PP* (V — V

Ainsi on pourra, dans la vue de simplifier un peu les calculs, se servir de cette dernière formule au lieu de celle qui contient les masses; quant à la précédente, on doit bien voir maintenant qu’elle est absolument fautive. On pourra d’ailleurs appliquer des simplifications analogues aux diverses autres formules ou résultats des calculs concernant le choc des corps.

l 65 . Comparaison des effets des chocs et des pressions simples. On a quelquefois essayé de mesurer directement les chocs par les pressions ou les poids: ainsi l’on a dit , d’une manière absolue, qu'un certain poids , tombant de telle hauteur sur un corps , équivalait à une pression de tant de kilogrammes , exercée sur ce corps : or, il est bien évident que ces deux choses sont tout-àfait distinctes, et ne peuvent se rapporter à la même unité de mesure, dans le sens absolu dont il s’agit. Mais il en est tout autrement quand on entend parler des elfets mêmes que peuvent produire les chocs et les poids ou pressions simples qui agissent sur les corps sans vitesse acquise ; car un poids posé, par exemple, sur une certaine substance , s’y enfonce ou la comprime plus ou moins ( 63 ) , et développe , dans sa descente , une quantité de travail (89) qui est tout-à-fait comparable à la force vive que

APPLICATIONS , etc. l33

perdrait un autre corps (161), pour produire la même compression , le même effet.

Dans les deux cas, on a à considérer une suite de pressions variables à chaque instant , et qui se succèdent , sans interruption quelconque, tout en produisant le changement do forme du corps. Or cette succession n’est pas une pression simple et uniqiië ; on ne peut pas non plus la mesurer en kilogrammes par une somme de pressions, puisque cette somme est infinie, même pour un très-petit temps de l’action des forces et pour un mouvement extrêmement lent; mais, comme il y a à la fois pression ou effort et chemin décrit dans chaque instant très-petit , il y aura aussi un petit travail développé dans cet instant ; et c’est la somme finie de ces.travaux partiels qui , dans tous les cas , mesure l’effet produit.

Il est bon de remarquer d’ailleurs que les mêmes géomètres qui mesurent les effets du choc par des sommes de pressions, nomment ces sommes des forces de percussion , et les considèrent comme égales aux quantités de mouvement qui ont été imprimées ou détruites dans l’acte du choc ; tandis que , d’après l’autre manière de voir, qui est aussi simple et d’ailleurs parfaitement d’accord avec les résultats de l’expérience, nous sommes conduits naturellement à mesurer ces mêmes effets du choc par la force vive directement employée à les produire.

Applications particulières relatives au choc direct.

166. Exemple du choc d’un corps qui tombe , d’une certaine hauteur, sur une substance plus ou moins molle. Supposons qu’on laisse tomber, d’une certaine hauteur, un corps cubique et trèsrésistant P, fig. 38 , tel qu’un cube de fer pesant 3 oo kil. , sur une substance plus ou moins molle, terminée par un plan de niveau AB , et dans laquelle il pénètre par une de ses faces ab, parallèle à ce plan. Soit j to , 3 o la hauteur b'c d’où le cube est tombé avant d’atteindre AB, et o“,oa la quantité totale bc de l’enfoncement à l’instant où le choc est terminé ; il sera donc descendu réellement de la hauteur i m , 3 o- 4 -o“,oa= i m , 3 a, et la quantité de travail développée par la pesanteur, dans cette descente, sera mesurée par le produit 3 oo l X i“, 3 a — 396*“ ; c’est donc là aussi la mesure du travail nécessaire pour produire l’enfoncement des o**,oa avec des circonstances semblables, ou pour produire un effet identiquement égal.

Cette conséquence résulte immédiatement de ce qui a été dit précédemment (i 58 et suiv.) sur le choc des corps durs qui rencontrent des corps mous ou privés d’élasticité ; car ici le corps P atteint le plan AB avec une force vive égale à 2.3oo k . 1 “, 3 o= 780 ( 1 22) , et cette force vive peut être considérée comme presque entièrement consommée (162) pour produire le changement do

l34 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

forme de AD, attendu que l’altération du cube est négligeable, et que la masse de la substance AB qui reçoit le choc, étant ici censée très-grande par rapport à celle de P, ou étant censée faire partie du sol, soit directement, soit par l’intermédiaire des corps qui la supportent, la vitesse, et par conséquent la force vive conservée après le choc, sera extrêmement petite (160 et suiv.), de sorte qu’on pourra la négliger par rapport à celle que possédait P avant le choc. Or cette dernière force vive se convertit, à partir de l’instant où le corps atteint le plan AB, en une quantité de travail égale (i 36 ) à la moitié de sa valeur, c’est-à-dire à Sço 1 "; de plus, la gravité y ajoute, pendant que le corps s’enfonce, une quantité mesurée par le produit du poids 3 oo k de ce corps et de la hauteur bc de l’enfoncement 5 donc , au total, la résistance qu’éprouve le cube pendant qu’il pénètre dans la substance AB et de la part de cette substance, développe bien réellement, contre le mouvement , une quantié de travail égale à 390'“-)- 3 oo l .o",oa = 390 km tP”’ = 396 knl , quelle que soit d’ailleurs la manière dont varie l’intensité propre de cette résistance aux divers instans de l’enfoncement.

Maintenant, si l’on pose doucement, sur AB, un prisme vertical H de même base que le cube , et dont la hauteur et le poids soient tels qu’au bout d’un temps plus ou moins long, il s’enfonce des mêmes 2 centimètres bc , la quantité d’action que la pesanteur aura développée, sur le prisme, pendant sa descente de cette hauteur, et qu’aura consommée la résistance de AB, sera le produit de o m ,oa par le poids II de ce prisme, c’est-à-dire o“,oaXR. Mais, comme les effets produits par le prisme et par le cube sont identiques , les quantités de travail que ces effets supposent, de la part de la résistance de AB , doivent être regardées aussi comme égales, et partant on a

R X o-, o» = 3 9 6 km ; d’où R = ^ = 1 9 8oo ki '.

Tel est donc le poids qui pourrait produire , dans un temps plus ou moins long, un effet égal à celui qui résulte, dans un temps généralement très-court, d’un poids 66 fois moindre, lancé avec la vitesse de 5 ”,o 5 due à la hauteur de 1 ”, 3 o (si 8).

1 67 . Calcul hypothéti 'que de la durée de l’enfoncement produit par le choc. La valeur effective du temps que le corps P met à s’enfoncer des o”,02 ci-dessus, ne peut s’obtenir qu’autantque l’on connaîtrait, par de 3 expériences spéciales, la loi que suit la résistance du sol aux divers instans, ce qui n’est pas., Mais , pour offrir un exemple de calcul, nous supposerons la résistance constante, ou plutôt nous la supposerons remplacée , dans les divers instans , par sa valeur moyenne (y 3 ) ; de sorte qu’elle sera censée (107 et 112) retarder uniformément le mouvement du prisme ou du cube.

APPLICATIONS , etC.

Or nous savons que , pendant la durée du choc, elle développe une quantité de travail égale à 3 q 6 ïm , donc (j 3 ) elle a pour va-

leur moyenne — — = îqSoo 111 ; c’est-à-dire qu’elle est précisément

égale au poids du prisme qui produit le même enfoncement ou le même effet ; ce à quoi on devait bien s’attendre en la supposant tout-à-fait constante (*). Cette résistance étant directement opposeé à l’action du poids des 3 oo kl1 du cube , ce dernier sera sollicité , pendant Renfoncement, par une force motrice constamment égale à J 9800^ — 3 oo k ru 1 95oo k, ‘, et agissant, de bas en haut, pour retarder son mouvement primitivement acquis, ou pour détruire la vitesse de 5 m ,o 5 qu’il possède à l’instant où il atteint AB.

Avec ces données, il ne sera pas difficile de trouver le temps que la résistance mettrait à éteindre complètement la vitesse en question ; car puisqu’on la suppose constante, elle imprimerait , au bout de l’unité de temps, une vitesse V, qui sera donnée par la

formule F=MV, ou V

Alt

du N° i 3 a : or ici F=i95oo k , 3 oo l ig 5 oo

^-^ = 30 , 58 ; donc =637 ,67. Mais, puisque

la force constante est capable d’imprimer la vitesse de 637“, 67 au bout d’une seconde, il est évident (110) qu’elle mettra, à imprimer ou détruire la vitesse de 5 m ,d 5 , un temps t qu’on obtiendra au moyen de la proportion 637”, 67 t 1 " î 5 m ,o 5 t ; d’où 5 ,o 5 1

t = ^ = o",oo8 , ou — - de seconde à peu près.

Les mêmes résultats s’obtiendraient immédiatement d’ailleurs

au moyen de la formule F=M*-du N° i 3 o, en observant qu’ici

les raisonnemens sont applicables à une vitesse et à un temps quelconque; car elle donne pour le temps / qui répond à la vi-

tessa de 5 ,0 5 , /= — - — =r — - — - — ■ — = o ',008 environ ,•

comme ci-dessus.

1 68. Cette durée est d’autant moindre que le corps choqué est plus raide. Nous venons de trouver que , dans l’hypothèse d’une résistance constante, le temps nécessaire pour produire Renfoncement des 2 e , est de 8 millièmes de seconde environ. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante, assez dure pour

(*) Puisque la résistance est ici égale au poids du prisme , ce dernier ne s'enfoncerait pas , conséquence qui prouve assez que l’hypothèse d'une résistance constante n'est point admissible ; cette résistance croit nécessairement à partir de l’instant où l'enfoncement commence , et c’est ce qui parait évident en soi , vu la facilité qu’a alors la matière de se déplacer latéralement ou sur les côtés du cube et du prisme.

que l’enfoncement fût seulement deo m ,ooi , dans les mêmes circonstances, on trouverait, en recommençant les calculs qui précèdent , que le poids R du prisme qui produirait cet enfoncement ,

serait de J 12 ÎL — 3 o 6 ooo Vl1 , et que la force de réaction qui agit

pendant le choc, aurait pour valeur moyenne ces mêmes 396000 1 diminués de 3 oo l ou 3q5700 1 ' 1 , qu’enfin la durée de l’enfoncement serait seulement de o",ooo39, ou environ vingt fois moindre que dans le premier cas; par quoi l’on voit combien doit être excessivement courte la durée du choc des corps raides tels que le marbre, l’acier , l’ivoire, dont les dépressions sont quelquefois si faibles qu’il est comme impossible de les apprécier par des moyens directs.

A la vérité , nous avons supposé , pour parvenir à ces résultats , que la résistance des corps à l’enfoncement était constante; mais la même conséquence peut se déduire de nos principes quelle que soit la loi de la résistance; car la force vive détruite, par exemple, pendant la première période (1 56 ) du choc de deux corps quelconques ou pendant leur compression, étant généralement très-comparable à celle qu’ils possédaient avant le choc, il en sera de même ( 1 36 ) du travail développé par leur force de réaction réciproque F. L’enfoncement étant donc extrêmement petit , il faut nécessairement (97) que la courbe du travail O a'b'd .... (PI. I, Fig. 26), s’éloigne considérablement de l’axe OB desabscises, du moins à compter d’une petite distance de l’origine; de sorte que les ordonnées, qui mesurent les valeurs de la force de réaction F, devront aussi être extrêmement grandes. Or de là on

conclut, sans difficulté, soit par la formule /=- - déjà citée,

soit par la construction de la courbe des vitesses (i 34 , Fig. 3 a), que le temps, nécessaire pour produire l’enfoncement ou la compression, doit être, de son côté, d’autant plus petit que les valeurs de F sont elles-mêmes plus considérables et l’enfoncement total moindre. Mais, attendu que l’aire comprise entre cette dernière courbe et l’axe des abscises mesure effectivement les espaces décrits ou les enfoncemens , il n’est pas même nécessaire de recourir à la courbe des pressions, fig. 26, pour voir que, si l’enfoncement total est extrêmement petit tandis que la vitesse conserve une grandeur donnée, la durée du mouvement doit elle-même être extrêmement courte.

169. Observations générales sur la communication du mouvement par le choc. C’est à cause de l’excessive petitesse de la durée du choc des corps très-résistans, que les mécaniciens se sont crus autorisés à regarder généralement comme entièrement nulle cette durée, et que, par suite , ils ont été conduits à supposer inli-

APPLICATIONS, CtC. 187

nies les forces do réaction qui se développent pendant la compression réciproque des corps. Mais nous voyons bien clairement maintenant que , puisqu’il n’existe pas de corps infiniment durs, on ne peut pas dire, non plus, en termes absolus, qu’il y ait changement brusque ou instantané de leur vitesse; la communication du mouvement par le choc ne diffère , en effet , de celle qui a lieu par les forces motrices ordinaires , telles que la pesanteur, etc. que parce que généralement cette communication s’opère dans un temps réellement très -court, et que la force de réaction acquiert ainsi une très-grande valeur. Encore devons-nous remarquer qu’il arrive souvent que des corps réagissent , l’un sur l’autre, par leurs vitesses acquises, sans que la pression soit excessive , sans que la durée de la réaction soit très-courte ; et que réciproquement des forces motrices, qu’on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires , telles que celles qui résultent, par exemple, du ressort des gas de la poudre, etc., communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande dans Un très-petit temps , attendu la grande intensité de leur action. La distinction qu’on voudrait établir entre des phénomènes qui ont autant de connexion entre eux, ne pourrait donc servir qu’à compliquer l’étude de la Mécanique, en y introduisant, sans utilité immédiate, un ordre de considérations qui n’y est point indispensable.

1 70* Utilité du choc dans les arts ; battage des pilots de fondation. Maintenant on doit bien concevoir comment il est possible de comparer les effets des chocs, sur les corps, à celui des

Ï ircssions ordinaires qui produisent des mouvemens plus ou moins ents; on conçoit très-bien aussi que, le choc produisant, dans un temps extrêmement court, un travail ou un effet comparable à celui que produisent, dans un temps généralement beaucoup plus long, les pressions ordinaires, il y ait souvent avantage, nécessité même d’employer ce mode d’action dans les arts , malgré les inconvénient qui y sont attachés (162). Car, toutes les fois que la pression ou l’effort direct dont on pourra disposer pour- produire un travail mécanique, sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudra recourir au choc qui développe des pressions considérables et toujours en rapport avec la force de réaction.

On s’expliquera encore aisément le but qu’on se propose en plaçant, sous les fondations des édifices très-lourds, tels que les piles de ponts, les palais, les remparts, etc., de forts pieux ou pilots affûtés vers le bas et enfoncés , sous le sol , à coups de mouton. Le poids dont est chargé verticalement chaque tète de pilot parles constructions établies directement au-dessus, représente celui R du prisme dont il a été question au N" 166, et le mouton remplace également le cube; seulement ici ce n’est pas l’enfoncement de la tête du pilot qu’il s’agit de produire, muis

Di

l38 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

bien celui île sa pointe inférieure , dans le sol ; c’est pourquoi on cherche à éviter le premier enfoncement , qui consommerait, en

Î iure perte, une partie notable de la force vive du mouton, et ’on a soin de consolider la tête du pilot par une forte frette, quand la violence du choc pourrait la déformer rapidement; et, comme il ne s’agit pas davantage d’en briser la pointe , on a l’attention de la durcir au feu ou de la coiffer d’un sabot en fer. Enfin on dresse, on arrondit, le mieux possible, les .côtés du pilot pour diminuer les résistances qui s’opposent à son enfoncement : de cette façon , la plus grande portion de la force vive du mouton est transmise à l’extrémité inférieure du pilot, et sert immédiatement à l’enfoncer dans le sol jusqu’à ce que, arrivée sur le roc , le tuf ou quelqu’autre terrain solide, les coups redoublés du mouton ne puissent plus la faire descendre, d’une manière sensible, auquel cas on dit que le pilot est parvenu au refus.

171. Conditions du battage de pilots et conséquences qui en résultent. Ou exige ordinairement, pour un pilot de o“,a 5 de diamètre et de 3 à 4 “ de longueur, que l’enfoncement produit par chacune des dernières volées de 3 o coups , d’un mouton de 3 oo à 4 oo lil , tombant d’une hauteur de i m , 3 o, soit, au plus, du 4 à 5 millimètres; moyennant quoi il devient permis, d’après les observations du célébré l’erronet, de charger chaque tète de pilot jusqu’à 25ooo v ‘ l , sans qu’on ait à craindre aucun accident fâcheux pour la solidité des constructions.

Pour comparer cette donnée de l’expérience avec les résultats du calcul, nous observerons qu’ici les 3 o coups de mouton équi. valent (166) à une quantité de travail de 3 oX 3 oo l X i "‘,3 rtc 1 1 yoo lm au moins. Ce travail produisant un enfoncement de o°',oo5 au plus, le poids qui, placé sur la tête des pilots, produirait le même enfoncement, serait d’au moins 2 34 oooo k ' 1 :

ce poids est environ 94 fois celui que Perronet assigne comme limite de la charge des- pilots; mais il faut observer 1» que les bois sont susceptibles de s’altérer plus ou moins à la longue , de sorte qu’ils peuvent alors s’écraser ou s’affaisser sous une charge moindre que celle qu’ils seraient capables de supporter momentanément; 2° que l’élasticité naturelle du bois et du sol qu’on frappé à coups de mouton, empêche que toute la force vive soit employée contre les résistances de ce sol, et tend même à diminuer la profondeur de l’enfoncement en relevant, à chaque coup, le pilot d’une certaine quantité; 3 ® enfin qu’il ne convient pas non plus que l’on statue sur un abaissement df o m ,oo 5 , pour les fondations d’un édifice qui doit présenter les caractères de la plus grande solidité , tel qu’un pont, etc. C’est pourquoi L’on peut admettre, d’après la règle posée pnr Rondelet, qu’en général, quand il s’agit de constructions monumentales, on 11e doit prendre, pour charge des pilots, que la 94'“' partie du poids qu’assigne la théorie.

APPLICATIONS, CtC. l3()

' Les calculs qui précèdent supposent d’ailleurs que la force vive du mouton soit tout entière consommée contre les résistances du sol, qui s’opposent à l’enfoncement, tandis que, dans la réalité (170), une portion plus ou moins grande de cette force vive est consommée pour écraser la tête du pilot : on peut même admettre que le ressort du bois est tout-à-fait négligeable dans les circonstances actuelles où le choc s’opère avec violence ; de sorte que ce choc finit à l’instant même (i 58 ) de la plus grande compression éprouvée par la tête du pilot. Il est aisé de juger, d’après cela , que les observations du N° 162 sôht applicables au cas actuel; c’està-dire que, pour diminuer, le plus possible, la perte inutile de force vive sur la tête du pilot, il convient de donner au mouton un poids qui excède de beaucoup celui de ce pilot; on doit par conséquent employer des moutons d'autant plus lourds , que les pilots à chasser le sont eux-mêmes davantage. Dans la pratique, le poids du mouton est assez ordinairement compris entre deux fois et trois fois celui du pieu, de sorte que (162) la perte de force vive est aussi comprise entre le et le j de celle qui opère le choc : en se servant de moutons encore plus pesans, la perte diminuerait , mais la manœuvre deviendrait embarrassante dans bien des cas, et occasionnerait d’autres consommations inutiles du travailmoteur.

La perte de force vive, provenant de la déformation de la tête des pilots, étant donc généralement une fraction assez faible, et d'ailleurs à peu près constante, de celle qui est imprimée au mouton, il résulte, de ce qui précède (166), que les enfoncement ou effets du choc de divers moutons doivent être proportionnels d leurs poids ainsi qu’à leurs hauteurs de chute , ou aux carrés des vitesses qu’ils acquiérent au bas de ces chutes ; ce que confirme parfaitement l’expérience, non-seulement dans l’opération du battage des pieux de fondation , mais encore dans une infinité d’autres circonstances où les effets sont directement comparables, comme lorsqu’on laisse tomber un corps dur sur une pièce de bois , de fer , etc. , posée horizontalement sur deux appuis.

De la communication dit mouvement par le ressort des gaz , ou du tir des projectiles .

VJOl. Observations générales. Nous avons déjà donné un aperçu (i38) de la manière dont l’élasticité de l’air comprimé fortement dans le réservoir d’un fusil à vent, peut servir à lancer dès balles ou à convertir une certaine quantité de travail , accumulé dans cet air, en force Vive. Or, en admettant, comme on le fait ordinairement , que la tension des fluides élastiques suive exactement la loi de Mariotte( 16 ) quelle que soit la manière dont, s’opère leur compression ou leur débandement, c’est-à-dire leur détente , non-seulement on pourra calculer la vitesse totale im-

primée à la balle à l’instant où elle sort du canon , au moyen de la quantité de travail développée, sur elle, par les pressions successivement décroissantes du volume d’air qu’on laisse échapper, à chaque coup, de l’intérieur du réservoir, mais encore on sera en état (129 et suiv.) de calculer toutes les autres circonstances de son mouvement pendant le temps où elle chemine dans l’ame du canon, et de résoudre plusieurs questions intéressantes telles que de trouver la vitesse de recul du fusil, le temps que la balle met à parcourir l’ame, la longueur de cette ame qui donne le plus grand effet ou la plus grande vitesse de sortie, vitesse qu’on nomme aussi la vitesse initiale des projectiles dans l’art de la Balistique.

Nous n’entreprendrons pas de résoudre ici toutes ces questions, parce que le fusil à vent est d’un usage très-borné de nos jours , et que nous avons à traiter divers sujets, plus ou moins analogues, qui sont d’un intérêt plus immédiat et également très-propres à servir d’exemples de l’application des principes. Nous ferons seulement remarquer, relativement à la recherche du maximum «l’effet, que la plus grande vitesse imprimée à la balle, répond à l’instant même où la pression de l’air intérieur est, par suite de sa détente , réduite à la pression de l’air atmosphérique extérieur (37), augmentée du frottement qu’éprouve la balle de la part des parois du canon : pression et frottement qu’il n’est permis de négliger qu’autant que l’ame aurait peu de longueur, ou que ces résistances demeureraient constamment , et de beaucoup, inférieures à la force motrice qui pousse la balle en avant ; or c’est ce qui a lieu précisément dans le tir ordinaire des projectiles, par le moyen de la poudre, dont nous allons maintenant nous occuper avec quelques détails. Nous reviendrons plus tard sur ce qui concerne l’air en particulier.

173 . De la communication du mouvement par les gaz de la poudre. Le tir des balles et des boulets , par l’inflammation d’une certaine quantité de poudre enfermée dans le fond de l’ame d’un canon, et à laquelle on a mis le feu, présente des circonstances tout à fait analogues à celles qui sont relatives au fusil à Vent; car ce tir consiste encore (99) à employer le ressort des gaz de la poudre, qui sont le résultat de sa combustion, pour imprimer progressivement la vitesse au projectile : ces gaz , en se dilatant par l’action de la chaleur (26) , remplissent ici , en effet, la fonction d’un ressort véritable : ils pressent le boulet avec des forces qui, partant de zéro, croissent d’une manière extrêmement rapide, jusqu’à un certain terme qui s’approche plus ou moins de l’instant où la poudre est entièrement enflammée, puis décroissent ensuite à mesure que les gaz se refroidissent ou que leur température baisse (21 et suiv.) par le contact des corps environnons , à mesure que les pertes ou fuites de ces gaz augmentent de

APPLICATIONS^ etc. l/fl

plus en plus, par l’effet du vent ou jeu du boulet dans la pièce et de l’ouverture assez forte de la lumière, à mesure enfin que le boulet , cheminant en avant , agrandit , de plus en plus , l’espace occupé par les différens gaz ( 16 ).

Quoiqu’on ne connaisse ni la loi de ces pressions ni celle de l’inflammation nécessairement progressive de la poudre, on peut cependant , déduire , de nos principes , plusieurs conséquences conformes aux résultats bien connus de l’expérience; car le cas est ici tout -à -fait semblable à celui de la communication du mouvement parle choc des corps ( 1 54 et suiv.), où l’on ne connaît aucunement la loi que suit la force de réaction, et où l’on parvient néanmoins à diverses conséquences rigoureuses et utiles. Aussi doit-on s’attendre à voir reparaître un ordre de considérations analogues , et qui se présente généralement toutes les fois qu’il s’agit de la communication du mouvement par la réaction mutuelle des corps.

Comme on ne saurait trop insister sur les principes de pareilles applications, je pense qu’il ne sera nullement superflu de revenir sur les démonstrations très-simples qui en ont déjà été données précédemment, N°* i3i et i53.

Soit F, à un instant donné, la force motrice qui pousse en avant le boulet et qui presse, en sens contraire et avec une intensité égale ( 1 4 ), le fond de l’ame de la pièce; soient P et P' les poids du boulet et de la pièce y compris son affût etc. ; soient v et v 1 respectivement les petits degrés de vitesse qui leur sont imprimés à un instant quelconque et dans la durée du très-petit temps /; on aura (i3o) la proportion

Fi P \\ v\ gt y ou Pv =: F Xgt.

On aura , de même , pour la pièce et son affût , à

FiP l '.’.v l '.gt, ou PV=FXg<;

ainsi Pv=P'v', ou vit/üPiP,

comme on le conclurait immédiatement des résultatsdu N° i3i. Par conséquent les degrés de vitesse imprimés au boulet et à la pièce , dans un très-petit temps , sont réciproquement proportionnels aux poids de ce boulet et de cette pièce.

Puisque le produit PXv répond au petit temps /, la somme des produits partiels, relatifs aux divers instans écoulés depuis la point de départ du boulet jusqu’au moment où , quittant la pièce , il a acquis toute sa vitesse V, aura pour valeur le produit du poids P par la somme des degrés de vitesse t>, successivement imprimés, ou par la vitesse totale V, c’est-à-dire P X V. La somme des

^ produits P' X t/, pour le même intervalle de temps, sera pareilement P XV', V' étant la vitesse finie communiquée à la pièce et à l’affût quand celle du boulet est V. Mais les petits produits PXv et P'Xt/, relatifs aux divers instans écoulés, sont conti-

l4? MÉCANIQUE INDUSTRIEUSE.

«uellenfent égaux entre eux d'après ce qui précède^, donc aussi PX V = P'XV'j c’est-à-dire que

Les -vitesses finies, imprimées à la pièce et au boulet à Fins* tant où celui-ci a acquis tout son mouvement , sont réciproque -j trient entre elles comme les poids de cette pièce et de ce boulet.

1 74 . Observations sur la vitesse du recul des pièces. Les gaa

de la poudre continuant à agir sur le fond de l’ame après l’instant où le boulet a quitté la pièce , on voit que la vitesse totale de cette pièce ou du recul sera un peu plus forte que ne le suppose la proportion ci-dessus. On voit aussi pourquoi le recul est beau-. Coup moindre quand on tire à poudre seulement , que quand on tire à boulet. On se rappellera d’ailleurs (17a) qu’il faudrait , pour rendre plus exacts les raisonnemens ci-dessus , diminuer Fde toute la pression exercée , dans le sens opposé au mouvement , par l’air atmosphérique, sur la surface extérieure du boulet, ainsi qtte du frottement qu’il éprouve de la part de l’ame de la pièce , pression et frottement qui «ont toujours, comme On le verra cidessous, très-faibles par. rapport à la pression totale de la poudre. Enfin on remarquera que, le poids P du boulet étant généralement très-petit par rapport au. poids P' de la pièce et de l’affût, la vitesse V' est aussi très-petite par rapport à V: dans la plupart des cas , P' est au moins 3 oo fois P$ ainsi la vitesse du recul surpasse rarement le 3 oo m « de la vitesse communiquée au boulet, à sa sor-. tie de la pièce. 1 -,l ;■ 1 - ? • - v - .. 1 *• . .1

çi . ■ ■ . !" . "J : ■ I . ,i r. I ' • - î’i

1 75 . Mesure du travail total développé par la poudre contre la pièce et le boulet. Pour calculer directement cette quantité de travail, il faudrait (72) connaître, par expérience , la loi ou la courbe qui lie les pressions F aux chemins correspondans décrits par le boulet dans l’ame de la pièce, ce qui n’est pas jusqu’à présent. Mais, comme nous savons C r 36 ) que cette quantité de tra-, vail est la moitié de la force vive imprimée, nous pourrons l’obtenir au moyen des Vitesses V et V' acquises effectivement par le' bôulet èt la pièce ; ce qui suppose toujours qu’on néglige les résistances étrangères à l’inertie, vu leur peu d’influence. En effet, la force vive du boulet étant (126) égale à j MV 1 , et celle de la pièce à { M'V'\ la quantité de travail totale, dépensée par la poudre, a pour mesure (i 36 ),

' P pr

,« *•••• ** tl g g

Considérons, par exemple, une pièce de 24? dont le boulet pèse environ et dont la charge ordinaire est approchante de 4 kl ;

on sait, par expérience, que la vitesse totale V de ce boulet s’é-

1 oigne peu de 5 oo“ par seconde j j - X V 1 sera donc égal ,g étant