Définition. On appelle en général forces, les causes

3 ni modifient actuellement l’état d’un corps , ou qui le mollieraient si d’autres forces ne venaient empêcher ou dè~ truire l'effet des premières: Y attraction , la pesanteur (27 et suiv.), la résistance de l’air et des fluides, le frottement , le calorique considéré comme cause de la répulsion (28), sont de véritables forces, puisqu’ils peuvent changer l’état de repos ou de mouvement des corps. Nous ajoutons ou qui le modifieraient , etc. ; car un corps posé sur une table de niveau, par exemple, ou suspendu verticalement par uu fil , ne paraît pas actuellement changer d'état; mais il en a changé d’abord , et la pesanteur le presse sans cesse contre la table ou lui fait tirer le fil; elle le ferait mouvoir enfin si la résistance de la table ou du fil ne s’opposaient continuellement à son action.

57. Effets des forces. Tes forces produisent, comme on voit, des effets très- variés , suivant les circonstances; tantôt elles laissent les corps en repos , en se détruisant constamment les unes les autres , tantôt elles en changent la forme, elles les rompent, tantôt elles leur impriment du mouvement, elles accélèreut ou retardent celui qu’ils possèdent , ou en changent la direction , tantôt enfin ces cliangemens s’opèrent avec lenteur, d’une manière imperceptible, tantôt ils s’opèrent au contraire avec rapidité, brusquement; mais

dans le fait, c’est toujours dans un temps fini et par degrés continus. — Si nous voyons quelquefois des corps cliangpr brusquement d’état, de direction ou d’intensité de mouvement, c'est que la force, alors très-grande, produit son effet dans un temps dont la durée est seulement inappréciable à nos moyens de mesurer le temps. — Si la Salle d’un fusil traverse un carreau de verre, une porte, une feuille de papier librement suspendue, sans leur imprimer un mouvement sensible, cela prouve seulement qu’elle opère cet effet avec une rapidité telle que les parties enlevées n’ont pas le temps de propager leur mouvement dans toute l'étendue des corps. — Si, d’après l’expérience qui en a été faite autrefois à Brest, un canon suspendu verticalement à l’extrémité d’une corde, porte le boulet au même but queis’il était sur son affût, cela prouve seulement que la pièce n’avait point dévié, d’une manière sensible avant l'instant où le boulet est sorti de l’ame, et qu’il lui faut un temps bien plus considérable qu'à ce boulet, pour acquérir une vitesse ou un mouvement qu’on puisse apprécier ou mesurer. — Nous examinerons , dans ce qui suit, comment le mouvement se propage, de proche en proche et d’une manière continue, dans toute l’étendue des corps, et comment il se fait que ceux qui ont le plus de poids et de densité, sont aussi ceux qui, dans un temps donné, reçoivent le moins de vitesse par l’effet d’une même force dont l'action est plus ou moins prolongée.

58. Dénomination des forces. Les forces qui donnent le mouvement aux corps s’appellent en général forces motrices : elles sont accélératrices quand elles accélèrent

à chaque instant le mouvement, elles sont retardatrices quand elles le retardent. Souvent aussi on nomme puis sances les forces qui agissent pour favoriser ou augmenter le mouvement, et résistances celles qui, au contraire, tendent à l’empêcher ou à le diminuer: d’après cette définition, les forces accélératrices sont des puissances véritables, et les forces retardatrices des résistances. En général, on donne le nom de puissance aux forces qu’on regarde comme capables de produire un certain effet, et celui de résistance aux forces qui s’opposent à l’accomplissement de cet effet.

5q. Nature et comparaison des forces. Nous avons, par-

nous- mêmes, une idée exacte du mode d’agir de la force. Quand nous poussons ou tirons un corps, qu’il soit libre ou qu’il ne le soit pas, nous éprouvons une sensation qui se nomme pression, traction, ou en général effort: cet effort est absolument analogue à celui que nous exerçons eu soutenant un poids. Ainsi les forces sont pour nous de véritables pressions, comparables à ce qu’on nomme le poids des corps. La pression peut être plus forte ou plus faible; c’est donc une grandeur, et, pour la mesurer, la représenter par des nombres , il ne s’agit que de choisir une pression quelconque pour unité ; ce qui ne sera pas difficile si nous pouvons trouver des pressions égales, comme nous avons trouvé des temps égaux (44).

Deux forces sont égales quand, substituées l’une à l’autre et dans les mêmes circonstances , elles produisent le même effet ou en détruisent une même troisième qui leur est directement opposée.

Suspendons (PI. I, Fig. 17) un corps P à l’extrémité d’un fil AB; en vertu de son poids 1 , ce fil prendra la direction de Y aplomb ou de la verticale AB ( 3 o) , et il faudra, en A, suivant AB, un certain effort pour le soutenir contre l'action de la pesanteur. Si deux forces, ainsi appliquées successivement à ce fil et de la même manière , maintiennent le corps P en repos, ces forces seront nécessairement égales entre elles et au poids du corps : une force double, triple , supportera deux , trois corps semblables au premier, suspendus les uns au-dessous des autres, par le même fil. Prenant donc pour unité l’une de ces forces, par exemple celle qui supporte un centimètre cube d’eau pure , ou le poids d’un gramme ( 34 ) , une force quelconque sera exprimée par le nombre qui indique combien de grammes elle pourra supporter: c’est au gramme, ou plutôt au kilogramme , que désormais nous comparerons toutes les forces de pression, de traction , de tension , de compression , etc.

60. Mesure des forces par les poids. Nous savons que les poids se mesurent ou se comparent entre eux par le moyen de balances ; d’après le caractère général ci-dessus auquel on reconnaît que deux forces sont égales , il devient facile de trouver le poids d’un corps, quelles que soient la justesse et la composition d’un tel instrument. Il suffit , pour cela, de s’assurer que ce corps, substitué dans les

mêmes circonstances , à un certain nombre de poifls étalons, produit le même effet sensible sur la balance, pour afllrmer que le poids du corps est égal à celui des étalons. Sous co rapport donc, tous les appareils quelconques peuvent être employés à mesurcrle poids des corps, et par suite les forces.

Les ressorts, entre autres (17 et suiv.), quand ils sont susceptibles de conserver long temps leur élasticité, peuvent servir et servent en effet à cet usage dans la pratique : tels sont plus particulièrement le peson à ressort, du commerce (Fig. 18), et le dynamomètre de Régnier (Fig. iq), instrument plus compliqué et qui sert à mesurer des efforts de pression ou de traction supérieurs à roo kilog. Dans l’un cl dans l’autre, la grandeur de la flexion du ressort est indiquée par le mouvement d’une aiguille ou d'une lige qui parcourt les différentes divisions d’un limbe; ces divisious ayant été obtenues, lors de la fabrication, en suspendant directement des poids étalons à l’instrument, fournissent le moyen de mesurer ensuite le nombre des kilogrammes d'un effort quelconque. Un se servant des balances à ressort, il ne faudra pas oublier de vérifier préalablement l’exactitude de leurs divisions au moyen de poids étalonnés, et de changer la valeur de la graduation, si l’élasticité se trouvait altérée depuis l'instant de la fabrication. Du reste , nous u’insisterons pas sur la description de ces instrumens, parce que leur emploi dans les arts et leur intelligence n’ont rien de diflicile, et qu'il nous suffit ici de savoir qu’il existe des moyens directs de mesurer les forces par des poids.

Gl. Observations. En proposant, comme nous venons de le faire, de mesurer les forces par des poids, nous sup-

? osons essentiellement que l’effort pour soutenir, contre action delà pesanteur, un corps quelconque, par exemple, un litre ou décimètre cube d’eau pure, soit constamment le même dans tous les temps et pour tous les lieux , et que par conséquent le kilogramme , poids de ce volume d’eau, soit une grandeur absolue, invariable. S’il n’en était pas ainsi , les poids ne pourraieutaucuncment nous servir pour mesurer les forces, et il faudrait recourir à quelqu’autre unité moins sujette à changer. Or on sait, par expérience, que l'action de la pesanteur n’a pas varié avec le temps, du moins d’une manière sensible, et l’on peut croire qu’à moius d'événemeus extraordinaires, elle ne changera pas

non plus dans l'avenir. A la vérité, l'action de la pesanteur diminue à mesure qu’on s'élève au-dessus de la surface de la terre; elle diminue pareillement à mesure qu’on s’éloigne des pôles pour s’approcher de l'équateur; de sorte que le même corps qui , dans notre pays et à la surface des plaines, fait, par son poids, fléchir un ressort jusqu’à un certain degré, le ferait fléchir un peu moins lorsqu’on le transporterait à l'équateur ou sur le sommet d’une montagne élevée; mais, pour l’étendue d’un pays comme la France, et pour des montagnes telles qu'il s’y en rencontre, la diminution du poids est à peine sensible: par exemple, pour une élévation verticale d'une lieue au dessus des plaines, elle serait au plus de du poids mesuré au niveau de ces plaines.

11 suit de la donc que nous pouvons regarder le poids absolu des corps, ou la force qui soutient ce poids contre l’action de la pesanteur , comme une quantité tout à- fait constante, du moins dans l’étendue ordinaire de nos travaux industriels, et que par conséquent nous pouvons aussi , sans crainte de commettre des erreurs appréciables, prendre pour unité de force l’unité de poids, conformément à ce qui a été proposé ci-dessus. Nous verrons d'ailleurs pins tard comment, à l’aide du pendule, on peut rendre sensible la variation de la pesanteur dans les divers lieux, variation généralement trop faible pour être appréciée, d'une manière facile et rigoureuse, par le moyen des ressorts ou d’instrumeus analogues.

62. Point d application , direction , intensité et représentation des forces. 11 faut distinguer dans une force , i° son point d'application , c’est-à-dire le point où elle agit immédiatement; 2 0 sa direction indéfinie ou la droite que décrirait son point d’application, s’il obéissait librement à la force; 3 ° le sens de son action, qui peut s’exercer de la gauche vers la droite, du haut en bas etc., ou inversement; 4 0 sa grandeur absolue ou son intensité, mesurée par des poids , par un certain nombre de kilogrammes.

Soit A (PI. I , Fig 2o)le point d’application d’une force dont la droite AB est la direction indéfinie ; portons, de A en P, sur cette droite et dans le sens de son action, un nombre d’unités de longueur , par exemple de centimètres, de millimètres, égal au nombre des kilogrammes, qui exprime son intensité ; il est évident que cette force sera complètement

représentée. Ordinairement on exprime le sens de l’action au moyen d’une petite flèche , et l’intensité de la force par une lettre telle que P, et cela afin d’abréger; ainsi l’on dit : une force P ou AP, une force Q ou BQ , comme on dirait une force de 10 kilogrammes, de 1 5 kilogrammes, etc. De cette manière, l’étude delà Mécanique est ramenée à celle de certaines figures de la Géométrie.

Mode d’action des forces sur les corps.

63 . Action directe. Quand une force agit extérieurement à un corps solide et contre un point de sa surface, elle exerce une pression qui refoule les molécules les plus près de ce point; le corps plie, fléchit ou se comprime suivant les circonstances ; les molécules se trouvant plus rapprochées au contact, font effort pour retourner à leur place, en. ■vertu de leur force de répulsion naturelle (37 et 28), ou de l’élasticité plus ou moins grande qui appartient à toutes les substances ( 1 y) ; elles refoulent aussi les molécules qui leur sont immédiatement voisines, et, de proche en proche, les plus éloignées jusqu'à l’autre extrémité du corps. Si celte extrémité est fixe ou arrêtée par un obstacle, reflet de la force se réduira à une compression, à un changement de forme du corps; si , au contraire, cette extrémité est libre, elle s’avancera, de sorte que le mouvement aura été propagé ou communiqué à toutes les parties , et cela de proche en proche, ou successivement. Ce mouvement intestin , résultat d’une suite de compressions , prouve qu’il faut un certain temps ( 5 y) pour que la force ait produit son effet total , et l’absurdité de supposer que la vitesse finie puisse s’engendrer instantanément ou tout- à- coup. Les mêmes choses se passeraient d'ailleurs si , à l’inverse, la force était employée à détruire le mouvement acquis d’un corps; elle détruirait d’abord la vitesse des molécules les plus près du

1 joint d'action, puis, de proche en proche, celle des moécules les plus éloignées , etc.

Nous avons supposé que la force appliquée extérieurement au corps , agissait pour le presser, le refouler sur luimême ; mais , si elle s’exercait du dedans au dehors de façon à le tirer, à l'étendre, les molécules seraient écartées au lieu d’être rapprochées , et feraient , en vertu de \'attrac~ tion qui les unit (27 et 28), cflbrt pour reprendre leurs distances respectives, et pour s’entraîner ainsi, de proche

en proche, d’une extrémité du corps à l’autre ; d’où l’bu voit qu’en vertu de cette attraction et de la répulsion, les molécules des corps se comportent comme si elles étaient maintenues entre elles et séparées par de petits ressorts qui s’opposeraient aussi bien aux forces qui tendent à les rapprocher, qu’à celles qui tendent à les désunir.

G 4* Réaction; principe de la réaction. D’après cette manière d’envisager l'action des forces sur les Corps, entièrement fondée sur l’expérience de ce’qui se passe quand ou les tire ou qu’on les comprime, il est évident qu’un effort ne peut être exercé, en un point. quelconque d’un corps, sans que les ressorts moléculaires de celui-ci n’agissent, eu sens contraire , avec un effort précisément égal e.t contraire : c’est ce qu’on exprime en disant, d’après l’illustre Newton , que la réaction est toujours égale et contraire à l’action , principe démontré par toutes sortes de faits. — En pressant par. exemple du doigt un corps, eu le tirant, avec une Ocelle, ou en le poussant avec une barre, nous sommes pressés, tirés ou poussés, en sens contraire, de la même manière et avec le même effort. — Deux pesons à ressorts (6o), placés (PI. I, Fig. 2 i) aux extrémités, A et B, d’une telle Ocelle ou d’une telle barre, indiquent le même degré de tension, quand une force P vient à agir, par leur intermédiaire et celui de la Ocelle ou de la barre, sur un obstacle placé à l’extrémité opposée. En général , nous ne pouvons concevoir qu'une force exerce son action, sans faire naître à l’instant une résistance égale et directement contraire : si une molécule matérielle en attire une autre , réciproquement celle-ci attirera la première avec une force égale et contraire ; si la pesanteur ou l’attraction terrestre sollicite les corps vers la’ terre (3o), réciproquement ces corps sollicitent la terre à se rapprocher d’eux.avcc une force égale et directement opposée, etc. C’est là un des principes fondamentaux delà Mécanique.

65. Hypothèses admises en Mécanique. Dans tous les cas où une force agit, comme on vient de le dire., par l'intermédiaire d une ficelle ou d’une barre tendue en ligne droite , l’action de cette force ne so transmet intacte , d’une extrémité à l’autre, que par une suite d’actions ou do réactions, égales et contraires, qui se détruisent ou se bu-

4a MÉCANIQUE INDUSTRIELLE,

lancent réciproquement, et que les ressorts moléculaires exercent en chaque point (le la droite suivant laquelle agit cette force et la' résistance opposée. C’est en vertu de cette considération qu’il est permis de supposer que V action d’une force s’opère ou se transmet en chacun des jmints de la droite matérielle qui l’unit à la résistance.

Dans cette action réciproque des diverses parties de la barre et de la ficelle, celles-ci se trouvent raccourcies ou allongées jusqu’à un certain degré relatif à l’énergie de la puissance ; mais , si cette énergie reste constante et ne surpasse pas d’ailleurs la force de résistance (20) de la ficelle ou de la barre , l’allongement ou le raccourcissement cessera d'augmenter. C’est d’après cette seconde considération que nous pourrons quelquefois regarder les corps solides et résistans, employés dgns les arts pour transmettre l'action des forces, comme parfaitement rigides et inextensibles ; d’autant plus qu’on les choisit, presque toujours, de façon

Î pi’ils fléchissent en réalité très-peu sous l'action de ces orçes , et que nous ne leur attribuerons cette qualité , dans loule autre circonstance, qu’après que le changement de forme aura déjà été opéré, et pour le temps seul où il restera invariable sous l’action constante des forces appliquées au corps.

Supposons, par exemple, (PI. I, Fig. 22), qu’une force P soit employée à pousser ou presser un obstacle solide K , par l’intermédiaire d’une barre ou d’un corps flexible quelconque, ABC, et concevons que cette force, ayant fait acquérir à la barre toute la flexion qu’elle peut recevoir d’après sa constitution , demeure constante; 011 pourra, dèslors, considérer ABC comme entièrement rigide,- et supposer même que le point A soit réellement lié au point C, par une droite matérielle AC, suivant laquelle la pression de P se transmet exactement contre l'obstacle , puisque la réaction est nécessairement égale et contraire à l’action. Ainsi la force P produira eu C, contre l’obstacle, précisément le même eflet que si elle y était immédiatement appliquée, et elle fera naître, en ce point, une.résistance Q égale et dirigée, de -Q vers C, dans le prolongement de la droite AC ou de sa propre direction. On pourrait même remplacer cette force P par une autre qui lui serait égale, et qui tirerait le point A , vers C , par le moyen d'une barre ou d’une ficelle, sans que, pour cela, les elfets soient au-

cunement modifiés; mais il faut nécessairement supposer que cetta» barre et cette ficelle soient inextensibles , ou

niant ro/'ii «11 momanf nu nn 1 rtc annlinilO IP n PfTPP

qu’elles aient reçu, au moment où on les applique , le degré d’extension qui convierft «à l’énergie de la force.

Voilà comment on devra entendre les choses toutes les fois qu’il nous arrivera, parla suite, de considérer les corps comme entièrement raides, ou de supposer que le point d’application d’une force est transporté eu un point quelconque de sa direction.

66. De V inertie considérée comme force. Nous avons vu ci-dessus (63 et 64) que quand une force agit, à l’extérieur d’un corps libr.e, pour lui imprimer du mouvement ou pour détruire celui qu’il possède, ce corps réagit ou oppose une résistance égale et contraire à la force : cette résistance , cette réaction devant être considérée comme un résultat de l’inertie des diverses particules matérielles du corps, on voit que l’inertie est une’force véritable qui peut se mesurer en poids. Pour un même corps, la résistance augmente évidemment avec le degré de vitesse imprimée ou détruite; nous verrons plus tard qu’elle est exactement proportionnelle à ce degré, et qu’elle augmente aussi avec la quantité de matière renfermée dans chaque corps.

Quand on lire un corps libre par le moyen d’une. ficelle, cette ficelle s’étend, s’allonge et peut même se rompre si elle est tirée brusquement , et cela d’autant mieux que le corps est plus massif ou plus pesant : le même effet serait produit évidemment si, le corps étant en mouvement, ou essayait de le retenir par le moyen de la ficelle. — Si on suspend un corps à l’extrémité d’une ficelle verticale, et

3 u’on place un peson à ressort dans la ligne de traction ou e tirage de cette ficelle , le ressort indiquera le poids du corps dans le cas du repos ; mais , si on élève Je corps avec une certaine vitesse, le ressort se pliera davantage, par suite de la résistance opposée par l inertié de la matière. Le mouvement étant une fois acquis et demeurant régulier , uniforme (4) , le ressort reprendra et conservera constamment l’état de tension qu’il avait dans le cas du repos, attendu que l’inertie ne se fait sentir ( 55 ), comme force, qu'autaul que la vitesse du corps est altérée, et que la pesanteur, au contraire, agit, saus relâche, sur les corps qu’ils soient ou non en mouvement. On voit donc que l’état

Digitteeé'by.Coogle

de tension du ressort peut servir à mesurer les variations de la vitesse du corps, et la grandeur de la résistance qu’en vertu de son inertie, il oppose à l'action de la puissance qui soulève la ficelle.

67. Jet ion combinée et réciproque des forces. Nous n’avons , dans ce qui précède, considéré que l’action simple d’une force appliquée en tin point d’un corps , et nous avons vu qu'il naît, de cette action, une réaction égale et précisément contraire, provenant de l'inertie de la matière du corps, lorsqu’il est libre , ou de la résistance opposée par un obstacle extérieur quelconque, réaction qui est transmise d'une extrémité à l'autre de ce corps (bS^par une suite d’actions et de réactions semblables qu’exercent entre elles les molécules, en vertu de leur force de ressort. Or il se passe des choses absolument analogues qitand plusieurs forces agissent à la fois en différons points d’un corps; leurs effets se combinent ' tellement que chacune d’elles éprouve , delà part de ce corps , turc réaction égale et contraire à la sienne propre , et que les autres forces lui transmettent encore par l'intermédiaire des ressorts moléculaires ; cette réaction peut donc être considérée comme un résultat plus ou moins immédiat de l’action de toutes les autres forces, ou comme la résistance qu’elles opposent à l’âction directe de celle que l’on considère.

C’est ainsi qu’on devra entendre généralement \e princijte de l’action égale et contraire à la réaction , et que nous pourrons dire et concevoir désormais qu'une force en détruit ou vainc plusieurs autres, sans leur être directement opposée, bien que, dans la réalité, elle ne détruise ou n’empêche directement que l’effet qui serait produit par sa réaction, si , tout h coup, elle venait elle-même à s’anéantir ou à être

détruite par une nouvelle force quelconque.

68. Exemple des l’action combinée des forces. Supposon s qu’un cheval soit employé à tirer une voiture le long d'une route ; on pourra le considérer comme détruisant à chaque instant; par l'intermédiaire des traits', des palonniers, du timon, de la cheville ouvrière, etc , toutes les résistances qui s’opposent à son action , dans les diverses parties de la voiture. Si le mouvement est constamment le inêpie ou uniforme , ces résistances proviendront uniquement du

terrain et des divers frottemens, l’inertie n’y entrant pour rien (55 et 66 ). Si la vitesse augmente à chaque instant, l’inertie, mise en action, s'ajoutera aux résistances précédentes; enfin si la vitesse vient à diminuer par suite d’obsthclcs particuliers, l’inertie, qui tend à -faire persévérer la voiture dans son état de mouvement, ajoutera son action à celle du cheval /pour vaincre ces obstacles et toutes les autres résistances.

C’est encore ainsi qu’on peut expliquer le principe de l’égalité de pression des fluides ( 14 ), eu vertu duquel une pression quelconque? exercée contre uneportion delasurface des parois du vase qui contient de toutes parts ce fluide, est transmise également sur toutes les parties de la surface de ces parois; car cotte répartition uniforme de la pression, cette réaction réciproque 'des parois du vase sur le fluide et dii fluide sur les parois,. ne peut évidemment provenir que de l’égalité des actions et des réactions qui s’exercent entre les différentes molécules de ce fluide. On voit aussi que, si le fluide n’était pas contenu, de toutes parts, au moyen de pistons, de parois solides ou par. la réaction d'autres fluides tels que l’air, etc., le principe de l’égalité des pressions n’aurait plus lieu, du moins de la même manière, attendu que la pression, exercée en un certain pointdesasurface extérieure, pourrait être employée , en partie, à vaincre l’inertie du fluide et toutes les autres forces qui s’opposent .directement à son mouvement, à son changement de forme. Quant au principe de la réaction, il n’en subsistera pas moins pour toutes les forces appliquées aux différentes parties de ce fluide, et toujours l'action de chacune d'elles sera égale et contraire à la réaction qu’elle éprouve en son point d’application.

Cf) . Observations sur V équilibre des forces. 11 arrive

Q uelquefois qu’on nomme équilibre cette action réciproque es forces appliquées à un corps , par suite de laquelle une force quelconque peut être censée vaincre ou détruire, par l’intermédiaire de ce corps, l’action de toutes les antres qu’on regarde comme étant opposées à la sienne propre: c'est ainsi qu'on dirait, par exemple, du cheval qui, dans l'hypothèse ci-dessus, traîne une voilure le long d'une route, qu’il fait équilibre à toutes les résistances qui s’opposent au mouvement de celte voilure. Mais, quand il

nous arrivera, par la suite, «l’employer un langage .aussi général , en parlant des actions réciproques exercées par les forces sur un corps, il ne sera uniquement question rjue de l'équilibre de ces forces considérées en elles- mêmes, et non de celui du corps; car, d’après les idées généralement admises, l'équilibre des corps repose sur des notions tbut autres, et que nous examinerons plus tard, lorsque nous aurons à étudier les effets combinés des forces. 11 ne s’agit ici que de nous entendre sur la signification attachée à certains mots; et, -loin d’avoir à nous occuper d’une telle complication d’effets, nous devons nous borner à poursuivre l’examen du cas simple et élémentaire où une force en détruit constamment une autre qui lui est égale et directement opposée ou qui lui fait équilibre. C’est à cela, en effet , que se réduit , en définitive, l’emploi des forces motrices dans les travaux industriels.

Du travail mécanique des forces et de sa mesure .

7°- Nôtions générales. Travailler c’est vaincre ou détruire , pour le besoin des arts, des résistances telles que la force d'adhésion des molécules des corps , la force des ressorts, celle de la pesanteur, l’inertie de la matière, etc. — User, polir un corps par le frottement , le diviser en parties, élever des fardeaux, traîner une voiture le long d’un chemin , bander un ressort , lancer des pierres , des, boulets , etc. ; c’est travailler, c’est vaincre , pendant un certain temps, des résistances sans cesse renouvellées dans la durée de ce temps.

Le travail mécanique ne suppose pas seulement une résistance vaincue, une fois pour toutes, ou mise en équilibre

! >ar une force motrice , mais une résistance reproduite le, ong d’un ehemin parcouru par le point où s’exerce cette résistance et dans la direction propre de ce chemin. — Pour enlever une parcelle de la matière d’un corps, avec un outil par exemple, non seulement il faut un effort directement opposé à la résistance que présente cette parcelle, mais encore il faut faire avancer le point d'action de l’outil dans là direction de la résistance: plus cet avancement sera grand, plus la parcelle enlevée aura de longueur; d’un autre côté, plus sera grande la largeur ou l’épaisseur de cette parcelle, plus la résistance ou l’effost sera con^idé—

rallie j l’ouvrage fait, à chaque instant, croit donc avec l’intensité de l’effort et la longueur du chemin décrit dans sa direction propre. Un raisonnement analogue est applicable à tous les travaux industriels opérés par le secours des outils et des machines.

7 I • Mesure du travail quand la résistance est constante. Supposons que la résistance soit constante , ou reste la même à chaque instant, aussi bien que l'effort qui lui est égal et directement opposé ; il est clair que l’ouvrage produit et le travail seront proportionnels au chemin décrit par le pointd’applicatiou de la résistance, c’est à dire qu’ils seront doubles si le chemin est double, triples si le chemin* est triple, etc ; de sorte que, si l'on prend pour unité le travail qui consiste à vaincre directement la résistance, le long d’un chemiu de i mètre, le travail total pourra être mesuré par le nombre des mètres et des fractions de mètre, parcourus. Mais si pour un autre travail , il arrivait que la résistance constante fût double , triple , etc. de ce qu’elle était dans le premier, à chemin égal décrit par le point d'action de cette résistance, le travail serait également double, triple, etc. de ce qu’il était. Si, par exemple, la résistance était de i kilogramme dans le premier cas, et qu’elle fût de 2, de 3, de 4 kilogrammes dans le second, le travail, pour chaque mètre de distance vaudrait 2,3,4 fois celui qui, à. chemin égal, répond à la résistance de 1 kilogramme.

En prenant donc pour unité de travail mécanique celui

3 ui consiste à vaincre la résistance de 1 kilogramme le long e 1 mètre, ou voit qu’un travail quelconque, dont l’objet est de vaincre directement une résistance qui reste la même, sera mesuré par le nombre des kilogrammes qui expriment cette résistance (60), répété autant de fois qu’il y a de mètres et de fractions de mètre dans le chemin parcopru par le point d’açtion de cette résistance, c’est-à-dire par le résultat de la multiplication de ces deux nombres. — Supposons un moteur employé à traîner un corps sur un chemin horizontal et rectiligne , par le moyen d’une corde tirée dans le sens même de ce chemin ; son travail consistera uniquement à vaincre le frottement constant exercé sur le terrain , et qui lui est directement opposé : si, par exemple, la résistance occasionnée par ce frottement, sur la corde, est de 37 lll ,5o , et que le chemin total décrit, dans un certain temps, soit

de 64“, il est clair qu’en prenant pour unité de travail celui qui consiste à vaincre la résistance d’un kilogramme le long d’un mètre de chemin, le travail total sera mesuré par le nombre 37,50X64=2400; c’est-à-dire, en d’autres termes, que, si l’on était convenu de payer un centime, je suppose, l'unité dont il s'agit, il faudrait payer 2400 e '" 1 ou 24 f ,oo le travail total.

En général , on voit que le travail mécanique que nécessite directement une 'Certaine résistance constante , et qui se reproduit le long d’un certain chemin , a , pour mesure , le produit de cette résistance par le chemin que décrit son ftoint. d’action , dans sa direction propre; l’unité de travail étant toujours F unité d’effort , mesuré en poids , parcourant l’unité de cheminou de longueur : Nous disons directement^ parce qu’en effet, il ne s’agit ici que du travail d’une puissance qui serait directement opposée* à la résistance, et non du travail d’un moteur qui agirait d’une manière qyelconque sur cette résistance (76 et 76).

7 2 • Mesure du travail quand la résistance est variable. Si la résistance, ou l'effort égal et opposé qui la détruit, au lieu d’être la même à chaque instant , variait sans cesse ainsi qu’il arrive dans bien des circonstances, le travail ne pourrait plus s’évaluer comme on vient de le dire; mais, attendu que ,. pour chacun deS espaces très- petits décrits par le point d’action, la résistance peut être censée constante et sensiblement égale à la moyenne ou à la demi - somme de celles qui répondent au commencement et à la fin de cet espace, le petit travail qui y est relatif, pourra encore se mesurer par le produit de cette résistance moyenne et.de l’élément de chemin dont il s’agit. Le travail total se composant de la somme des travaux partiels, sera mestiré également paj- la somme de tous les petits produits analogues qui leur correspondent.

Traçons, sur un plan ou tableau (PI. I, Fig. 23 ), une coiirbe O'a'dd... dont les abscisses Oa, O &, Oc,.-., représentent (b 1) les chemins successivement décrits par le Doint d’action de la résistance, et dont les ordonnées OO , océ, bU,... représentent, d’après une échelle convenable), les résistances ou efforts correspondais censés mesurés en kilogrammes. Supposons que O a, ab, bç.i.. soient les espaces égaux et très-petits décrits à chaque instant. Les travaux

$v vv *- « * * *. v

partiels ayant pour mesure les produits de ces petits espaces par les résistances moyennes correspondantes, censées constantes pour chacun d’eux, c’est-à-dire les produits

4( 00+aal).0a , ^(aa'-+- bV).ab , ^{bV -+- cd).bc

ces travaux seront représentés (Voyez, en Géométrie, le mesurage des surfaces) par les aires des trapèzes 00 ’a'a, aa'b'b , b b' de,... et le travail total le sera par la surface de tous ces petits trapèzes réunis. Or on voit, d’une part,

? uc celte surface différera d’autant moins de la surface )0'ab , ....h'h0, comprise entre la courbe, l’axp des abscisses et les ordonnées OO', hh' qui correspondent au commencement et à la On du travail, et, de l’autre, que la somme des travaux partiels, représentée par cette surface, s’approchera d’autant plus d’être égale au travail total , quele nombre des ordonnées ou des espaces successifs sera luimême plus considérable. Si donc on multiplie convenablement ce nombre des ordonnées, on pourra , sans erreur, prendre la surface OO'a'h'hO pour la mesure véritable du travail effectué pendant que le point d’application de la résistance décrit l’espace Oh.

On voit, d’après cela, que, quand on connaîtra, soit au moyen de l’expérience, soit de toute autre manière, la loi ou la table (5o) qui lie la résistance variable aux chemins décrits par son point d’application, toute la question, pour trouver le travail mécanique relatif à un espace quelconque parcouru, consistera à tracer la courbe de cette loi, et à calculer, par petites parties , l’aire de la surface qui répond à cette longueur de chemin. Comme les unités de longueur qui ont servi à construire les ordonnées, représentent des unités d’efforts ou de poids d’une certaine espèce , et que les abscisses sont elles -mêmes composées d’unités de longueur représentant des unités de chemin parcouru, on voit que \’ unité de surface des trapèzes ou de leur somme totale, sera réellement Vanité d’effort exercé ou répété le long de l’unité de chemin (*). •

y 3. Valeur de l’effort moyen. Lorsqu’on a ainsi trouvé

(*). Voyez, à la fin de ces puklimihaires , une application de ces principes et une méthode expéditive et suilisammenl exacte , pour calculer directement l’aire comprise entre une courbe , deux de scs ordonnées quelconques et l’axe des abscisses.

DiPaft

5o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

la valeur du travail mécanique d’une résistance variable, pour une distance quelconque parcourue par son point d’action, en divisant cette valeur par celle distance, on obtiendra ce qu’on nomme Y effort moyen de la résistance , ou Y effort constant qui, étant répété le long du chemin , produirait la même quantité de travail; car nous avons vu (71) que, pour une résistance constante, le travail se mesure simplement par le produit de cette résistance et du chemin total décrit par son point d’application.

La considération de l'effort moyeu en vertu duquel un travail est censé s’opérer, n’est pas moins importante que celle de la vitesse moyenne dans le mouvement périodi—

3 ue (49); car il arrive, presque toujours, que la résistance u travail ne varie qu'entre certaines limites fixes , plus ou moins rapprochées , ou qu’elle croît et décroît alternativement sans devenir jamais plus petite qu'une certaine quantité, ni plus grande qu’une autre quantité ; d’où il résulte que le travail se fait alors par périodes plus ou moins régulières, et qu'il se trouve représenté par une courbe sinueuse O 'célrd ...h' (PI. I, Fig. 24), dont les ondulations s’écartent très- peu, départ et d’autre, d’une droite AG parallèle à l’axe O B des chemins. On conçoit quo, dans ces circonstances qui se reproduisent fréquemment, il devient utile de substituer, au travail variable, un travail uniforme moyen donnant les mêmes résultats, et qui ne pré sente point autant de complication. C’est effectivement ce qu’on ne manque jamais de faire dans les applications de la Mécanique industrielle, quand les alternatives ou les périodes de travail sont fréquemment répétées.

7 4 - Divers exemples du travail mécanique. Quand un moteur est employé à bander un ressort, il développe, à chaque instant , un effort égal et directement opposé à la résistance du ressort, et qui est d’autant plus grand que son .pqint d’applicatiou a décrit plus de chemin dans sa direction propre; cet effort peut même se mesurer directement (6'o), nu moyen du peson ou du dynamomètre , pour chaque position du ressort, ou pour chaque positipn du point d’application de la force. O11 pourra donc aussi , d’après la méthode précédente, tracer la courbe qui donne la loi de ces efforts, et calculer approximativement la somme des travaux mécaniques effectués à chaque instant et qui composent le travail total.

PRÉLIMINAIRES. 5l

Nous avons pris pour exemples (71) le travail produit par une force qui traîne un corps le long d’un plan de la part duquel il éprouve une résistance constante, et celui qui consiste à bander un ressort dont la résistance varie à chaque instant ; mais les mêmes raisonnemens , les mêmes méthodes du calcul, s'appliquent à tous les travaux des arts, qui sont purement mécaniques , et qui supposent une résistance à chaque instant reproduite et vaincue dans le sens meme du » chemin décrit par son point d’action. — Un cheval tire-t-il après la barre d’un manège? un homme élève-t-il de l’eau du fond d’un puits? un ouvrier est-il employé à scier, à raboter du bois, à limer, à polir un métal, à arrondir un corps sur le tour, etc. ? la quantité de travail mécanique que nécessite directement l’ouvrage fait, sera toujours mesurée par le produit, et de la résistance opposée parla barre, par le poids de l’eau ou par la matière soumise ^ l’action de l’outil, et du chemin décrit par le point d’application de cette résistance, si elle est constante (71), ou par la somme des produits semblables qui mesurent les travaux partiels , si la résistance est variable (72).

7 5. Observations sur le travail des moteurs. En cherchant ainsi à apprécier, en nombre, le travail mécanique, il faudra avoir soin de ne pas confondre celui que dépenso effectivement le moteur avec celui qui résulte immédiatement de l’ouvrage fait ; car on conçoit qu’une partie du premier travail peut être détruite par des résistances autres que celles qui proviennent de l’ouvrage : ce n’est qu’à celle dernière résistance que s’appliquent véritablement les considérations précédentes et la mesure du travail. Plus tard nous examinerons le mode particulier de l’action des différentes forces motrices , les circonstances qui modifient les résultats de cette action , et le déchet que peut éprouver le travail de la force selon scs diverses applications.

76. Complication de certains travaur. Pour montrer la complication réellement inhérente à certains travaux industriels, nous prendrons pour exemple le travail du limeur: il faut i° qu’il appuie pour faire mordre on enfoncer la lime; 2 0 qu’il exerce un ‘-(fort pour faire glisser la lime le long du corps; 5 ° qu’il promène celte lime avec une certaine vitesse, en avant et en arrière, et que, par

conséquent, il vainque l’inertie de la matière de cette lime. La quantité de l’ouvrage fait est le résultat de ces diverses actions simultanées; mais on fait disparaître toute celte complication en séparant du travail tout ce qui n’y est pas indispensable , et en ne considérant que ce qui se passe à l’endroit même où la matière du métal est enlevée par la lime : là on n'aperçoit qu'une résistance qui suppose un effort égal et contraire , exercé dans la direction même du chemin que décrit le point d’action de la lime, et dont la . quantité de travail pourra s’obtenir ainsi que nous l’avons dit. I.e travail du moteur serait même réduit à ce grand degré de simplicité, s’il était employé à promener, d'un mouvement uniforme, la lirne le long d'une grande barre de fer couchée horizontalement sur un plan de niveau , et que cette lime eût été chargée convenablement d'uu certain poids , pour la faire mordre.

77 * Spécification du travail mécanique. En général, quand il sera désormais question , dans ces préliminaires , du travail mécanique , on devra enteudre le travail qui résulte immédiatement de l’action simple d’une force sur une résistance qui lui est directement opposée et qu’elle détruit continuellement, on faisant parcourir un certain chemin au point d’application de cette résistance et dans sa direction propre. Cette force, elle- même, devra être considérée (59 et 60) comme un agent simple, produisant un effort, une pression mesurable, à chaque instant , par un poids , et agissant dans une direction et sur un point déterminés, ainsi qu’on l'a supposé constamment dans ce qui précède. Il ne faudra pas confondre cnfiti l’expression de travail et de force , avec celles p'ar lesquelles on désigne vaguement tous les effets , plus ou moins compliqués, des moteurs animés ou inanimés qui développent leur action sur des résistances: ainsi nous ne parlerons pas de la force d’un cheval, d’un homme, d’un outil ou d’uue machine, sans indiquer, sans sous-entendre, tout au moins, son point d’application, son intensité et sa direction; noos ne parlerons pas de leur travail mécanique, saus spécifier ou sousentendre la résistance, égale et directement contraire, que la force détruit, à chaque instant, tout en faisant parcourir, dans la direction propre de cette résistance, un certain chemin à son point d’application.

'jS. De V élévation verticale des fardeaux. Le travail le plus simple, celui qui donne immédiatement l’idée de sa mesure, est l’élévation des fardeaux suivant la verticale ou l’aplomb; la quantité de l’ouvrage croît alors visiblement comme le poids et comme la hauteur parcourue dans la direction de la verticale que suit ce poids, c’est-àdire qu'il est le produit de ce poids et de cette hauteur. Car, pour répéter encore une fois nos raisonnemens, en élevant à la même hauteur verticale , un poids double , triple, etc.; le travail est bien double, triple, etc., de celui qui consisterait à élever le poids simple à cette hauteur; et, en élevant un même poids à une hauteur double, triple etc. , c’est bien comme si on l'avait élevé deux, trois fois à la hauteur simple , ou une première fois à cette hauteur, puis une seconde fois , une troisième fois à cette même hauteur; peu importe d’ailleurj la manière dont pourrait s’y prendre un moteur pour produire ces effets partiels, il nous suffit que , considérés en eux-mêmes, on puisse les regarder comme parfaitement égaux ou identiques. Si donc on prend , pour unité de travail , l'unité de poids élevée à l’unité de hauteur , le travail total sera mesuré par le produit du nombre des unités de poids et de celui des unités de hauteur.

79 . Des autres moyens d’évaluer le travail. L’utilité de la mesure que nous avons prise pour le travail , résulte de sa simplicité même , et de la facilité qu’on a d’évaluer des efforts, des pressions, en poids, et des distances, des chemins en unités de longueur. Du reste, on pourrait, dans bien des cas, prendre la quantité même de l’ouvrage effectué pour la mesure du travail mécanique des forces: par exemple, on pourrait se contenter de dire, de tel moteur, qu’il est capable de moudre 1 , a, 5 kilogrammes de blé; c’est même ainsi qu’on en agit quelquefois , et qu’en agissent les meuniers et les propriétaires de moulins, pour spécifier la valeur mécanique de ces moulins ou des cours d’eau. Mais, comme un même poids de blé présente des résistances différentes à la mouture, selon sa qualité, le genre de l'outil et de la machine, non-seulement les meuniers ne pourraient être compris de tout le monde , mars ils ne pourraient pas même s’entendre entre eux ; il faut donc une mesure commune et qui ne soit pas susceptible de

•varier ou d’être interprétée diversement ; or telle est celle qui résulte de la considération de l’efFort et du chemin décrit dans la direction de cet effort.

Restera ensuite à savoir combien chaque unité de travail, ainsi définie, sera capable, dans des circonstances déterminées , de moudre de kilogrammes de blé, de scier de mètres carrés de planches, etc.; or c’est à quoi l’on parviendra par des observations et des expériences bien faites; l’essentiel est sur-tout qu’il n’y ait rien d’arbitraire dans la manière d'évaluer le travail mécanique.

8o. Dénominations admises />our le travail On a donné différons noms au travail mécanique, tel que nous venons de le définir dans ce qui précède , travail qu’il ne faut pas, dans tous les cas , confondre avec Y ouvrage, puisque ce dernier n’en est véritablement que l’effet.

Sméaton* ingénieur anglais qui a beaucoup écrit sur les roues hydrauliques, a nommé le travail puissance mécanique; Carnot le nomme moment d’activité (Voy. ses Principes fondamentaux de l’équilibre et du mouvement) ; Monge et Hachette (Voy. le Traité des Machines de ce dernier), l’ont appelé effet dynamique ; Coulomb, Navier et plusieurs autres enfin, l'ont appelé quantité d’action, et cette dernière expression est assez généralement en faveur. 11 nous arrivera souvent d’en faire usage , mais il faudra se rappeler qu’elle signifie la même chose que quantité de travail , travail mécanique (*).

Quelquefois aussi on nomme le travail mécanique quantité de mouvement ; mais, comme on emploie généralement, en Mécanique, celte expression pour désigner toute autre chose, nous ne nous eu servirons jamais pour désigner le .travail. I.es mêmes réflexions doivent s’appliquer à la dénomination de force vive , mise en usage par certains auteurs; l'une et l'autre n'indiquent que les effets du travail mécanique d’une force qui a été employée à mettre un ' corps en mouvement ou à vaincre son inertie (66).

jNous ferons connaître bientôt le sens qu’on attache le

(*) En adoptant celte expression , nous n’avons fait ijuc suivre l’exemple de M. de Coriolis, savant uigéuieur des ponts et chaussées, qui a écrit sur les applications de la Mécanique , et qui s’en sert dans les répétitions qu’il donne aux élèves de l’Ecole polytechnique. Elle offre l’avantage particulier de se définir en quelque sorte par elle-même , et d’étre d’une grande simplicité.

ïjfct . PRÉÏJMIN AIRES. 55

plu» ordinairement à ces mots ; quand donc il sera question, dans un ouvrage , de quantité cîe mouvement ou de force vive, il conviendra de s'assurer s’il s’agit, ou non, du travail mécanique tel que nous l’avons défini

Un des caractères distinctifs du travail mécanique, c’est qu’il est la chose qu’on paie dans l’exercice de la force, et que sa valeur, son prix en argent, croissent précisément comme sa quantité. Car, si l’on ne considère que le travail nécessité directement par la résistance à vaincre, par l’ouvrage à confectionner, il demeure, comme on l’a vu précédemment, exactement proportionnel à la quantité de ce dernier. Mais, redisons-le, cequi, le distingue surtout des autres grandeurs mécaniques, c’est qu’il suppose une résistance, exprimable en poids, à chaque instant vaincue et reproduite, dans le sens meme d’un certain chemin parcouru.

O I . Choix de. l’unité de travail. T.e travail mécanique,

ainsi défini et entendu est donc, en lui- même, une chose absolue, qui ne suppose que l’idée d’un effort exercé et d’un chemin parcouru; mais son expression, en nombres, peut changer selon les circonstances et les conventions admises pour l’unité de chemin ou d'effort, et aussi selon que le travail est ou n'est pas continué uniformément pendant un certain temps. Car, d'une part, l’unité de chemin et l’unité d'effort étant tout-à fait arbitraires, l'unité de travail qui en dérive, l'est aussi ; et, de l'autre, si le travail est long- temps contiuué d’une manière à peu près uniforme, son expression, en nombres, peut devenir embarrassante par sa longueur; de sorte qu’on se voit alors obligé, pour la simplicité, de ne considérer qu’une certaine fraction du travail total, relative à la durée d’un certain temps, qu’on

Î irend à son tour pour unité. C’est de cette manière que 'idée du temps est introduite dans la notion du travail mécanique, bien que, envisagé sous un rapport plus absolu, ce dernier en soit véritablement indépendant: c’est ainsi, par exemple, qu’on dit d’un cheval attelé à une voiture, à un manège, qu’il exerce moyennement. (y3) un effort de tant de kilogrammes en parcourant un chemin de tant de mètres par minute ou par seconde, et d’un outil, d’uno machine, qu’ils développent moyennement une telle quantité de travail dans tel temps. Mais alors il convient de ne pas oublier la durée effective du travail total en ajoutant,

par exemple, qu’il est de tant d’heures pour chaque. jour, chaque relais, etc.

On conçoit, d’après cela, quelle est la difficulté de choisir une unité de travail qui puisse servir dans tous les cas possibles et avec un égal avantage : tantôt l’expression du travail, en cette unité, se trouvera composée d’un trèsgrand nombre de chiffres entiers; tantôt elle exigera, pour la précision, un très-grand nombre de chiffres décimaux; tantôt eniin elle devra être accompagnée de la désignation du temps auquel elle se rapporte , lorsque le travail , étant continué uniformément pendant un ou plusieurs jours, on n’en considérera , pour la simplicité des calculs, qu’une certaine partie relative à l’unité de temps.

82. Unités de travail proposées ou adoptées. I.es mécaniciens sentant l'importance de fixer une unité de travail et de lui donner un nom , comme on l'a fait pour le gramme , le litre , etc., en ont proposé de diverses espèces; mais on n’est point, jusqu’à présent, tombé d'accord sur le choix de celte unité , et il est probable qu’on ne le sera pas plus pour cet objet que pour désigner l’unité de vitesse, qui dépend à la fois de l’unité de temps et de l’unité de longueur. — MM. Mongolfier, Hachette, Clément, etc., ont pris, pour cette unité, 1 mètre cube d’eau ou 1000 kilogrammes élevés à 1 mètre de hauteur, et ils ont nommé celte unité, unité dynamique , dynamie. M. Dupin, de son côté , a proposé (Voyez ses Leçons de Géométrie et de Mécanique , tome III, Dynamie ) 1000 mètres cubes d’eau ou 1000 tonneaux (3i) élevés à 1 mètre de hauteur, et il a supposé que ce travail, qu’il nomme dyname, s’opérait dans les 24 heures. Mais aucune de ces unités n’a été définitivement, ni spécialement adoptée dans l'industrie manufacturière.

Enfin , depuis que les machines à vapeur commencent à se répandre en France, les mécaniciens- constructeurs emploient assez généralement, d'après l'exemple des anglais de qui nous viennent ces machines, une unité de travail qu’ils nomment force, pouvoir de cheval , ou simplement chevalvapeur. La force du cheval n’a pourtant rien de bien défini, elle varie suivant une infinité de circonstances, suivant l’âge et la qualité des individus; si seulement on s’entendait sur sa valeur fictive , et si le gouvernement la

consacrait par une loi comme les autres unités de mesure, on pourrait, sans inconvénient, s’en servir commfc de terme de comparaison pour tous les travaux mécaniques des machines et des moteurs, qui sont continués d’une manière uniforme et pendant un certain temps ; mais il n’en est pas ainsi. Toutefois la valeur qui paraît la plus généralement accréditée, d’après Watt et Boulton,soit en Angleterre, soit eu France, et que les anglais nomment pour cette raison unité routinière y s’écarte fort peu du travail mécanique qui suppose un effort de 75 kilog. exercé le long du chemin de 1 mètre, censé parcouru uniformément dans chaque seconde. Telle est du moins l’idée qu’on peut prendre de sa valeur approximative dans l’industrie manufacturière; car, s’il est des constructeurs qui adoptent, pour l’effort constamment exercé, 80 kilog. , il en est d’autres aussi qui ne le supposent que de 70 kilog. seulement; de sorte que l’effort de 75 kilog, équivalant aux | du quintal métrique, est véritablement un terme moyen qui diffère rarement de plus du -^3 de la valeur admise, dans les divers cas, par les parties directement intéressées.

83 . Conventions générales. Sans rejeter précisément aucune des dénominations et des évaluations précédentes de l'unité de travail , lesquelles peuvent avoir leur avantage particulier dans certaines circonstances , nous prendrons le plus communément pour unité d’efTort le kilogramme , et pour unité de distance le mètre j de sortç que l’unité de travail mécanique ou d’action sera l’effort de i kl1 exercé le long du chemin de i met , quantité qu’avec M. Navier, nous représenterons ainsi i k *“ou i k m ou enfin i k “, et qui se lit ordinairement un kilogramme élevé à un mètre de hauteur ; parce qu’on rapporte volontiers tous les travaux mécaniques à celui qui consiste dans l’élévation verticale des corps pesans, l’effet produit ou l’ouvrage fait étant alors (78) la mesure même du travail. — Supposons, par exemple, un effort moyen ou constant (73) de zaS 1 ' 1 soutenu le long du chemin de 7 mètres, le travail qui en résulte aura pour valeur 2z5 k X7 m = I 575 l, ”, c’est-à-dire 1675 kilog. élevés à la hauteur de 1 mètre. Cette phrase étant un peu longue à lire, et rappelant d’ailleurs l'idée d’un travail particulier, qu’il n’est pas indispensable d’exprimer, nous conviendrons de nommer simplement kilogrammètre chacune des

unités i km ; de sorte que le trnvai! ci-dessus équivaudra à

r5y5 kilogrammètres.

Cette dernière convention et celle qui consiste à placer l’indice k “ à droite et un peu au-dessus du nombre qui esprimela grandeur du travail, peuvent s’étendreà toutes) es hypothèses que, selon les cas, on se croirait obligé de faire sur la valeur de l'unité de travail ou des unités d’effort et de chemin. — S'agit-il d’unités de travail dont chacune équivaut à 100 , à loookilog. élevés à un mètre, c’est-à-dire à un quintal métrique , à un tonneau (Si), élevés à i"”*, on pourra les écrire ainsi i‘ , “, i*“, et les nommer quintalmètre, tonneaumètrej par quoi l’on devra toujours entendre qu'il est nécessairement question de quintaux métriques et non des anciens quintaux. — S’agit- il d'unités dont chacune équivaut à i livre, à 100 livres élevées à i pied, à i toise de hauteur, on pourra les écrire i lp , i u , ! ,p , i’ 1 , et les nommer respectivement livrepied , livretoise, quintal pied , quinlaltoi.se ; bien entendu qu’alors tout se rapporte à l’ancienne division des unités de poids et de longueur, appliquée soit aux anciennes valeurs de ces unités, soit aux nouvelles valeurs appelées, dans le commerce, légales ou métriques (3 1 ).

84- Observations particulières II serait inutile de s'occuper des unités de travail, telles que celle qui consisterait dans l’élévation de i v,1 à iooo m '*ou à i kilomètre, par exemple; car, d’après nos principes , celte unité est la même que celle qui équivaut à i“on au tonneaumètre , c’est-à-dire à iooo 1 ' 1 élevés à i“' 1 . On n’éprouvera donc aucune difficulté à exprimer numériquement et à dénommer la valeur d’un travail quelconque, quelle qu’en soit la grandeur et quelles quesoient les conventions qu’on adopte pour l’unité ; en spécifiant ensuite, si cela est nécessaire ( 8 1 ) et conformément à ce qui a été dit ci-dessus, le temps pendant lequel ce travail s’opère, on aura une idée complète de sa valeur. C’est ainsi, par exemple, que le travail du cheval-vapeur, en une seconde, pourra être indifféremment représenté par y5^ m ^y5hilogranimètres), ou par 45o lp (45o livrepieds) , la livre et le pied étant ici la nouvelle livre et le nouveau pied , adoptés légalement, en France et dont l’un vaut le tiers de mètre et l’autre le demi -kilogramme. Si d’ailleurs ou voulait simplifier encore davantage l’expres-

PRÉLIMINAIRES. ' 5g

sion (lu travail quand elle dépend , comme ci-dessus , de l'unité de temps, on pourrait écrire les nombres en cette manière: 45 oo lm ', 27000 11 ’', ou 75*’"", 45o l|,M , selon qu’il s’agirait de la minute ou de la seconde.

Il arrive assez ordinairement que, pour les travaux soutenus des moteurs, on ne considère ainsique la longueur du chemin décrit pendant la seconde, prise pour unité de temps, afin d’avoir de petits nombres a considérer. Cette longueur étant aussi celle qu’on adopte le plus volontiers (48 et suiv.), pour exprimer la vitesse même du mouvement , on voit que le travail, pendant l’unité de temps, se trouve réellement mesuré par le produit d’un effort ou d’un poids et d une vitesse. C’est, comme nous le verrons un, peu plus loin, ce qui fait quelquefois confondre (80) le travail mécanique ou la quantité d’action avec la quantité de mouvement , quoique leurs significations et leurs mesures soient, dans le fond, très- différentes.

Des conditions du travail mécanique.

85 . Première condition générale. D’après nos définitions, le travail mécanique des forces suppose a la fois une résistance vaincue et un chemin décrit dans la direction de cette résistance; d'où il résulte que, dès qu’il n’y a, pas de résistance vaincue ou de chemin décrit, il n’y a pas non plus de travail mécanique. Mais il n’en faudrait pas conclure, à l’inverse, qu’il y a nécessairement travail toutes les fois qu’une puissance exerce, d’une manière soutenue et pendant un temps plus ou moins long, un effort dans la direction du chemin parcouru par son point d’application; car il faut encore que le mouvement actuel de ce point, 11e soit pas indépendant de l’action de la force motrice et de la résistance, ou que ces forces puissent être considérées comme la cause directe et nécessaire qui modifie ou qui entretient le mouvement. Sans cette condition, eu effet, il n’y aurait j>oint de travail produit, et tout se réduirait, de la part du moteur, à exercer un certain effort, peudanlle temps même où il serait entraîné, avec la résistance, dans le mouvement général cl indépendant de sa propre action.

Mous savons bien, par exemple, que la terre tournant sans cesse sur elle- même, et entraînant avec elle les corps placés à sa surface, on n’y peut exercer un effort quelconque, sans qu'en même temps le point d’application de cet

effort ne décrive continuellement, un certain chemin dans l’espace absolu ( 46 ) Or, il est évident en soi que, si le point d’application du moteur et de la résistance reste en repos par rapport aux objets environnons qu’on regarde comme fixes, il n’y a pas eu véritablement de travail produit: c’est qu’en effet le mouvement de transport général de la terre est indépendant de l'action de ces forces , et n’en continue pas moins quand celte action cesse. — Un homme qui, placé dans une voiture ou sur un bateau, tirerait sur un point fixe, c’est-à-dire fermement attaché à cette voiture, à ce bateau, ne travaillerait pas davantage; et il en serait de même de deux hommes qui se tireraient, sur cette voiture, ce bateau, sans bouger de place, sans s’entraîner réciproquement; car le mouvement de la voiture et du bateau étant indépendant de leur propre action, ils ne dépenseraient, en eux- mêmes, rieu pour l’entretenir.

Mais si, dans ces divers cas, l'obstacle ou le point d’ap-

f ilication des forces égales et opposées, venait à céder à eur action, en décrivant un certain chemin dans le sens même de cette action, indépendamment de celui qui résulte du transport général, alors il y aurait un travail produit, mesurable , à chaque instant, par le résultat de la multiplication de l'effort exercé et du petit chemin relatif décrit par le point d'application de cet effort, c’est-à-dire du chemin décrit par rapport aux objets qu’on peut regarder comme immobiles sur la terre, sur la voiture ou sur le bateau.

86. Seconde condition générale. Ceci étant entendu une fois pour toutes, et le chemin que l’on considère dans la mesure, en nombres, du travail mécanique, étant le chemin relatif véritable en vertu duquel ce travail s’opère, on conclut naturellement, des procédés par lesquels on obtient (71 et 72) cette mesure, d’une part qu’elle sera nulle en elle- même, toutes les fois qu’il eu sera ainsi de l’un quelconque des facteurs dont elle se compose; et, de l’autre, que ce serait fort mal estimer la valeur purement mécanique, le pouvoir de production d’une machine, d’un moteur quelconque, que de se borner, comme on le fait quelquefois, à tenir compte simplement, ou de la grandeur de l’effort dont ils sont capables en certains points, ou de la vitesse que possèdent, de la longueur d’espace que parcourent, dans un temps donné, leurs diverses parties; qu’en

Di

PRÉLIMINAIRES. 6l

un mot, sous le point (le vue qui nous occupe, la grandeur de l’effort absolu , ou du plus grand effort que les moteurs peuvent exercer sans /aire mouvoir sensiblement leur point d’application, n’est pas plus un signe de leur puissance de travail , que ne le sont et la vitesse et le chemin absolus , la plus grande vitesse et le plus grand chemin qu’ils peuvent preudre ou parcourir, sans exercer d’effort dans la direction propre de cette vitesse ou de ce chemin.

87 . Réflexions sur le travail des moteurs animés. Ainsi, par cela seul qu’un homme, un cheval marcheraient plus ou moins long-temps et avec une vitesse plus ou moins grande, sur un chemin horizontal, nous ne dirons pas qu’ils travaillent; nous n’en conclurons pas même que ce seraient de bons travailleurs, qu’ils produiraient beaucoup d’ou-, vrage, si on les appliquaient à une machine, à une charrue ou à un outil quelconque. Pareillement encore, de ce qu’un homme, un cheval seraient capables de soutenir, en repos, contre l’action de la pesanteur, un poids pins ou moins considérable; de ce que, tirant, au moyen de traits, un obstacle qui reste fixe, ils seraient capables de bander ces traits avec un effort plus ou moins grand, on n’en saurait conclure qu’ils développent beaucoup de travail mécanique, qu’ils sont bons travailleurs, ni qu’ils seraient capables de produire, d’une manière soutenue, une grande quantité d’ouvrage, si l’obstacle venait à cheminer tout en résistant à leurs efforts. — Ainsi Y Hercule du Nord, tant vanté pour sa force prodigieuse, n'eût probablement pas , dans un travail réellement utile et long-temps continué, pu soutenir le

{ tarallèle avec un de nos bons manouvriers ordinaires; ainsi es coureurs, les coursiers qui franchissent si rapidement de longs espaces, seraient généralement peu capables, sous d’autres rapports, de rendre les services d’un homme moins agile , d’un coursier moins rapide mais bons travailleurs.

Il est tellement vrai qu'exercer un effort ou soutenir un fardeau sans se mouvoir, ce n’est pas proprement travailler, qu’on peut toujours alors remplacer un moteur par un corps inerte, tel qu’un support, une colonne, un trait, un tirant, etc.; et il ne l'est pas moins de dire que le mouvement, sans effort exercé, sans résistance vaincue, ne

[ >eut constituer un véritable travail, puisqu’ en vertu de 'inertie de la matière (55 J, le mouvement une fois acquis

se continue, de lui-même, indéGniment et sans perte si, comme on le snppose, rien d'extérieur ne tend à le modifier , à le ralentir.

88 . Distinction du travail intérieur et du travail extérieur, Malgré ces réflexions sur la nullité du travail mécanique produit par les moteurs dans les circonstances précitées, on remarquera que cluicun de ces emplois de la force peut quelquefois avoir son genre particulier d’utilité dans les arts, surtout relativement aux moteurs animés, et qu’on peut même , sous certains rapports , les considérer comme une sorte de travail dès lors qu’ils produisent la fatigue, et qu’ils supposent des résistances intérieures sans cesse renouvelées et vaincues; mais il ne s’agit ici expressément que du travail extérieur et effectif des moteurs,, travail qui est le résultat d’actious plus ou moins compliquées qui ne peuvent être aucunement l’objet de nos investigations (75 et suiv). Ur ce travail extérieur doit être considéré comme nul, sous le point de vue puremeut mécanique et dans les circonstances qui viennent d’être spécifiées; de la même manière que nous regarderions comme uul le travail d’une machine qui marcherait avide , c’està-dire dont l’outil ne rencontrerait point de résistance, ne confectionnerait point d’ouvrage, ou celui d’une machine dont l'outil, soumis à une trop forte résistance, ue pourrait marcher malgré l'action des forces motrices qui y sont appliquées; et, en effet, le cas est tout- à-fait semblable, attendu qu’ici la puissance n'en a pas moins consommé, comme ou va le voir, ou n’en consomme pas moins une certaine quantité de travail pour vaincre les résistances intérieures et inhérentes aux .pièces de la machine.

89. Tout mouvement . toute action des forces supposent un travail. Si nous considérons les choses sous un point de vue plus rigoureux encore et plus absolu, nous arriverons à reconnaître qu’il n’y a point d’action sans effet plus ou moius sensible , et d’effet sans dépense de travail plus ou moins appréciable •

D’une part , les corps ne pouvant se mouvoir, sur notre globe, salis éprouver tout au moins une certaine résistance ( 3 ) de la part de l’air, et ne pouvant sortir du repos sans que leur inertie ne se soit d’abord opposée (66) à l’action de

la puissance, on voit qu’en résultat, le mouvement, de quelque nature il puisse être à la surface de la terre, sup-

f *ose toujours une certaine quantité de travail, soit actuelement, soit primitivement dépensée par un moteur.

D’une autre part , puisque tous les corps sont plus on moins compressibles et extensibles, une force motrice ne peut jamais agir, même contre des obstacles lixes, sans produire et dépenser une certaine quantité de travail mécanique. Car le point où cette force est appliquée a plus ou moins cédé (63); le corps a plié, s'est aplati, ou s'est allongé; les Ressorts moléculaires ont opposé de la résistance, il y a eu un petit chemin décrit par le point d'application de la force et dans sa direction propre. IJ’abord l'effort, on la résistance égale et contraire ( 64 ), étaient nuis; ensuite ils ont augmenté progressivement jusqu’à ce qu'ayant atteint leur valeur maximum , leur plus grande valeur, et le corps sa plus grande déformation possible , l’action de la force motrice s’est réduite à maintenir le corps ou l’obstacle à son état de tension et au repos, sans produire désormais aucun travail mécanique.

90 . Quand et comment ce travail peut être censé nul. Nous venons de prouver que tout mouvement acquis, toute action des forces sur les corps supposent ou nécessitent réellement une certaine dépense de travail. Mais, attendu que la résistance opposée par l'inertie d’un corps, dans son passage de l’état de repos à celui’ de mouvement, et la résistance que présente sans cesse l’air à ce mouvement, exercent, comme nous le verrons bientôt, une influence trèsfaible toutes les fois que la vitesse n’est pas fort grande, ou ne surpasse pas 5 à 6 mètres en une seconde par exemple., ce qui est bien le cas des moteurs ordinaires ; et, attendu d’ailleurs que les corps qui reçoivent ou transmettent directement l’action des forces, sont généralement (65) assez résistans, assez raides pour ne pas fléchir d'une manière sensible sous cette action, on conçoit que, dans la plupart des cas, le travail effectif, ainsi développé par le moteur, sera une fraction très petite de celui qu’il pourrait produire si le mouvement était moins prolongé ou moins rapide, ou si l’obstacle, tout en opposant une certaine résistance, cheminait de façon que l’espace décrit devint très-grand par rapport à celui qui résulte de la simple déformation

«le cet obstacle. Or c’est sous ce rapport seulement, et quelquefois aussi sous celui de la non utilité des résultats, que, dans la pratique, il est permis, selon les cas, de ne point tenir compte du travail extérieurement développé par les moteurs, ou même de le considérer comme entièrement nul et inutile ; car, scus le rapport purement mécanique, il va sans dire (85 et 8b'), qu'exercer un effort, sans le répéter le long d’un chemin , ou cheminer sans exercer d’effort , ce n’est point travailler.

9 1 • diction d’une force perpendiculaire au mouvement. Des réflexions analogues sont applicables toutes les fois qu’une force, agissant en un certain point d’un corps en mouvement, ce point ne cède pas sensiblement à l’action de la force et dans sa direction propre, vu que le chemin

Î u’il est contraint de décrire, par suite de sa liaison avec 'autres corps, demeure, à chaque instant, perpendiculaire à la direction de la force. Celle-ci ne faisant donc que comprimer inutilement le corps, et ne produisant aucun travail effectif dans le sens du mouvement, sa quantité de travail ou d’action devra encore être censée nulle, tout comme pour le cas d’un moteur qui agit sur un obstacle fixe. — Un homme qui tirerait ou pousserait sur le côté d’une voiture en mouvement et perpendiculairement au chemin qu'elle décrit, n’aiderait en rien le travail des chevaux; son effet serait absolument nul quant à l’objet utile du travail. La même chose pourrait' se dire à l’égard d'un homme qui tirerait ou pousserait contre la barre d’un manège, dans le sens de la longueur de cette barre et non dans celui de son mouvement circulaire, etc. Cependant le moteur n’en aurait pas moins, dans ces deux cas, réellement dépensé et développé une certaine quantité d’action, en comprimant ou distendant le corps auquel il est appliqué.

92. Transport horizontal des fardeaux. Enfin c’est encore là le cas d’un homme ou d’un animal quelconque qui chemine horizontalement en portant un fardeau; car l'action du poids est perpendiculaire à celle du chemin; elle ne tend qu’à comprimer les parties sur lesquelles ce poids repose ; il n’y a pas sensiblement (89) de résistance vaincue, et par conséquent de travail produit dans le sens du mouvement horizontal du point où agit le fardeau, bien

que le moteur se fatigue; bien qu’il développe intérieurement une certaine quantité de travail ; bien qu’enfin le transport horizontal d’un fardeau ait en lui-même uu but d’utilité dans les arts, et qu’il puisse, sous un certain rapport, être considéré comme un travail d'une espèce particulière, tout-à-fait distincte, et qui, comme l’autre, a son unité de mesure, son prix en argent.

Le transport horizontal des fardeaux, par les moteurs animés, est, au surplus, le seul ouvrage dont la mesure ne puisse se rapporter directement à celle que nous avons jusqu’ici adoptée; et cela seulement en tant qu’il ne suppose pas, en lui-même, une résistance vaincue dans le sens propre du mouvement, et que le corps est immédiatement supporté par le moteur ; car lorsqu’un moteur est employé à traîner un corps horizontalement sur un traincau , une voiture ou un bateau , il se développe , de la part du terrain , des essieux de la voiture ou du fluide, des résistances qui s’opposent directement à l'action de ce moteur, et qui nécessitent une dépense plus ou moins forte de travail mécanique effectif et mesurable comme il a été expliqué précédemment (71 et 72). Aussi faudra-t-il bien’se garder , par la suite, de confondre ce dernier travail avec le premier, et de lui supposer la même unité de mesure ni la même valeur en argent. — L’expérience prouve , par exemple , qu’il est plus facile à un homme de transporter à dos et à61ieues de distance horizontale, un corps qui pèse 5o kilogrammes que d’exercer, d’une manière soutenue et le long du même chemin, un effort de 10 kilogrammes seulement.

93. Observations sur le transport horizontal. On voit, d’après cela, quelle serait l’erreur que l’on commettrait si, voulant, par exemple, estimer le travail mécanique nécessaire pour transporter, sur un chemin horizontal , un fardeau par le moyen d’une voiture, on se contentait de multiplier 'le poids de ce fardeau et de cette voiture par le chemin décrit, ou si l’on confondait l'effet utile, l’ouvrage avec le travail mécanique même que développe le moteur, par l’intermédiaire des traits. On n’en a pas moins nommé, d'après notre célèbre ingénieur Coulomb, qui a fait beaucoup d’expériences sur le travail de l’homme considéré dans diverses circonstances, on n’en a pas moins nommé quantité d’action le travail qui consiste à transporter directement

un corps sur un chemin horizontal. Et, non - seulement on a mesuré ce travail par le produit du poids supporté parle moteur et du chemin qu'il décrit horizontalement, à peu près de la même manière que nous avons mesuré, le travail mécanique véritable par le produit de l'effort et du chemin décrit dans le sens de cet effort*, mais encore on a quelquefois comparé entre eux ces deux genres de travaux, d’autant plus distincts, que l’un est absolument nul à l’égard de l’autre, ainsi que nous l’avons expliqué ci-dessus.

Mais ce qui prouve incontestablement que, sous le point de vue purement mécanique, et lorsqu’on n’a point égard au mode particulier d'agir des moteurs animés, lesquels peuvent se fatiguer sans absolument rien produire d’extérieur, ce. qui prouve, disons-nous, que le transport horizontal des corps ne suppose pas en lui-même une dépense nécessaire de travail mécanique, c’est qu’on peut diminuer indéfiniment cette dépense par des appareils ou des dispositifs matériels convenables, tels que des voilures, des bateaux, des chemins de fer, etc. (*), qui ont la propriété de diminuer l'effet des résistances de toute espèce; c’est qu’on peut même le concevoir indépendamment de ces résistances, tandis que tous les autres genres de travaux industriels, analogues à ceux qui ont été cités n"* 70 et suivans, exigent nécessairement une certaine dépense de travail mécanique; c’est qu’enün le résultat de ce transport horizontal ne peut jamais être directement la source d’un nouveau travail , tandis que cela arrive très-souvent pour l’autre, comme on aura bientôt occasion de le voir.

94 * Inflexions générales. En général, et il faut bien le redire encore (y 5 et 77) , nous 11e considérons le travail mécanique que par rapport à lui même, c’est-à-dire d’une

(*) En effet, on sait par expérience qu’un cheval marchant au pas, ne peut porter à dos qu’ environ 80 kilogrammes de poids , sur un chemin horizontal et d'une manière soutenue , tandis que , sans se fatiguer davantage , il peut transporter jusqu’à 1000 kilogrammes sur une bonne route ordinaire et au moyen d’une voiture; qu’il en peut transporter 10000 sur un chemin de fer; et jusqu’à qo 000 sur un canal horizontal. Enfin , en plaçant le fardeau sur des rouleaux convenablement disposés, il pourrait, comme nous le verrons plus tard, en transporter bien davantage encore. Il est évident qu’il n’y a aucun moyen pàreil de diminuer le travail nécessaire pour élever verticalement les corps contre l’action de la pesanteur, ou pour changer la forme même de ces corps, etc.

PRÉLIMINAIRES. 6j

manière absolue et indépendamment du degré de fatigue qu’il suppose de la part des moteurs animés, ou des circonstances qui, dans les arts, font varier son' emploi, son prix ou sa valeur en argent. Et, quoiqu’il puisse bien arriver , par exemple , que telle quantité de travail mécanique, employée par un moteur à élever verticalement un corps à une certaine hauteur, coûte plus ou moins de fatigue et d’argent, que la même quantité de travail employée à transporter horizontalement, sur une voiture, un autre corps à une certaine distance, nous n’en regarderons pas moins ces quantités comme rigoureusement égales ; parce qu’en effet on peut, à l’aide de machines, d'appareils convenables, transformer immédiatement l’une de ces opérations en l’autre, et que c’est même là l’objet de la Mécanique industrielle, telle que nous l'envisageons plus spécialement dans celte première partie du Cours.

Cela ne nous empêchera pas , un peu plus tard , de revenir sur tout ce que nous aurons fait , et d'établir , d'après les données de l’expérience, la comparaison exacte entre les di-, vers genres de travaux des machines et des moteurs animés ou inanimés. Que si d’ailleurs nous sommes entrés aussi avant dans les discussions précédentes, c’est afin de bien préciser le point de vue sous lequel nous prétendons envisager le travail mécanique des forces, et d’éviter qu’on ne le confonde avec les autres résultats de l’exercice de ces forces.

De la consommation et de la reproduction du travail.

q 5 . Consommation inutile du travail. Ces réflexions , ces discussions, au surplus, ne sont pas en elles-mêmes sans importance ; car elles nous avertissent, d’une part, que, si les moteurs animés peuvent se fatiguer sans produire de travail effectif, d’une autre, ces moteurs et les forces motrices en général , peuvent aussi travailler, et développer une certaine quantité d’action, sans produire d’effet appréciable, ou d’effet véritablement utile et qui contribue à augmenter celui qu’en définitive, il est question de produire : c’est ce qui a lieu (91), par exemple, quand le moteur agit perpendiculairement au chemin décrit par son point d’application. Mais, comme la plupart des travaux industriels ne s'effectuent que par l’intermédiaire des diverses pièces, des divers agens matériels qui constituent les outils, les machiues, et que ces

pièces ne peuvent opérer sur la résistance ou transmettre le mouvement et la force , sans être comprimées ou distendues, on aperçoit de suite que, même lorsque le point d’application de la force motrice est mis en mouvement dans la direction propre de cette force , il doit d’abord se dépenser une certaine quantité de travail , pour amener les pièces au degré de tension relatif 1 à la plus grande intensité de l'action, ou à l’état régulier du travail et du mouvement. Or il pourra arriver que ce premier travail de la puissance soit totalement perdu si , l’action de celle-ci venant à diminuer ou à cesser , les corps conservent la forme qu’ils ont acquise par suite du travail; c’est-à-dire, s’ils ne sont pas élastiques (19), ou, plus généralement encore, si les ressorts moléculaires (63) en se débandant, ne contribuent pas à accroître le travail, à l’instant où l’action delà puissance cesse , comme ils ont contribué à l’amoindrir, lorsqu’ils ont été primitivement bandés par l’effet de cette action.

On conçoit même que, si l’action du moteur ou celle de la résistance produite par le travail , varie d’une manière irrégulière, c’est-à-dire si elle a de fréquentes intermittences ou interruptions , de telle sorte que tantôt elle devienne plus faible , tantôt plus forte ; que tantôt elle s’exerce dans un sens , tantôt dans un sens contraire ; qu’en un mot, si les corps sont souvent comprimés, puis distendus, la perte de travail pourra , à la longue et sur-tout quand les s efforts exercés seront considérables, devenir très-comparable au travail total de la puissance ; ce qui n’aurait pas lieu, si l’action de cette dernière était constamment la même, ou si elle ne variait seulement qu’aux reprises et aux cessations complètes du travail.

96. Moyens (T éviter la consommation inutile du travail. Ces réflexions nous font déjà entrevoir tout l’avantage qu’il y. a d’éviter, dans les machines, les chocs ou secousses qui développent des pressions considérables ; de régulariser l’action des forces elles -mêmes et le mouvement des pièces qui la transmettent, quand il s’agit de leur faire opérer, d’une manière continue , un travail industriel quelconque; d’employer enfin, pour ces pièces, des corps en même temps raides et élastiques ; c’est-à-dire très-peu susceptibles de changer de forme sous l’action des forces , et capables, quand cette action cesse, de reprendre leur forme

primitive, sans avoir subi aucune altération moléculaire ou intime (20); car cette altération est la cause finale delà déperdition ou de la consommation inutile du travail.

Voilà précisément pourquoi on préfère généralement , dans la construction des machines, se servir de rtmes qui tournent uniformément au tour d’axes fixes, pour recevoir et communiquer le mouvement ou même pour servir d’outils; car, d’après la petite étendue des ateliers consatrés aux travaux de l’industrie , le mouvement uniforme et long-temps continué est impossible pour les pièces qui sont assujetties à décrire des lignes droites. Voilà pourquoi aussi on se sert, pour travailler les bois, les métaux, etc., de marteaux, de burins, de couteaux, de limes, de ciseaux, de scies en acier trempé , et dont les dimensions , les proportions sont tellement combinées , qu’ils fléchissent en réalité très-peu sous l’action des forces qui les mettent en jeu , et des résistances qu’ils doivent vaincre. Car, nonseulement des outils en fer doux, en cuivre, en plomb, travailleraient fort mal, non-seulement ils exigeraient de fréquentes réparations, mais encore ils consommeraient ou absorberaient, en pure perte, une grande quantité de travail mécanique, sans produire beaucoup d’ouvrage. Or ces réflexions sont d’autant plus importantes, qu’elles s’appliquent à tous les outils employés dans les arts, si ce n’est à ceux pour lesquels un certain degré de flexibilité est une qualité essentielle, tels que les spatules , les pinces, les ressorts , etc. ; encore faut-il que la matière de ces outils soit suffisamment résistante ou dure, en elle-même, pour ne pas s’user aisément, et qu’elle soit assez élastique pour ne pas perdre promptement sa forme.

97 * De la reproduction du travail par les ressorts. Pour démontrer clairement comment le ressort des corps peut développer ou restituer, lors du débandement, une certaine quantité de travail mécanique qu’il a primitivement absorbée, il ne s’agit que de voir ce qui se passe à l’instant où un corps revient progressivement à sa forme primitive après avoir été comprimé, et se rappeler ce que nous avons dit précédemment (72 et suiv.) sur la manière de mesurer la quantité de travail d’une force qui varie à chaque instant.

Supposons qu’un moteur soit employé à bander un res-

sort quelconque (PI. I, Fig. a5), en développant t sur un même point A de ce ressort, et dans la direction propre du chemin que tend à décrire ce point, des efforts F qui sont de plus en plus grands (i5 et 8 g) à mesure que la compression ou la distension augmentent ; formons , Comme nous l’avons expliqué (7a) une courbe OdVd.... (Pl. I, Fig. 26 ), dont les abscisses représentent les chemins successivement décrits, par le point d’action A (Fig. a5) de la force F, dans la direction propre de cette force, et dont les ordonnées représentent les valeurs , en kilogrammes , des efforts correspondans exercés sur le ressort , efforts que détruit la réaction égale et directement contraire de ce ressort ; la quantité de travail développée ou absorbée , pour un petit chemin quelconque cd (Fig. 26 ), sera mesurée (7a) par le trapèze cdd'd formé sur ce chemin et les ordonnées correspondantes cd{ dd 1 , et le travail total le sera par l’aire entière Od'h'hO comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et la dernière ordonnée hh', représentant le plus grand effort.

Supposons maintenant que le ressort (Fig. *5), arrivé à cette position, soitemployé à vaincre une résistance qui cède à son action dans la direction même du chemin primitivement décrit par le point d’application A de la force F; ce ressort développer , contre la résistance , une quantité de travail qu’on pourra calculer en appréciant, en poids, les diverses pressions qui correspondent à chaque position du ressort, depuis l’instant où la compression est la plus forte, jusqu’à celui où elle est nulle , et où le ressort est parvenu à la position qu’il peut conserver par lui-même. Si le corps reprend , à ce dernier instant , exactement la forme qu’il avait avant d’être bandé ; si d’ailleurs les pressions qui répondent aux mêmes degrés de tension, aux mêmes positions, sont les mêmes ; si en un mot, le corps possède, dans son retour vers sa forme primitive , la même énergie qu’auparavant , ce qui suppose nécessairement qu’il soit parfaitement élastique, et quosa constitution intime n’ait pas été altérée ; dans ces circonstances, disons- nous, la quantité de travail produite parle débandement du ressort contre la résistance, sera nécessairement égale à celle qu’il a fallu dépenser primitivement pour le bander , puisque la courbe , qui donne la loi des pressions et des espaces décrits, sera la même de part et d’autre. Si, au contraire, le corps n’est pas parfaitement

élastique, non-seulement il ne reviendra pas à sa première forme, mais aussi les pressions seront moindres dans le débandement ; le travail restitué sera aussi moindre que celui qui a été d*abord dépensé, et une certaine portion de ce dernier sera, comme nous l’avons déjà avancé ci - dessus (95), totalement perdue pour l’etTet: c’est évidemment celle qui est nécessaire pour produire les altérations moléculaires qui sont survenues daus le corps.

98 . Des ressorts considérés comme réservoirs d’action. Nous avons vu(i 5 et i 8 )qu’il n’y a guèresque l’air et les gax qui soient à la fois très-compressibles et parfaitement élastiques , lorsqu’on les enferme dans des espaces clos et qu’on les y refoule au moyen d’un piston mobile , etc. De tels ressorts peuvent donc servir à emmagasiner le travail mécanique, à faire fonction de réservoir , en les bandant jusqu'à un certain point, et les maintenant à ce point par des moyens faciles à imaginer ; car , lorsqu’ensuite on viendra à les abandonner à eux-mêmes contre des résistances à vaincre et qui céderont à leur action , ils restitueront, en se débandant, exactement la quantité du travail qu’ils auront d’abord consommée. — Tel est, entre autres, l’usage bien connu du fusil à vent, qui n’est véritablement qu’un réservoir d’air comprimé , dans lequel on a accumulé une certaine quantité de travail pour s’en servir à lancer des balles au besoin.— Les catapultes , les balistes , les arcs, machines employées par les anciens, lançaient pareillement des pierres, des flèches, etc., parle débandement de ressorts ordinairement formés aveo des cordes ou des pièces de-bois flexibles.

Mais les ressorts ne servent pas seulement à lancer des projectiles , on peut aussi leur faire mouvoir des machiues quelconques, et produire des travaux industriels. — C’est par de semblables moyens , par exemple , que les montres et les pendules reçoivent , 1 e mouvement pendant des jours, des mois entiers, par le débandement d'un ressort d’acier roulé en spirale, et que l’on a quelquefois tenté, quoiqii’infructueusement , de mettre en mouvement des voitures, etc. Eu urt mot, l’élasticité permetd’ enfermer, dans les corps inertes, une force capable de les faire travaillera la manière des moteurs animés , tels que l’homme et le cheval.

99 * De la production du travail par la chaleur. Le ca-

lorique qui dilate les corps (at et 24) en s'insinuant entre leurs diverses molécules , rend , par là même , ces corps capables de développer du travail mécanique ; car il met en jeu leur force de répulsion (27) , il bande les ressorts moléculaires ; et, quand des obstacles, des résistances quelconques s’opposent à leur libre extension , ces résistances sont vaincues en même temps qu’un certain chemin est décrit parleur point d’application. A l’inverse, quand on vient à refroidir un corps chaud par un moyen quelconque, quand on en fait sortir une certaine quantité de calorique , les ressorts moléculaires , abandonnés à leur libre action, tendent à retourner vers leur position primitive, et font effort contre les résistances qui s’y opposent , absolument de la même manière que si le corps avait été réellement distendu par des forces extérieures quelconques. On peut même admettre , comme fait de l’expérience , que , dans les changemens de volume des corps chauffés ou refroidis; la quantité de travail développée par les ressorts moléculaires, est précisément la même que celle que dépenseraient des forces, appliquées extérieurement au corps , pour produire des effets égaux si la température (2 2) restait la même.

Nous avons déjà donné (a 5 ) quelques exemples des effets de la chaleur et de l’usage qu’on en peut faire , dans les arts, pour consolider les édifices ou rapprocher les diverses parties des corps; en voici d’autres d’une espèce toute différente. — truand on enferme hermétiquement de l’eau dans un caUon de fusil ou dans une chaudière, et qu’on la chauffe à un certain degré, elle tend à se transformer en vapeur ( 5 ); elle fait de toutes parts effort contre les parois de l’enveloppe, et finit, lorsqu’on augmente suffisamment la chaleur , par faire éclater cette enveloppe, et par en lancer violemment les débris dans tous les sens. La chaleur , employée à produire l’inflammation de la poudre à canon,

Î iroduit des effets non moins terribles et bien connus d’aileurs. Dans l’un et dans l’autre cas, la force d’explosion est produite par le développement rapide des gaz ou vapeurs qui tendent (1 5 et 2») à s’échapper en tout sens, par suite de l’élévation de la température. De là, au surplus, les accidens graves survenus aux chaudières de certaines machines à vapeur et aux marmites dites autoclaves.

IOO. Usage du calorique comme moteur. Nous avons

Diüitiz

vu (26) combien est faible, en général, la dilatation des corps solides; celle des liquides ne l’est guères moins, tant qu’on ne les chauffe pas de manière à les convertir entièrement en vapeur; il en résulte donc que les solides et les liquides proprement dits, ne font décrire au point d’application des résistances à vaincra, cfu’un espace en général fort petit; et qn’ilsme peuvent développer un travail notable qu’autant que ces résistances sont très-grandes. Voilà précisément pourquoi on les emploie rarement quand il s'agit d’effectuer, dans les arts et par l’application de la chaleur, des travaux soutenus qui exigent qu’un certain chemin,

Î lus ou moins grand, soit décrit dans chaque unitéde temps.

.es gaz et les vapeurs n’ont pas cet inconvénient (21 et 26), aussi peuvent- ils être avantageusement employés comme moteurs dans ces sortes de travaux : la vapeur d’eau surtout , qu’on se procure à si peu de frais, sert spécialement à cet usage dans l’industrie manufacturière.

I O I . Condition générale de l’emploi des moteurs. Des réflexions analogues sont applicables à tous les ageus qui peuvent servir de moteurs, et montrent la limite de l’utilitc de leur emploi dans les arts; ils expliquent, par exemple, pourquoi on fait aujourd’hui si rarement usage de la force des ressorts ou de celle des bois et des cordages mouillés ( 1 1 ), pour servir de moteurs dans des travaux soutenus, indépendamment de leur cherté propre, et de l’inconvénient qu’ils ont de mettre en jeu de grands efforts qui consomment, en pure perte (g 5 ), une certaine portion de la quantité de travail qui leur est appliquée.

102. De la reproduction du travail par la pesanteur. I.a pesanteur offre, comme l’élasticité des corps , un moyen d'emmagasiner le travail mécanique des forces , et de la rendre disponible au besoin.

Quand un moteur a élevé un corps à une certaine hauteur, en dépensant une certaine quantité de travail, mesurée (78) par le produit du poids de ce corps et de la hauteur à laquelle il a été élévé; ce corps, employé ensuite à vaincre des résistances, soit directement, soit par le moyen de machines, pourra restituer, dans sa descente, précisément la même quantité de travail que celle qui a été dépensée primitivement. C’est ainsi que le mouvement est

communiqué aux grandes horloges, aux tournc-broches, etc., et que l'eau, en s'échappant des réservoirs où elle est contenue et a été accumulée par la nature ou par l'art, fait mouvoir, par sou poids, les roues de nos moulins, de nos usines diverses.

Nous disons que la quantité de travail restituée dans la descente verticale d’un poîUs, d’une certaine hauteur, est précisément égale à celle qui a été primitivement dépensée pour l’élever à cette hauteur; car l’intensité d’action de la pesanteur est sensiblement la môme (61), soit qu'un corps monte, soit qu’il descende; et par conséquent la pression exercée par le poids de ce corps contre une résistance à vaincre, ne varie pas dans les deux cas; de sorte que, pour un même chemin vertical décrit, le travail ne varie pas non plus. Mais, quand bien môme on admettrait que l’intensité de la pesanteur n’est pas constante pour toutes les hauteurs du corps, on n’en conclurait pas moins que le travail développé dans la descente, est égal au travail consommé dans Ja montée, attendu que le poids est, pour chaque position distincte d’un corps, une grandeur absolue (61) et qui ne varie pas avec le temps. En effet, les raisounemens seraient ici semblables à ceux que nous avons employés (97) pour le cas des ressorts .parfaitement élastiques, et ils s’appliqueraient également à tous les cas où des forces motrices, agissant sur des corps , redeviendraient constamment les mômes, pour les mêmes positions relatives de ces corps.

Io3. Delà consommation du travail sans restitution. Cette circonstance de la reproduction complète du travail n’arrive pas toujours ; nous en avons déjà eu des exemples (95 et suiv.) à l’occasion de la compression des corps en général ou des ressorts imparfaits ; on peut même prévoir qu’elle n’arrive jamais rigoureusement dans les travaux industriels, attendu les résistances nuisibles ou inutiles qui accompagnent nécessairement le mouvement des corps ou l’exercice des forces appliquées à ces corps : ainsi la résistance de l’air et des fluides en général . celle du frottement, de l’adhérence des corps qui glissent , qui roulent les uns sur les autres, sont autant de causes qui détruisent, sans retour, une portion plus ou moins grande du travail développé par les moteurs.

Eu général, on peut remarquer que, toutes les fois

qu’une certaine quantité de travail mécanique aura été dépensée pour détruire directement la force d’agrégation ou d’affinité des molécules des corps (28), cette quantité sera totalement anéantie ; en ce sens qu’elle ne pourra nullement être restituée par les corps après qu’ils auront subi le changement d’état. C’est ainsi que le travail employé pour limer, pour polir, pour rompre ou diviser les corps solides d’une manière quelconque, est consommé sans retour; parce qu’on a séparé, les unes des autres, certaines molécules , qu’on a détruit leur force de ressort , et que les molécules des corps solides, une fois ainsi séparées, 11e possèdent plus l’énergie qui leur est nécessaire pour se rejoindre, même quand on remet les parties en contact immédiat.

164. De la consommation nécessaire ou utile du travail. 11 faut distinguer soigneusement la consommation de travail , nécessitée par des résistances telles que celles qui viennent de nous occuper en dernier lieu, de la consommation de travail occasionnée par des résistances étrangères à l’effet qu’on veut réellement produire; car cette première consommation est essentiellement utile et la dernière ne l'est

F as ; celle-ci diminue l’effet, la quantité d’ouvrage, et autre le constitue essentiellement. Enfin on peut, jusqu’à un certain point, éviter les résistances nuisibles, on peut même les amoindrir beaucoup, par des dispositions bien entendues et que nous ferons connaître plus tard; mais on ne peut diminuer, en aucune manière, la consommation de travail, nécessitée rigoureusement par les résistances inhérentes à effet utile lui-même.

Il suit de là, par conséquent, que tout ouvrage réclajn© une dépense absolue de travail. Or nous verrons, par la sui|e, que la seule chose qu’il soit possible d’obtenir par les machines, les outils, les ressorts, etc. , c’est que la force motrice n’en dépense pas beaucoup plus, ou que celle qu’elle produit soit presqu’entièrement employée d’une manière utile.

105 . Toute production de travail suppose une consommation. Ce que nous disons des machines industrielles peut s’étendre aux agens de toute espèce que présente la nature, lesquels , considérés en eux-mêmes, nous paraissent quelquefois doués d’une énergie d’action (jui leur est propre et qui ne suppose point une consommation primitive de travail;

mais c’est une erreur qui vient de ce que nous ne réfléchissons pas toujours attentivement aux causes plus ou moins immédiates de cette action. — Cette eau (102) que nous voyons tomber, du haut du réservoir où elle est retenue, sur la roue d’un moulin qu'elle fait marcher, par son poids, en produisant du. travail mécanique, a été d’abord amenée là par l'action de la gravité qui l’a fait descendre de la partie supérieure des vallées, où elle jaillit de sources naturelles; ces sources elles-mêmes, sont entretenues par les pluies qui tombent sur le sommet des montagnes et s’infiltrent lentement à travers le sol. Or les pluies proviennent des nuages ou brouillards supérieurs, et les nuages sont produits par l’action de la chaleur du soleil, qui a vaporisé l’eau et l’humidité contenue sur la surface de la terre, et les a contraints de s’élever malgré la force de la pesanteur; d<? sorte que la quantité de travail que nous recueillons dans nos moulins, nos usines hydrauliques , est, en réalité , une bien faible portion de celle qui a été primitivement dépensée par la force motrice de la chaleur solaire.

Il résulte, par exemple, d.cs observations très- précises faites, depuis plusieurs années, à l'Ecole d’application de l’artillerie et du génie, par M. le garde du génie Schuster, qu’à Metz et aux environs, il tombe annuellement, sur toute la surface du sol , une quantité d’eau de pluie capable de couvrir cette surface sur une hauteur de 5 o à 6o c< "“; ce qui produit, sur la superficie seulement d’une lieue carrée de poste ayant 40oo n "' 1 de longueur, l’énorme volume de 4 ooo m )<[ 4 ooo n ’X on, ) 5 =: 8 oooooo mètres cubes, au moins; lesquels pesant 8000000 de tonneaux ( 34 ), et étant tombés de la hauteur des nuages qu'on peut fixer moyennement à "1 200“, ont ainsi exigé, de la part de la chaleur, un développement de travail mécanique ( 83 ) équivalent à Soooooo’X* 20G m = 96oooooooo ,m , représentant un travail continuel et uniforme (45 et 81) de — - 3 o 4 2 1 2 tm

par seconde, ou (82) de 4 o 5 fi chevaux-vapeur environ.

Les animaux, la chaleur même, sources primitives du travail mécanique, exigent, quand on les considère dans leur application immédiate aux travaux de l’industrie manufacturière, une certaine dépense en nourriture, en combustible, etc. , qui, à son tour, est la représentation d’un certain travail mécanique ; de sorte qu’il est réellement impossible de créer, de toutes pièces, de la force motrice, ou plutôt du

travail, sans qu’il y en ait eu de consomme primitivement. — Ainsi la houille ou charbon de terre qui alimente les chaudières des machines à vapeur, a été extraite du fond des mines qui la recèlent, et amenée sur les lieux de sa consommation , au moyen de voitures ou de bateaux traînés par des chevaux ; elle a exigé en outre des chargemens et des décbargemens successifs ; et, si l'on calculait tout ce qu’elle a coûté de travail mécanique, avant dje recevoir sa destination utile et déliuitive, 011 trouverait que, dans certains cas, ce travail égale presque celui qu'elle produit effectivement en convertissant l’eau en vapeur pour la faire agir sur les machines, et, par l’intermédiaire des machines, sur les outils, surla matière à confectionner. Ce n’est pourtant point un motif de croire qu’il fût avantageux, même dans de telles circonstances, de renoncer àcette manière de reproduire le travail, puisqu’on obtient ce travail coërcé dans un petit espace, et sous une forme infiniment commode, infiniment avantageuse pour les besoins de l’industrie manufacturière.

I oG. De la consommation et de la reproduction du travail par l’inertie. Jusqu’ici nous avons examiné le travail de la force lorsqu’elle est employée à vaincre la pesanteur et les résistances inhérentes à l'état d’agrégation des corps, ou à leur force d’aflinité, à leur force de ressort, etc?; il nous reste à apprécier la résistance que tous les <*>rps opposent au mouvement par suite de leur inertie, et la manière dont cette inertie, considérée (66) comme unefbrce véritable, sert tantôt à consommer, tantôt à produire le travail mécanique, de la même manière que la pesanteur et les ressorts. Et, en effet, nous n’en avons nullement tenu compte dansce qui précède, bien que réellement on ne puisse, en aucune manière, la séparer des autres genres de forces, quand il s’agit de travailler.

Nous . avons déjà remarqué (68 et 76), par exemple , que le limeur est obligé de vaincre l’inertie de la matière propre de sa lime , le cheval attelé à une voiture , l’inertie de la ma tière de cette voiture et du fardeau qu’elle supporte; nous avonsmêmefaitvoir(66)quecetteinertie se comporte véritablement comme les autres forces motrices, quand la vitesse du mouvement vient à changer. 11 est donc fort important d’apprécier, à sa juste valeur , la quantité de travail qu’un corps donné, absorbe ou restitue pour acquérir ou pour per—

Digi

dre un certain degré de vitesse, indépendamment de ce qu’il arrive souvent que le mouvement est le but utile même du travail , comme lorsqu’il s’agit de lancer des projectiles, des boulets par le ressort des gaz ou des corps solides , genre de travail qui constitue l’art de la balistique mis en usage par tous les peuples pour combattre; indépendamment enfin de ce qu'il arrive aussi très souvent qu’au lieu d’appliquer directement une puissance à la production d’un travail, on la fait agir d'abord sur un corps libre, et qu’on se sert du mouvement acquis par ce corps, pour effectuer le travail par le moyen du choc ou de toute autre manière , comme cela a lieu, par exemple, dans les machines à pilons, à marteaux, à volans , etc. , oià l’inertie de la matière est employée à restituer une certaine quantité de travail primitivement dépensée par un moteur pour la mettre en action. Mais il est indispensable d’exposer d’abord les lois suivant lesquelles le mouvement peut être communiqué ou détruit par l’action des forces motrices constantes et variables.

De la communication du mouvement par les forces motrices constantes.

1 07 • Notions générales. Le cas le plus facile et le plus simple de la communication du mouvement , est celui d’un corps qui est poussé à chaque instant par une force motrice constante, égale et directement contraire (66) à la résistance opposée, par l’inertie , dans la direction propre du mouvement. Or il est clair que , la pression étant la même , à chaque instant , V accroissement ou le décroisse ment très- petit de la vitesse (53), sera aussi le même, ou constant pour le même corps. Ainsi , dans le cas dont il s’agit, la vitesse, à partir d’un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant: c’est ce qu’on appelle .le mouvement uniformément varié en général ; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé , selon que la force motrice constante agit pour augmenter ou pour diminuer la vitesse du corps.

Si l’action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps , c’est-à-dire à partir de l’instant où il était au repos, la vitesse totale acquise, nu bout d’un temps quelconque mesuré depuis cet instant, sera

proportionnelle à ce temps ; ou si l’on veut, elle sera double pour un temps double, triple pour un temps triple, etc. Si, au contraire, l’action de la force motrice ne comirmence qu’à partir d’un certain instant, ou que le corps ait déjà une vitesse act/uise à cet instant; cettb vitesse, qu’on nomme ordinairement la vitesse initiale du corps, aura, au bout d'un temps quelconque, augmenté ou diminué d’une quantité qui sera encore proportionnelle à ce temps, et qu’on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse

3 ue la force motrice imprime ou détruit constamment , ans un certain temps , par exemple dans l’unité de temps, la seconde, etc. En effet, il ne s’agira que de multiplier le temps total écoulé, par la vitesse qui répond à cette unité de temps; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l’en retranchant selon les cas, on aura la vitesse même du mouvement au bout du temps que l’on considère.

Mais, pour bien saisir l’objet de ces calculs, il est nécessaire de se rappeler que, dans le mouvement varié, la vitesse acquise à un certain instant , est mesurée(53)par le chemin que décrirait le corps, dans l’unité de temps et à compter do cetinstant, si, la force motrice cessant tout à coup son action, le corps continuait à se mouvoir uniformément ; ce qu’il ferait véritablement en vertu de son inertie (55) et dit degré de vitesse qu’il possède déjà.

1 08 . Du mouvement uniformément accéléré. Occuponsnous d’abord du cas oi'i le corps part du repos sous l’action de la force motrice constante, et proposons-nous de découvrir toutes les circonstances du mouvement de ce corps.

Nous pouvons encore représenter ici, par le dessin, la loi qui lie, aux temps , les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps, eu traçant(Pl. I, Fig. 27) une ligne () dV ...li dont les abscisses O d, ülJ, b', représentent les temps écoulés depuis l’origine du mouvement, et dont les ordonnées aa', bb', cd....bh' représentent les vitesses açtjuises à la fin de ces temps respectifs.

Cela posé , puisque dans le cas du mouvement uniformément accéléré, les vitesses aa!, bb!, sont propor-

tionnelles aux temps écoulés Oa, OA, Oc... .OA, il est clair què la ligne O db'd...h! est une ligne droite qui passe par l’origine O des abscisses ; car le mobile est ici censé partir du

repos à l'instant où la force molrice commence son action , de sorte que le temps et la vitesse sont nuis à la fois à cet instant. Supposez qu’on ait partagé l'axe OB (les abscisses ou des temps en lin prand nombre de parties égales très-petites, puis qu’on ait élevé les ordonnées correspondantes, etqu’enlin on ait mené, par les extrémités de ces ordonnées, des parallèles à l'axe des abscisses, on formera une suite de petits triangles Oaa', a' b' b", lldd 1 .... égaux et rectangles. Les côtés aa\ Vif, dd 1 de ces triangles marqueront les accroisse-

ment successifs de la vitesse, accroisscmens qui seront égaux commeles petits instans qui leur correspondent On, ait, bc ,.. conformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.

Les intervalles de temps successifs On, ab, bc... étant donc supposés extrêmement petits , on peut regarder le corps comme se mouvant, d’une manière sensiblement uniforme, pendant l’un quelconque cd=dd" de ces intervalles, et avec une vitesse moyenne égale à la demi -somme de celles cc', dd' qui répondent au commencement et à la fin de chacun d’eux. Or , dans le mouvement uniforme (48) , l’espace décrit dans un temps quelconque, est mesuré par le produit de la vitesse et de ce temps; donc l'espace décrit ici, pendant le temps élémentaire cd , sera égal à cd multiplié par la vitesse moyenne 4 (cd -+- dd'), qui correspond à ce temps élémentaire Ce produit n’étant autre chose que la mesure de l’aire du petit trapèze cc'd'd , cette aire pourra ainsi représenter l’espace parcouru pendant le temps élémentaire cd : pour un autre intervalle quelconque de égal au premier, l’espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd'e'e‘, donc l’espace total décrit, pendant le temps Oh, par exemple, a sensiblement pour mesure la somme ou surface totale des trapèzes élémentaires aalVb, bVdc.... gg'h'h, augmentée du petit triangle Ona' qui mesure évidemment l’espace décrit dans le premier instant O a; c’està-dire la surface même du triangle correspondant Ohh'. Donc enfyi cette dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse de l’espace décrit pendant le temps total O h, puisqu’on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre indéfini de parties égales et infiniment petites ; Iç raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (7a) pour trouver la mesure du travail quand l’effort est variable.

PRÉLIMINAIRES. 8l

IOQ. Lois du mouvement uniformément accéléré. I.e chemin décrit au bout d’un temps quelconque , étant , pour le mouvement uniformément accéléré , représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise au bout de ce même temps ; on en peut déduire , de suite, plusieurs conséquences importantes, et qui permet lent de calculer les circonstances de ce genre de mouvement.

P'abord , puisque la surface de tout triangle O hh! a pour mesure la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uniformément pendant un temps égal à Oh et avec la vitesse h h' acquise au bout do ce temps, on voit que,

1 0 Dans le mouvement uniformément accéléré , le chemin décrit , au bout d’un temps quelconque et à partir de l’origine du mouvement , est la moitié de celui que le mobile décrirait , dans un temps égal , s’il se mouvait uniformément avec la vitesse qu’il a acquise à la fin du premier temps.

Ensuite, puisque les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques O b, Oe, sont représentés par les triangles Obb', O edi puisque ces triangles sont semblables, et que , d’après les principes démontrés en Géométrie , leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues , il en résulte encore que,

2° Dans le mouvement uniformément accéléré , les chemins décrits , au bout de deux temps quelconques et à compter de l’origine du mouvement , sont' entre eux comme les carrés de ces temps.

3 ° Ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les carrés des vitesses acquises au bout des temps correspondons.

I 10. Formules relatives au mouvement uniformément accéléré. Lorsque , dans le mouvement que nous considérons, on se donne la vitesse ed acquise au bout d’un temps quelconque Oe , par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite O lé qui la représente, est entièrement déterminée; c’est-à-dire qu’on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l’espace qui répondent à un autre temps quelconque.

En effet, représentons par e, , v, le chemin et la vitesse <jui répondent à la première seconde ; soient E, V le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes , représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l’origine du mouvement ; on aura d’abord, en ■vertu de la première des propositions ci-dessus ,

e,=^,X E=^VXT-,

puis, eij vertu de la deuxième,

e,: e:: 1*X TXTouT’;

d’où l’on tire

puis enfin, en vertu de la troisième,

e, ou >, : e : : : v 1 -, d’où v*=2v,xe.

Nous avons d’ailleurs, en vertu même de la définition du mouvement uniformément accéléré (107),

* a>, : v:: i":t 5 d’où v=r,xT.

Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités E, V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin e, ou la vitesse v, qui correspondent à l’unité de temps i"> il ne s’agira que de remplacer chaque lettre par le nombre d’unités de temps ou de longueur qu’elle représente , et d’effectuer les opérations indiquées (*3.

III. Cas où le corps part avec une vitesse déjà acquise. Dans ce qui précède , nous avons supposé que le corps partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite Oh', qui donne la loi de son mouvement, passait par l’origne O des temps ; mais , s'il avait déjà une vitesse acquise antérieurement, cette droite passerait par le point Ô r (Pl. I, Fig. 28), extrémité de l’ordonnée 00 ’ qui repré-

j*) La relation E i v, XT 1 , et la relation V’ rr: av X E qui indique que la vitesse V est moyenne proportionnelle entre iv, et E, ou entre le double du chemin décrit dans la première seconde et celui qui est décrit au bout du temps T, présentent seules quelques difficultés pour le calcul de T et de V ; mais on peut parvenir au résultat par le moyen des constructions graphiques connues , ou par les tables que nous ferons connaître plus lard , ou enfin par l extraction directe de la racine carrée du quotient dé aE paru, et du produit 3v, XE, qui donnent, en chiffres, les valeurs de T * et de V*.

sente celle vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse cc', qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l’origine O du mouvement, se composera de la vitesse cc", égale à la vitesse initiale O O", augmentée de la vitesse de", que le corps acquerrait, sous l’action de la force motrice coustante et au bout du temps correspondant Oc ou O'c", si le corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent; car la droite O'd' donne, dans ce cas, par rapport à O'B', prise pour axe des temps, la loi de l’accélération de la vitesse. Connaissant donc la vitesse que la force imprimerait au corps au bout delà première seconde, s’il partait du repos, on aura tout cc qu’il faut pour construire Od' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à Od: d’où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mouvement , et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la ligure , si l’on se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu’il s’agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps au bout du temps Od lequel est ici représenté par l’aire du trapèze Odd'O'i on apercevra, de suite, qu’il se compose du chemin 00'd n d, qui, pendant ce temps, serait décrit uniformément, en vertu de la vitesse initiale OO' , augmenté de celui O 1 d'd " , qui dans le meme temps, serait décrit, sous l’action de la force ntotrice constante et d’un mouvement uniformément accéléré , si le corps partait du repos au lieu de partir avec une vitesse déjà acquise. Or nous avons appris ci - dessus à calculer l’un et l’autre de ces chemins.

1 1 2 . Du mouvement uniformément retardé. Si nous supposons maintenant que la force motrice constante, au lieu d’augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale OO' (Fig. 2 q), la diminue au contraire à chaque instant, le mouvement sera alors uniformément retardé. Eu menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse cd , qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l’origine O du mouvement, n’est autre chose que la vitesse primitive OO* diminuée de la vitesse c'c" que le corps acquerrait, sous l’action de la force motrice, au bout du temps Oc, si ce corps partait du repos.

L’aire du trapèze OOVc étant encore ici la représen-

talion du chemin décrit au bout du temps Oc, en vertu; du mouvement retardé , on voit que ce chemin est égal à celui OO'J'c qui serait décrit uniformément , pendant ce même temps, et avec la vitesse primitive OO', moins celui O 'JJ 1 , qui , flans ce même temps , serait décrit , sous l'action de la force motrice constante et d’un mouvement uniformément accéléré , si le corps partait du repos au lieu de posséder une vitesse déjà acquise. On pourrait donc encorecalculer , dans le cas actuel et au moyen de la figure , toutes les circonstances du mouvement, si seulement on connaissait la vitesse initiale OO f ainsi que la diminution de vitesse JJ, due à la force retardatrice » au bout d’un temps quelconque Oc, ou . si l'on veut, à la fin de la premièe secondede temps écoulé.

Supposons, entre autres, qu’on veuille trouver le temps Oe' au bout duquel la force motrice aura éteint entière-: ment la vitesse au corps; on aura, parles triangles semblables O 'Je? et OO'e , la proportion *

OO'-x'i" OO»

JJ 1 '. O l c r ou Oc^.'I IOO'IOe; d’où Oe= *

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis l’instant où la force retardatrice a commencé son action jusqu’à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné par lasurface du triangle OO'e, ou par le produit

iOO'XOc

=tOO'X^ =

cc'