l’espace

quelconque de, f par exemple , qui serait décrit dans un certain temps Oe, pris pour unité,

53 . Représentation des mouvemens variés. Dans ces mouvemens , les espaces n’étaçt plus proportionnels aux temps, la ligne a'Ud.... (PI. I, Fig. 1 2) n’est plus une droite : les petits espaces VI/, dcd..., décrits dans les temps élémentaires ab , bc sont inégaux; par conséquent la vi-

tesse (47) varie à chaque instant. Pour le cas de la figure, le mouvement et la vitesse sont accélérés , parce que les espaces b'I/, de*..., décrits dans des instans égaux, vont sans

cesse en croissant. Supposons qu’à l'instant qui répond au point d, le mouvement cesse d’être accéléré , et se continue uniformément avec la vitesse qui a lieu en cet instant, le reste du mouvement, au lieu d’être représenté par une courbe, le sera parla droite indéfinie dm, prolongement de c'd' •, et, puisqu’ à l'instant que l'on considère, le mobile parcourait l'espace d'd" dans le temps élémentairec'<i ,, ouce?, on voit qu’en vertu du mouvement censé devenu uuiforme,. il parcourrait, dans l’unité de temps, un espace qu’on obtiendra en cherchant l’ordonnée mn qui , pour la droite dm , correspond à l’abscisse dn qui représente cette unité de temps.

L’espace mn, d’après ce que nous avons vu (48 et 5a), n’est autre chose que la vitesse de ce mouvement uniforme; or, si nous supposons que l’élément de temps cd est assez petit pour que la corde dd' puisse être censée confondue avec la courbe, la droite indéfinie dd'm deviendra préci» sèment la tangente en d à cette courbe : cette tangente se construira, dans certains cas, géométriquement , c’està-dire rigoureusement, et, dans d’autres, à vue ou par des méthodes de tâtonnement; or son inclinaison sur la parallèle dn à l’axe des abscisses, donnera, comme nous venons de le dire, la vitesse ou le chemin mn qui serait décrit, dans l’unité de temps dn, si le mouvement devenait tout-à-coup uniforme. On voit par là aussi que, si l’on connaissait exactement , en nombre et pour chaque instant très petit cd ou dd", l’espace correspondant d'd ", on aurait la vitesse dont il s’agit au moyen de la proportion dd"‘.d'd" '.dn ou 1 \mn\ ....... . d'd" d'd "

d oui on tirerait pour cette vitesse, mn — X 1= — r— r ’ dd" cd

Si, au lieu d’être accéléré, comme on vient de le supposer, le mouvement était retardé , la loi qui lie les temps aux espaces, serait représentée par une courbe a'df ( PI. I, Fig. 1 5), tournant sa concavité vers l’axe OB des temps ; du reste , les raisonnemens et les opérations pour trouver la vitesse, seraient absolument les mêmes. Si le mouvement d’abord retardé, s’accélérait ensuite, la loi du mouvement serait évidemment représentée par une courbe telle que l’ exprimera figure i3, dont la première partie clf tournerait sa concavité du côté de l’axe OB, et la seconde fl! du côté contraire; c’est-à-dire que cette courbe aurait une inflexion en j 1 , au point qui correspond au changement (lu mouvement. b

Enfin on voit que le mouvement périodique constant , tel qu’il a été défini ci dessus (49), sera représenté par une courbe sinueuse ABC (PI. I, Fig. 14), dont les ondu-

lations se font régulièrement autour d’une droite a'b'dd 1 ..., qui en représente le mouvement uniforme moyen.

54 - Observation. Il est sans doute inutile de remarquer que les courbes précédentes donnant uniquement la loi qui lie les espaces aux temps, ne doivent pas être confondues avec les ligues ou chemins mêmes parcourus par les mobiles : dans ces dernières lignes, les tangentes en cha que point donnent simplement (47) la direction du mouvement ou de la vitesse pour l'instant correspondant; et, selon ce qui précède ( 53 ) , c’est le petit espace ou l’élément ■de chemin décrit sur la courbe du mobile, à cet instant, qui, étant divisé par le temps élémentaire employé à le décrire, donne pour quotient ce que nous avons nommé la vitesse.

55 . Inertie de la matière. La matière est inanimée ou inerte, elle ne peut se donner du mouvement par elle-même, ni changer celui qu’elle a reçu — Un corps en repos y persévère, à moins qu’une cause telle que la pesanteur, un moteur animé, ne l’en fasse sortir. — S’il a été mis en mouvement et dans une certaine direction ab (PI. I, Fig. i 5 ), il continuera à se mouvoir, de b eu c, surle prolongement de la droite ab ; car, arrivé en A, il n’y a pas de raison pour -qu’il se dirige au-dessus ou au-dessous de ab, à moins qu’une cause ne le fasse dévier de sa route. Pareillement) s’il a une certaine vitesse de a en b , il conservera cette vitesse tant qu’une cause étrangère ne viendra pas ralentir ou accélérer son mouvement, celte vitesse. — Si nous voyons la Lille lancée sur un billard ralentir sans cesse de vitesse, cela tient à la résistance du tapis et de l’air ; si nous voyons uncorps tomber verticalement quand on l’abandonne, et accélérer même de mouvement, cela tient à l’action delà pesanteur qui agit continuellement sur ce corps comme s'il était au repos : c’est tellement vèai , qu’en diminuant les obstacles qui s'opposent au mouvement de la bille , elle y persévère plus long-temps, et qu’en lançant le corps de bas en haut, sa vitesse diminue au’ lieu d’augmenter. Enfin, si la direction du mouvement (47) d’une bombe ou d'une pierre lancée obliquement, change à chaque instant, ou si

elles décrivent des lignes courbes, c’est encore parce que la pesanteur tend sans cesse à ramener cette bombe ou cette pierre vers la terre.

Loi de l'inertie. Il résulte de là qu’en vertu de l’inertie , un corps qui se meut actuellement avec une certaine vitesse et dans une certaine direction, conserverait éternellement cette direction et cette vitesse, et que le mouvement serait rigoureusement rectiligne et uniforme , si rien ne venait à le déranger; qu’ enfin si , par une cause quelconque , le corps est forcé de décrire une ligue courbe ABC (PI. I , Fig. 16), cette même inertie (la cause venant tout-à-coup à cesser, à un certain instant,) lui ferait décrire la tangente BT au point correspondant B de la courbe, et conserver la vitesse qu'il possédait en ce point.

Des forces , de leur mesure et de leur représentation.