MM'V

rement que la perte de force vive (161) sera aussi

au double de la quantité de travail nécessaire pour produire cette impression y comme pour le cas où le milieu est sans élasticité, et ne reçoit d’ailleurs aucune flexion générale sensible.

228. Applications et formules particulières relatives au pendule balistique. Ces dernières circonstances se présentent, entre autres, dans les expériences qui ont pour objet de déterminer directement la vitesse initiale des boulets de canons au moyen du pendule balistique , dont nous donnerons la description dans la seconde partie de cet ouvrage. Il nous suffit ici de savoir que ce pendule consiste tout simplement en un gros bloc de bois suspendu verticalement à des tiges très-minces, de manière à avoir toute liberté de se mouvoir à l’instant où il est choque et pénétré par la masse du projectile qu’on lance perpendiculairement à une de ses faces. Or on voit, d’après ce qui vieVit d’être dit, que, non-seulement on pourra calculer sa vitesse U, à l’instant de la plus grande impression , ou de la pénétration complète du boulet dans son intérieur, quand on connaîtra la dureté k de ses parties (218) ainsi que la vitesse d’arrivée V du projectile, mais qu’on pourra, à l’inverse, calculer cette dernière vitesse au moyen de la première, par l’égalité (M-j-MO U = MV du N" 1 56 , et déterminer pareillement la valeur du multiplicateur k de la résistance, à l’aide de cette autre égalité (219 et 226)

|X M V’ou

quand on connaîtra en outre , d’après l’expérience , la valeur de la pénétration totale E subie par le pendule.

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse encore du projectile des N 01 iy 5 et 219, lancé, avec la vitesse de 5 oo mètres, contre un bloc de bois de chêne pesant 1 8oo Vli ; la vitesse U, imprimée K ce bloc à la lin de l’impression, sera, d’après la formule citée du N" i 56 , égale à

MV

ou

P y iSOO 1

X 5 oo>» = 7-57500’

a 1 0 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

et, comme on a ici ( 219 ) k=. 5 z ooooo k , j XQ m<, ,ot7tS

— o“ 1 ,o35a , on obtiendra , pour la profondeur de l’eufonceumnt du projectile dans le bloc pendule (175),

1 * îMV»

E— P (-I M X knd 1

aXrSagSS *” 1 35a x5ao

au lieu de i m ,^6 <|ui a été trouvé, N° 219, pour le cas où le mouvement du bloc serait ieut-à-fait empêché , soit par suite d’obstacles étrangers, soit parce que son poids serait, pour ainsi dire, infini par rapport à celui du boulet.

Si, à l’inverse, la vitesse U= 3 m , 3 i t eût été donnée immédiatement , d’après l’observation du mouvement qu’acquiert le pendule, aussi bien que la profondeur E— î^ôô de l’enfoncement du projectile dans l’intérieur de sa masse , on eût trouvé , à l’aide des mêmes formules, V = 5 oo m et Æ =5200 000 k . Par cette manière de procéder, qui a été mise spécialement en usage par Hutton , géomètre que nous avons déjà souvent cité , on obtient donc deux résultats pour chaque expérience, et l’on remplit un double objet d’utilité pour l’avancement de la science.

23 f). Observations et conséquences particulières relatives à la profondeur de P impression. Il est essentiel de remarquer qu’attendu que M-t-M' surpasse M', la force vive qui entre dans la première des égalités ci-dessus , sera aussi moindre que la force vive MV’ possédée par le projectile; de sorte que, tant pour ce motif qu’à cause que la pénétration est toujours accompagnée d’nne flexion générale qui lui est étrangère, la valeur de E, dans le cas dont il s’agit d’un corps mobile, sera généralement plus faible que si ce corps était appuyé , de toutes parts, contre des obstacles solides; et cela d’autant plus que M *"M' surpassera davantage M', ou que la masse M' du corps choqué sera moindre par rapport à celle M du projectile. Il est évident, au surplus, que la même conséquence s’appliqua également au cas où le milieu , sans être parfaitement libre, serait appuyé simplement contre des ressorts très-compressibles ; car ces ressorts, en cédant sous la pression qu’ils éprouvent, absorberaient encore une portion plus Ou moins grande de la force vive transmise au milieu, portion que, à la rigueur on pourrait calculer (97) si l’on savait exacts tentent comment varie, à chaque instant, l’énergie de ces ressorts selon leur état de compression ou de flexion.

En partant de ces données , Qn pourrait arriver à quelques coqséquences utiles relativement aux précautions à prendre quand il s’agit de se garantir de l’atteinte des projectiles , à l’aide de masques couvrons ou de boucliers , plus ou moins épais et consistans , destinés à recevoir l’impression immédiate du choc. On voit,, par exemple, que , si l’on tient à diminuer, autant qu’il est possible, leur épaisseur, il conviendra de ne pas les priver de toute

APPLICATIONS , etC. 3 I I

mobilité, de toute flexibilité, et de les appuyer plutôt par des ressorts très-compressibles, contre le corps à garantir , que par des obstacles ou pièces très-solides ; qu’il n’est pas moins à propos de réduire, au minimum , leur masse ou leur poids, en diminuant, à cet effet, l’étendue de leurs dimensions transversales; de sorte que, sous ce rapport comme sous tous ceux qui précèdent, il y aurait de l’avantage à les composer de plusieurs pièces distinctes et entièrement isolées, mais se recouvrant convenablement les unes les autres.

Pour réaliser, en particulier, la condition d’une grande mobilité , on pourrait notamment appuyer les masques , par des ressorts, contre des chars très-légers et très-roulans, ou contre de petits traîneaux portés sur des rouleaux évidés, etc. De tels dispositifs pourraient bien n’ètre pas les plus économiques et les plus avantageux dans tous les cas; mais ils n’en constitueraient pas moins les masques qui, à égalité d’épaisseur et de matière, seraient capables d’offrir le plus de sécurité , le plus de résistance à la pénétration, s’il était permis de supposer d’ailleurs, comme on l’a fait dans les N” 226 et suivans , que le mouvement se soit effectivement propagé , et la vitesse en quelque sorte disséminée également , dans toute l’étendue de la masse couvrante, à l’instant même où la pénétration du projectile est arrivée à son terme. Or c’est ce qui paraît effectivement admissible pour cet instant, et quand il s’agit de milieux solides très-consistans , d’une étendue médiocre dans le sens transversal , et assez épais d’ailleurs pour ne pas être traversés entièrement par le projectile ; car toutes ces circonstances influent sur la durée de la propagation du mouvement, comme nous allons entreprendre de le faire sentir par le raisonnement et par des exemples.

Pe la propagation du mouvement dans l'intérieur dès milieux de diverses natures , et des effets de sa duree.

23 o. Idée de l’influence que cette durée exerce sur les lois de la résistance des milieux indéfinis. Ce qui distingue essentiellement les corps solides des fluides parlaits, c’est, comme nous 1 avons déjà observé (200) , la grandeur de la force de cohésion qui unit entre elles leurs diverses parties. Dans les fluides, cette force est très-faible, de sorte que leurs molécules, qui sont séparées entre elles (27) par des pores d’une dimension comparable à la leur propre, jouissent d’une mobilité, d’une indépendance de •mouvement pour ainsi dire parfaites; dans les solides et les corps mous, cette force est considérablement plus grande; et si, dans certains corps, tels que les terres légères et sèches, les sables, etc. , qui sont composés de parties plus ou moins grossières et en apparence indépendantes , cette force de cohésion n’existe que trespeu ou même point du tout, elle se trouve, jusqu’à un certain

point, remplacée, quant aux effets, par le frottement et la forcede réaction qui, dans leur contact mutuel, naît de la différence, et de l’opposition do leur mouvement. ■ .t

11 résulte de là, pour les fluides en particulier, que la vitesse ne peut se transmettre qu’avec lenteur aux parties de la masse qui se trouvent à une certaine distance du point où se fait l’im-

Î tression, et que, pour j>eu que cette distance soit grande, ou que a vitesse du mobile soit considérable , le mouvement ne s’y propage, en quelque sorte, jamais. Aussi arrive-t-il, dans ce cas* que la force vive totale , imprimée aux molécules du fluide , se réduit sensiblement à celle qu’ont acquise les parties-qui avoisinent immédiatement le mobile, et dont le nombre ainsi que la vitesse étant directement en rapport avec la vitesse , la forme et l’étendue de ce mobile, permettent (199) de mesurer uniquement, par la force vive imprimée, la grandeur du travail nécessaire , à chaque instant, pour faire cheminer en avant le mobile avec sa vitesse constante, ou pour vaincre continuellement les forces, d’inertie qui, presque seules alors, s’opposent à son passage.

Dans le cas des milieux consistans, au contraire, le mouvement ipiprimé directement par le mobile aux parties en contact, se propage, par l’intermédiaire des forces de cohésion et des résistances, dans toute l’étendue de la masse, avec une rapidité d’autant plus grande que ces forces sont plus considérables. C’est ce que prouve, en effet, la formule FXfcMXv du N° j 3 o, qui donne- Fi

jj, c’est-à-dire un accroissement -v de vitesse d’autant plus

grand, pour un même instant infiniment petit t, et une même masse élémentaire m , que la force F, qui unit cette masse aux parties dont elle reçoit immédiatement le mouvement, est ellemême plus considérable. Il en résulte donc une diffusion , un partage général des quantités de mouvement (i 3 i et » 54 ), communiquées par le mobile aux parties qu’il choque directement, en vertu desquels la force vive transmise au milieu, dépend bien plus de l’étendue entière de ce dernier ou de sa niasse totale, que de la forme extérieure et des dimensions propres du mobile, conformément à ce qui a été admis généralement dans les 1 S 1 0 * i 53 et suivans , ainsi que dans le N* 226.

Voilà pourquoi aussi nous avons pu dire, N° 200, art, a, que* quand un milieu solide a des dimensions pour ainsi dire infinies par rapport à celles du corps dur qui le pénètre, la vitesse qu’il communique aux parties voisines, et dans le sens de son propre mouvement, doit, puisqu’elle est presque aussitôt disséminée dans la masse entière du milieu ,’ être considérée comme tout-à-fait inapréciable (»6o) par rapport à la sienne propre. L’action se réduisant donc sensiblement alors à vaincre ou à détruire et le frottement, et les forces de cohésion qui s’opposent directement au passage du mobile , il arrive que la résistance en dépend

APPLICATIONS, etc. 2l3

presqu’uniquement , et peut leur être censée proportionnelle pour une étendue et une forme déterminées du corps dur.

23 1 . Conséquences générales et observations relatives aux milieux limités. En résumé, on voit que le travail, qui- devrait être dépensé par un moteur pour entretenir, au même état, lé mouvement d’un corps dans l’intérieur d’un milieu résistant quelconque , se compose en réalité , à la fois , et du travail nécessaire pour vaincre les forces d’inertie des molécules de ce milieu , et de celui qui est nécessaire pour vaincre, à chaque instant, les forces de toute espèces qui unissent entre elles les différentes parties. Or la pression totale exercée, sur le mobile, dans le sens de son mouvement, dépend essentiellement des premières forces pour les fluides parfaits , et des secondes pour les milieux qui ont beaucoup de consistance ; mais , pour tous les états intermédiaires qui diffèrent beaucoup de l’état qui constitue la fluidité ou la solidité parfaites , cette pression ne peut s’estimer rigoureusement ni par les simples forcés d’inertie, ni par les simples forces de cohésion du milieu.

Nos raisonnemens supposent expressément d’ailleurs que le milieu soit assez étendu pour que la masse entière ne reçoive , par l’action du mobile , aucun mouvement de transport général sensible, ou que, quand sa masse est limitée et comparable à celle de ce dernier, on ne considère que la portion de travail nécessaire pour produire immédiatement la séparation et le déplacement relatif de ses molécules, abstraction faite du mouvement général imprimé à toute sa masse: cette portion, qui a évidemment pour mesuré le produit delà résistance R, exercée extérieurement contre le mobile , par le petit chemin relatif qu’il décrit à chaque instant dans l’intérieur du milieu , constitue véritablement (223) l’impression et la flexion souffertes par ce milieu. On a pu se convaincre, en effet (226 et suiv.), que, dans le cas cüun milieu Umité, le travail total que devrait développer, contre le mobile, une

I missance extérieure pour entretenir son mouvement absolu dans 'espace, ou, ce qui revient au même, la moitié de la force vive absolue qu’il perd, à chaque instant, a, pour mesure , et le travail qui augmente la vitesse générale du milieu , et le-travail qui produit immédiatement la pénétration et la flexion ou le déplacement relatif des molécules de ce milieu. - .

Nommons Ele chemin absolu décrit, par le mobile, dans l’espace et dans un très-petit temps quelconque, E' celui que décrit pareillement la masse entière du milieu, enfin ele chemin relatif que décrit le mobile dans l’intérieur de ce milieu , en vertu de la flexion générale et de la pénétration que ce dernier éprouve , on a évidemment E==E'-t-e, IIE=RE' -+• Ile 5 ce qui revient au principe énoncé , R étant la pression que le mobile éprouve dans le sens de son mouvement , et RE , RE' étant d’ailleurs équivalena

3l4 MÉCANIQUE industrielle.

(186 et «37), l’un à la moitié de la forte vire perdue par le mobile, l’autre à la moitié de la force vive gagnée par la masse entière du milieu; de sorte que Re=rRE — RE' est véritablement égal à la moitié de la force vive détruite (161 et 226) dans la durée du choc. Quand le milieu limité est un fluide parfait, Re a sensiblement pour valeur la moitié de la force vive due aux mouvemens relatiis qui ont été imprimés aux molécules qui avoisinent le mobile, et elle se mesure comme on l’a expliqué à la lin du N° 199. Quand le milieu est très- consistant, Re a pour valeur approchée le travail même que nécessitent le rapprochement, l’écartement ou la désunion des molécules dont il s’agit, soit entre «lies , soit par rapport aux molécules de la surface extérieure du mobile , et on la mesure comme il a été expliqué N° 216 etsuiv.

a 3 a. Aperçus sur la durée de la propagation du mouvement dans Cintérieur des milieux. Nous avons vu ci-dessus (a 3 o) que, quand un milieu est choqué ou pénétré , en un certain point, par un corps dur quelconque, le mouvement, communiqué aux parties immédiatement en contact , se propage d’autant plus rapidement, à une distance donnée de ce point, que les forces de diverses espèces qui unissent ces parties à celles qui leur sont voisines, ont une plus grande intensité par rapport au poids ou à la masse de ces mêmes parties; ce qui résulte bien clairement, ainsi que nous l’a-

vons expliqué, delà formule du N" i 3 o, qui donne également f“ —

», et dans laquelle on suppose queM est la masse d’une certaine molécule, F la force qui l’unità la molécule voisine déjà en mouvement, et » le degré de vitesse qu’elle en reçoit pendant le temps infiniment petit?. Or il est évident aussi que , pour un même milieu , le temps nécessaire à la propagation du mouvement, croit avec la distance dont il s’agit; car il faut un certain temps /, quelle qu’en soit la petitesse, pour que chaque molécule ait reçu, de la. précédente, ou imprimé à la suivante , son accroissement de vitesse »par l’intermédiaire des forces F qui l’unissent à elles, et cela successivement et de proche en proche; ou , si l’on veut, le temps Croit avec le nombre des molécules interposées entre celles qui tcmclient immédiatement le mobile et celles qui en sont séparées par l’intervalle que l’on considère. Enfin il n’est pas moins évident encore que le temps, nécessaire pour que les molécules, situées à eetfe distance, reçoivent un certain degré de vitesse donné et fini, est d’autant plus petit, à circonstances égales d’ailleurs, que le mobile agit immédiatement sur un' plus grand nombre des molécules du milieu, ou par une plus grande surface ; car chacune des molécules éloignées de celles-là, en recevra, à la fois et dans un temps donné, une plus grande quantité de mouvement.

On voit donc que la durée de la propagation ou de la diffusion générale du mouvement, dans toute l’étendue du milieu , dépend

applications, etc. ai 5

à la fois de la position de ses différentes parties par rapport au centre d impression , de la forme qui limite extérieurement son etendue ou son volume, de la densité et de la force d’adhésion de ces memes parties, enfin de la forme et de l’étendue de la surface agissante du mobile. Quelle que soit, au surplus, l’intensité de la force de cohésion des molécules du milieu , la petitesse de son etendue par rapport à celle de la surface agissante etc., on voit quil secoulera nécessairement un certain temps, fini et plus ou moins facile à apprécier, avant que le mouvement se soit distribue egalement entre toutes les parties , conformément à ce qui a etc avancé dans les N 0, 5 7 et 63, et h ce qu’indique le résultat d’une inimité d expériences relatives à la réaction des corps (*).

233. Exemple particulier de l’influence qu’exerce la durée de la propagation du. mouvement. Nous avons déjà rapporté (5 7 ) qu une balle de fusil traverse une feuille de papier, un carreau de verre , une planche mince librement suspendus , sans leur communiquer une vitesse sensible, ce dont on peut être étonné au premier aperçu; mais, en considérant, d’une part, qu’il faut un temps fini et appréciable pour que la vitesse se propage du centre d impression aux points qui en sont à une certaine distance; et, en considérant, d’une autre, que la feuille ou la planche ci-dessus ayant une faible épaisseur, la quantité de travail, qui se développe ' pendant la durée de la pénétration , est aussi une quantité trèspetite ( 21 9 ) par rapport à la force vive primitive de la balle on s explique facilement la raison du phénomène.

En effet, par suite de cette dernière circonstance, la force vive de la balle sera très-peu diminuée et par conséquent le mouvement très-peu ralenti ; la pénétration aura donc lieu dans un temps excessivement court, et à peu près égal au quotient (48) de l’épaisseur traversée et de la vitesse moyenne , tandis que , par suite de la grande etendue transversale du milieu relativement aux’ dimensions propres du pr ojectile, le mouvement n’aura pas pu,

(*) On remarquera qu’il s’agit spécialement ici du mouvement de transport général des molécules , eu vertu duquel elles décrivent des espaces finis et crotssans avec le temps , et non du mouvement vibratoire de ces molécules (19), par suite duquel elles ne feraient qu’osciller autour de leurs positions moyennes eu s écartant et se rapprochant alternativement les unes des autres. Ce dernier mouvement suit , a certains égards, des lois très-distinctes, quoi- T 11 P mssc ^exister dans un Même corps avec le premier: le plus l,«er ébranlement imprime a une ou plusieurs molécules, suffit pour le produire et c est particulièrement ce mode de mouvement qui produit la sensation dos toiu aigus ou itetoiu graves, selon qu’il est plus ou moins rapide.

Y/ 1 ,* ', l<: ll ’' dcs phénomènes variés auxquels donne lieu la vibration moléculaire des corps , fait aujourd’hui l’objet des recherches de nos plus glands géomètres: elle a etc préparée par les travaux de Chladni, et surtout, par es belles et récentes découvertes qui ont valu, à M. Félix Savai t , la place qu ll occupe a 1 Academie royale des sciences. ’ 1

3l6 mécanique industrielle.

dans l’intervalle très-court dont il s’agit, se propager même àune assez petite distance du point d’action de la balle. Il est vrai que, dans les instans suivans, la vitesse reçue par les parties voisines de celles qui ont été enlevées , se répand, de proche en proche, dans toute l’étendue du milieu , et qu’il en résulte bientôt un mouvement de transport général; mais il est aisé d’apercevoir, par le calcul, que ce mouvement est extrêmement faible dans les hypothèses admises, même en ne tenant pas compte (*) de la quantité de mouvement et de la force vive communiquées à la portion, du milieu, enlevée par la balle, lesquelles sont nécessairement en déduction de la quantité de mouvement et de la force vive qui seraient transmises aux parties voisines, s’il y avait simplement déchirement et non arrachement.

Pour faire ce calcul, on devra d’ailleurs observer i° que , d’après le principe du N° i 54 qui s’applique à un instant quelconque du choc ou de la pénétration, la quantité de mouvement perdue par la balle à l’instant où elle quitte le milieu , est égale à la quantité totale de mouvement qu ont reçue, au même instant, les différentes parties de ce milieu ; a° que la force vive primitrve de la balle se compose (226 et suiv.) de celle qu’elle conserve en quittant le milieu , plus de celle qu’elle a communiquée à ce milieu, plus du double de la quantité de travail qui a produit la pénétration , quantité que nous avons appris ci-dessus à évaluer dans certains cas ; mais ce calcul exigeant, à la rigueur, l’emploi de l’algèbre , et étant plus curieux qu’utile , nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.

Nous nous contenterons de remarquer, d’après toutes les réflexions qui précèdent, que l’étendue du milieu, sa forme, sa masse , sa flexibilité , la nature et la force de cohésion de ses

(*) Cest aussi ce que nous avons négligé de faire au N° aaa , et c’est ce qui se fait ordinairement en traitant de pareilles questions, où il conviendrait, en outre, de t enir compte de la flexion , de la déformation générales et permanentes éprouvées par le milieu. La première circonstance exerce évidemment une grande influence sur les résultats du phénomène, quand la masse des parties enlevées est comparable à celle du projectile, ce qui arrive principalement pour les corps durs et cassans ; l’autre en exerce une également très-appréciable quand le milieu est assez ductile pour céder an choc sans se laisser entamer ou enlever, et que son élasticité forcée ne lui permet pas de reprendre sa forme primitive (Vo y. N°* i'i\ et a 3 5). Four tenir compte d’ailleurs de ces effets dans les calculs, il faudrait ajouter à la force vive conservée par la balle, la force vive communiquée an\ parties enlevées et qui ont acquis une vitesse égale à celle de celte balle, plus le double du travail nécessaire pour produire l'arrachement et la flexion persistante. Si , en outre , le projectile était déformé dans l’acte du choc, il faudrait y ajouter encore le double du travail necessaire pour produire cette déformation -, mais il est clair , comme nous l’avons déjà observé, que l’une et l’autre de ces dernières quantités ne pourraient s'obtenir qu’à l’aide d’expériences spéciales.

APPLICATIONS, etC. 217

parties, jouent un très- grand rôle dans le phénomène dont il s’agit, et qu’il ne convient pas de les négliger. On voit, par exemple , que, si la surface de la Jeuille ou de la planche ci-dessus est seulement -égale ou très-comparable à celle du projectile ; que, si d’ailleurs son épaisseur et son poids sont faibles et sa force de cohésion très-grande, non-seulement sa vitesse pourra différer peu de celle de la balle , mais qu’il pourra arriver encore qu’elle soit entraînée sans être pénétrée ni même déchirée.:

234. Autre exemple relatif aux corps durs très-fragiles. Un phénomène, non moins digne de remarque que celui qui vient d’être expliqué , et que l’on concevrait difficilement si l’on ne tenait pas compte de la nature particulière du milieu et du temps que le mouvement met à se propager à ses extrémités, c’est celui' que présente un carreau de vitre qui, frappé par une balle, est percé d’un trou circulaire très-régulier, sans que le surplus de sa surface soit endommagé , tandis que le choc du même corps , animé d'une vitesse beaucoup moindre, ou la simple pression du doigt, peuvent suffire pour le briser en morceaux. Or ce fait s’explique très-bien en observant que, non-seulement le milieu est trèsconsistant, très-dur, mais qu’encore il est cassant, fragile, quoique doué d’une élasticité relative assez grande (19); ce qui annonce que ses molécules sont très-peu susceptibles de changer de place, c’est-à-dire de s’écarter ou de se rapprocher, entre elles, sans se désunir totalement. Il en résulte , en effet, que, même avant l’instant où le mouvement ait pu se propager à une faible distance autour du centre d’impression , les molécules qui sont immédiatement' en contact avec la balle , cèdent à son action , et se séparent brusquement des molécules voisines, sans les entraîner et sans qu’il survienne par conséquent une flexion générale sensible, dans la surface du verre.

Dans le cas d’un mouvement lent , au contraire , ce mouvement a le temps de se propager et la flexion générale de se produire avant que les molécules en contact soient assez écartées, des molécules voisines, pour s’en séparer ; et alors , selon la forme du carreau de verre et la manière dont il est appuyé à ses extrémités, il éclate à la fois dans tous les points où l’écartement et le rapprochement des parties ontf atteint leurs limites.

Il est évident que ces raisonnemens ne seraient plus applicables aux corps mous ni aux corps ductiles (1 et 8)5 car leurs molécules pouvant subir comparativement un très-grand écartement ou un très-grand rapprochement sans se désunir, ils peuvent aussi prendre une grande flexion sans se briser, soit qu’on les choque avec une certaine vitesse ou qu’on les presse lentement.

235. Caractères qui distinguent la dureté de la ductilité. Nous venons d’énoncer la différence essentielle qui existe entre

les corps durs, qui sont tous plus ou moins cassant ou fragiles et d'ailleurs très-élastiques, et les corps mous, les corps ductiles qui. le sont généralement peu. Dans ces derniers, la force de cohésion est telle qu’elle décroit lentement avec l’écartement des parties , et qu’elle peut même croître, jusqu’à un certain point, par leur rapprochement ; dans les corps très-durs, au contraire, la force de conésion semble être à son maximum par suite de l’arrangement des molécules, de sorte qu’elle décroît très- rapidement pour de très-faibles compressions ou de très-faibles alongemens. On sait ' en effet , par expérience , qu’on ne peut faire subir un changement sensible, de forme ou de volume, à un corps cassant sans le rompre ; tandis qu’en réduisant le volume des corps ductiles , en les écrouissant par le choc ou la simple compression ( i3) , on augmente à la fois leur ténacité et leur densité jusqu’à un cet- • tain terme, passé lequel, leur constitution semble se rapprocher de celle des corps durs et fragiles , qui , d’après les expériences récentes de Perkins , se réduisent complètement en poussière loraqu’étant contenus de toutes parts, on les soumet, à des pression* de plusieurs milliers d’atmosphères; circonstance qui peut provenir d’ailleurs de la réaction qui s’opère à l’instant où l’on cesse brusquement la compression.

On s’explique également , par là, comment les corps durs peuvent résister à des efforts de tension très -considérables, sans se rompre et sans s’alonger d’une manière sensible, tandis qu’il* cèdent, au contraire, sous le plus petit chocs en effet, ce choc, comme nous l’avons déjà dit (170), développe toujours, en un temps extrêmement court , des quantités de travail finies , et le* efforts qui en résultent n’ont d’autre limite (»54 et >68) que celle de la dureté même et de la force d’inertie des corps ; tandis que les pressions, sans vitesse acquise, ne peuvent développer un travail appréciable qu’autant qu’elles auraient une intensité suffisante pour vaincre cette résistance à l’instant où elle acquiert une certaine valeur par l’effet de la compression. Enfin on s’explique , aussi pourquoi des vases de cristal, dont la matière est très-dure, peuvent être brisés par suite de l’augmentation ou, en quelque sorte , de l’accumulation progressive du mouvement vibratoire qui a été imprimé, à leurs molécules, au moyen d’un archet ou de la simple vibration excitée dans l’air qui les environne ; tandis que la même chose n’a pas lieu pour un vase composé d’une substance beaucoup moins dure, mais très-ductile, telle que le fer, l’argent , etc. En effet , les molécules de ces dernières substances peuvent supporter des déplacemens beaucoup plus grands sans se désunir complètement.

tfùrf' *•' T'r' ^ • * K- '

236. Procédé usité dans les arts pour mesurer la dureté des corps par le choc ou la pression. Nous avons vu faao) que, pour un milieu d’une grande étendue par rapport à celle du corps qui

applications, etc. aig

vient le choquer, les volumes des impressions totales sont sensiblement proportionnels aux forces vives de ce corps , et que le multiplicateur k de la résistance, qui mesure la dureté du milieu ou sa consistance, était sensiblement constant pour des substances homogènes ; il en résulte donc qu’en laissant tomber, d’une même hauteur ou de hauteurs différentes , un même corps sur diverses substances, le rapport des hauteurs totales (166), d’où le corps est tombé, au volume de l’impression, ou à sa profondeur si ce volume peut être considéré à peu près comme un cylindre, pourra servir de mesure à la force de cohésion ou à la dureté du milieu. C’est, en effet, ainsi qu’on procède dans les arts, pour reconnaître la valeur comparée de cette force dans certains cas , et c’est ainsi, entre autres, que M. Vicat procède pour faire l’essai de la résistance comparée des matériaux qui entrent dans les constructions (*), en mesurant les enfoncemens de tiges d’acier trèsdur, dans ces matériaux.

Cette méthode convient spécialement dans tous les cas oùlasubstanceà essayer présente un certain degré de consistance; mais, pour des corps très -mous, la simple pression produite par le poids d’une tige verticale posée doucement sur la substance (i 65 et suiv. ) , pourrait servir au même objet , si elle n’avait l’inconvénient d’exiger plus de temps , et d’offrir moins de certitude dans ses résultats que celle où l’on opère par le choc. En effet, dans ce dernier procédé , le poids du corps dur étant toujours très-faible par rapport à la résistance du milieu , l’impression arrive rapidement à sa limite , et l’on ne peut se tromper que d’une très-petite quantité , sur sa profondeur totàle, en la mesurant à l’instant où la vitesse est devenue insensible. Dans l’autre procédé , au contraire, il arrive , ou que le poids de la tige excède de très-peu les premières valeurs de la résistance , et alors l’impression est extrêmement faible et s’opère avec une excessive lenteur, ou aue ce poids excède de beaucoup les valeurs dont il s’agit, et alors il peut bien se faire que, la résistance croissant très-lentement dans les instans suivaus, ou devenant même tout-à-fait constante (216), elle n’atteigne qu’au bout d’un temps fort long ou pour une impression très-profonde, une valeur qui puisse détruire complètement l’accélération de vitesse occassionnée par le poids de la tige ; il peut même arriver , dans certains cas , que cette résistance soit constamment au-dessous du poids, et alors le mouvement ne s’éteindrait, pour ainsi dire, jamais, comme on en aura bientôt des exemples relatifs au mouvement des corps dans l’air.

D’alleurs, en tenant compte de la force vive conservée par la tige à un instant quelconque , si sa valeur mérite d’être prise en considération par rapport au travail correspondant développé

(*) Voyei son important ouvrage ayant pour titre : Résumésur Us mortier* el ci mens calcaires; 1 vol. in- 4 °, Paris 1838.

(i 66) par la gravité dans toute la descente de cette tige, et retranchant la moitié de cette valeur du travail dont il s'agit, on obtiendra encore la mesure du travail qui a produit l’impression correspondante, et dont le rapport avec le volume ou la profondeur de cette impression, pourra servir directement à apprécier (219) la résistance ou la dureté de la matière, soit qu’il s’agisse d’une même tige ou de tiges distinctes ayant la même forme et les memes dimensions vers la partie en contact avec le milieu. Ainsi, en sufmontant la tige d’un poids assez lourd pour que la grandeur de l’impression soit exactement et facilement appréciable , on obtiendra, par cette dernière méthode , des résultats parfaitement comparables avec ceux qui résultent de l’emploi du choc ; en observant de plus, avec soin , la marche ou la vitesse de la tige aux divers instans , on pourra même acquérir des notions utiles sur la loi que suit la résistance.

2 3 r J. Observations diverses Sur ces procédés. On voit, d’après ces discussions et tout ce que nous avons dit jusqu’ici concernant la résistance des milieux consistans, que les expériences, sur 1a dureté des corps , exigent beaucoup de précision et d’attention pour qu’on en puisse conclure des résultats rigoureux et comparatifs. Si l’on opère en particulier par le choc, il conviendra d’ajouter (166) la profondeur de l’impression à la hauteur de chute , et il faudra, dans certains cas (2x3 et suiv.), tenir compte de l’inflexion générale et du mouvement éprouvés par le milieu, ainsi que de la manière dont il est soutenu ou contenu : il est clair, par exemple , que, s’il s’agit d’une substance molle , elle présentera plus de résistance quand elle sera enfermée dans un vase solide , ouvert seulement à la partie supérieure , que quand elle sera simplement appuyée sur un plan de niveau, et qu’elle pourra y prendre un mouvement d’extension horizontal. On voit encore 1 qu’il conviendra d’avoir égard à la déformation du mobile (22a) quand sa dureté ne surpassera pas notablement celle du milieu, ainsi qu’à l'influence de la forme de ses faces antérieures et latérales en contact avec ce même milieu ; car la résistance varie avec cette forme, etc. , etc.

Les faces latérales, entre autres, quand biçn même elles forment une surface parfaitement cylindrique, éprouvent, de la part du milieu, une résistance qui croit avec la profondeur de l’impression : pour se débarrasser d’une telle cause de variation, qui ne tient aucunement à la dureté de la substance pénétrée , il conviendrait de donner aux tiges d’épreuve une base un peu plus large que le reste de ces tiges, ou de les terminer par une sorte de tête qui seule éprouverait les effets du frottemet latéral, etc. Mais , quels que soient les procédés qu’on adopte , la résistance sera toujours compliquée des effets du frottement et de l’adhérence, qui sont étrangers à la dureté même du milieu; de sorte

Digitiz

! by Coojle

qu’on n’obtiendra que des valeurs relatives à chaque appareil et non des valeurs absolues ; on doit du moins faire en sorte que les circonstances des épreuves soient semblables sous tous les rapports, et c’est ce qu’on obtiendra, entre autres, si on ne fait varier que le poids ou la hauteur de chute des tiges, de manière à obtenir des effets à peu près identiques (r65 et suiv.).

J 38. Autres procédés moins parfaits pour mesurer la dureté des corps. Lorsque les corps sont très -durs,, lorsqu’ils ont une étendue limitée ou qu’ils sont fragiles (235) , tels que le verre, l’acier, les cristaux etc., on ne peut plus faire usage des méthodes précédentes, et l’on a recours à des moyens, à la vérité plus imparfaits encore que ceux qui précèdent , mais qui suffisent aux constructeurs, aux physiciens, aux naturalistes, aux lapidaires, etc., pour classer les différentes substances naturelles, ou ■artificielles suivant leur ordre respectif de dureté. L’un d’entre eux consiste à agir, sur la substance qu’on veut soumettre à l’essai, par un foret en acier, chargé d’un certain poids et auquel on imprimé un mouvement de rotation, puis à comparer entre elles les -profondeurs auxquelles il est descendu pour un nombre donné de tours :c’est la méthode employée d’abord par Rondelet pour mesurer la dureté comparée des pierres, puis en dernier lieu, par M. Vicat, pour éprouver celle des mortiers, deé cimens, etc. ■Un second moyen est celui qu’emploient les ouvriers , qui essayent les corps avec la lime, les burins et les outils tranchans en général. Enfin la méthode principalement en usage parmi les naturalistes et les lapidaires, consiste à faire glisser ou frotter • les corps entre eux , en les pressant de manière à reconnaître celui qui raye , entame ou use l’autre : c’est ainsi qu’on reconnaît que le diamant est le plus dur des corps connus , que l’acier est

■ plus dur que le verre , le verre plus que le fer, le cuivre , etc.

1 • ■ Il est évident que ces divers moyens ne sont pas, dans le fond , aussi différens qu’ils paraissent l’être au premier aspect, etqu’on pourrait obtenir, de tous, des résultats presqu’aussi rigoureux que de celui qui a été exposé N° a36 , si on avait l’attention de faire les essais dans des circonstances parfaitement semblables , sous le rapport de la forme , des dimensions des parties agissantes , de la profondeur de l’impression , et qu’on n’oubli&t pas d’ailleurs de tenir compte exactement de la force avec laquelle on comprime chaque corps sur l’autre, et de celle qui est nécessaire pour le faire cheminer avec une vitesse donnée. Mais nous aurons occasion de revenir plusieurs fois encore sur cet important sujet, à l’occasion de la résistance que les corps opposent à leur rupture, à leur

■ flexion , à l’action des outils , etc.

Examen des principales circonstances du mouvement horizontal et vertical des corps dans les Jluides , et spécialement dans l’air.

a 3 (). Considérations préliminaires .Nous n’avons jusqu’ici donné que de simples aperçus (n 3 et suiv.) sur la manière dont l’air agit, contre les corps, pour modifier et ralentir leur mouvement ; les données des N“’ 202 et suiv. , jointes aux principes fondamentaux

3 ui ont été exposés dans les Préliminaires , nous mettent en état 'apprécier et de calculer même rigoureusement, les lois de ce mouvement pour deux circonstances importantes : celle où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse, dans la direction d’un plan .horizontal solide qui supporterait, détruirait, à chaque instant, son poids ou l’action de la pesanteur, et celle où il serait lancé ou tomberait naturellement, dans la direction de la verticale, sans être aucunement soutenu contre cette même action. Nous apprendrons plus tard à calculer les lois du mouvement des corps qui, tels que les bombes et les boulets, sont lancés obliquement à Khorizon , et décrivent des courbes, au lieu de lignes droites, par l’action combinée et non directement contraire des différentes forces. On devra d’ailleurs remarquer que tous nos calculs et nos raisonnemens demeureraient exactement applicables au cas où le corps serait mis en mouvement dans un fluide autre que l’air atmosphérique, par exemple dans l’eau, en y introduisant les modifications nécessaires et qui sont relatives à la densité , à la résistance de ce fluide.

Pour résoudre la question dans les cas particuliers et très-simples dont il s’agit ici, il est d’abord nécessaire de rechercher, pour chacun d’eux, la valeur de la force motrice ou dynamique (i3o)

3 ui accélère ou retarde la vitesse du mouvement. Nous conserverons 'ailleurs toutes les dénominations des N°' 199 et suivans, et nous continuerons de représenter par F , la valeur, en kilogrammes, de

la force totale dont il s’agit, par P le poids , par M= — la masse ■ 1 S

du corps , et par V le degré de vitesse qu’imprime , à ce même corps, la force F dans le temps infiniment court t.

24o . Valeur de la force motrice dans le cas où le corps se meut sur un plan de niveau. L’action de la pesanteur, sur le mobile, étant détruite par le plan qui le supporte, la force motrice se réduit alors uniquement à la résistance du milieu, qui correspond à la vitesse V possédée à chaque instant par ce mobile 4 on a donc (211 et 2 1 5 ) , par exemple, F = R = o, o 6 a 53 kkV* =6,00 1 » PV’ kil., pour le cas particulier du boulet duN° 21 5 et l’air atmosphérique dont il s’agit ici spécialement. On voit, par là, que , le corps ayant été lancé avec une certaine vitesse initale , cette vitesse sera de

APPLICATIONS, etc. 32$

plus en plus diminuée et le mouvement ralenti , dans chacun des instans égaux à t, suivant une loi qui sera donnée (i 3 o) par la formule

F <?F eR o m ,8o88X 0,0011 AV’

puisque P=i2 1 ‘, 68 (ai 5 ).

Mais, commme la résistance R décroît très-rapidement avec la vitessse V du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément retardé ( 1 07 et 11 2) ; il le sera , de moins en moins, pour des instans t égaux et très-petits , ainsi que le démontre la formule cidessus, qui donne les diminutions v de la vitesse pour chacun de ces instans. De plus, comme cette diminution est une fraction d’autant moindre de la vitesse V, possédée à cet instant, que cette vitesse est plus faible, on voit qu’à langueur, le mouvement ne pourra jamais s’éteindre complètement, quoiqu’il aille sans cesse en diminuant d’intensité ; en d’autres termes , ce n’est qu’après un temps excessivement long que la vitesse sera réduite à zéro.

a4l. Ce n’est qu’après un temps infini, que la vitesse s’éteint ou parvient à sa limite, quand la force motrice diminue sans cesse. Pour démontrer ce principe d’une manière positive , et qui s’applique généralement à tous les cas où la force motrice tend à s’affaiblir, de plus en plus et indéfiniment, sans jamais changer le sens de son action ; nous observerons que la formule , citée dans le numéro précédent, donne également, pour le temps t qu’une telle force met à imprimer au corps le petit degré de vitesse v, la valeur

< = -Xti=

laquelle indique qu’à mesure que F diminue , la valeur de la fraction ^ croissant indéfiniment , il faut bien aussi que le temps t.

nécessaire pour imprimer un même degré de vitesse v , devienne de plus en plus grand, et finisse par devenir énorme même pour de très-petites valeurs de v. Quand , par exemple , F sera réduit à o k , 0000000 1 , pour le cas du boulet ci-dessus dont le poids P.— i2 k ,68, le temps t, nécessaire pour diminuer ou pour augmenter la vitesse de la quantité V— o^ooi , ou de 1 millimètre

seulement par seconde , devra être de ■ ’ — —

1 9 ,8lX° )OOOOOQOI

= 129256" ou environ 36 heures. On voit donc que la vitesse du mouvement ira sans cesse en croissant ou en dimi-

nuant d’intensité, sans jamais atteindre sa valeur limite, sa plus grande valeur, ou sans jamais devenir complètement nulle quoi-

qu’au bout d’un temps plus ou moins long, elle acquière une valeur qui diffère extrêmement peu de celle vers laquelle elle converge sans cesse.

Ainsi règle générale: Toutes les fois que T 'action d’une force motrice ou de pression ordinaire , agissant constamment ou sans interruption , sur un corps , soit pour augmenter , soit pour diminuer, à chaque instant, son mouvement , varie avec la vitesse même de ce mouvement, de manière à décroître sans cesse par une loi continue, ce n’est qu’au bout d’un temps infini qu’elle aura anéanti complètement la vitesse du corps, ou quelle lui aura fait acquérir une vitesse constante, une vitesse qui cesse désormais de changer , quoiqu’on bout d’un temps, souvent fort court, le corps parvienne sensiblement à l’un ou à Vautre de ces états. 1

Ce principe est, en quelque sorte, évident par lui-même, puisqu’une force qui agit toujours fait nécessairement varier la vitesse à chaque instant, quelle que soit sa petitesse ; mais il est clair aussi que, si son intensité ne dépendait pas uniquement de la vitesse, et qu’elle pût devenir nulle au bout d’un temps plus ou moins long, le corps acquerrait , au bout de ce temps même , la limite de son mouvement; or nous verrons bientôt qu’il existe de semblables forces motrices dans la nature.

242 . Réflexions sur la manière dont le mouvement s’éteint ou s’accomplit d la su face de la terre. S’il parait quelquefois, comme dans le cas de la communication du mouvement par le choc, par le ressort des gaz de la poudre, etc., que des forces motrices décroissantes impriment aux corps toute leur vitesse, après un temps souvent fort court, c’est qu’en effet ces forces, par elles-mêmes excessivement grandes , font , au bout d’un trèspetit temps , parvenir les corps à un état de mouvement qui approche beaucoup de celui qui répond à la limite ; c’est que les forces motrices ne suivent pas exactement les lois de décroissement que nous leur supposons à la première vue ; c’est que leurs effets se compliquent des effets d’autres forces qui acquièrent de l’influence à mesure que celle des premières va en s’affaiblissant , ou plutôt c’est que nous ne tenons pas un compte exact de toutes les forces, distinctes de l’inertie, qui agissent sur le corps ; car la force motrice, dont nous entendons parler ici, est le résultat combiné de toutes ces forces; elle produit seule (i3o) le mouvement, et vainc seule Pinertie ou la force dynamique. C’est qu’enfîn nous admettons volontiers, pour la facilité des considérations, que les corps, en se séparant après leur réaction mutuelle ou après leur choc ,' sont parvenus à un état de mouvement stable; qu’ils ont acquis toute leur vitesse finale, et ne sont plus sollicités par aucune force ; tandis que, dans la réalité, ils restent encore soumis à l’action des forces moléculaires ou de ressort qui ont été mises en jeu (aa3 et suiv.) dans leur intérieur, et qui ne rentrent dans leur état d’équi-

APPLICATIONS , etC. 225

libre ordinaire, qu’après que chaque corps a exécuté une infinité d’oscillations autour de cette position d’équilibre.

Au surplus, il faut bien le reconnaître d’après le résultat des belles expériences de l’illustre Coulomb et de beaucoup d’autres observateurs habiles, il existe des forces motrices et des résistances, telles que la pesanteur, les divers frotteinens , l’adhérence des corps en contact , la résistance des corps solides à la compression , à la pénétration, etc. (216), qui sont indépendantes de la vitesse du mouvement, et qui demeurent même constantes quelle que soit cette vitesse. Or tous les mouvemens qui s’accomplissent à la surface de notre globe, étant nécessairement soumis, t(\t ou tard, à l’action de semblables forces, ilarrive toujours que ces mouvemens s’anéantissent complètement , ou qu’ils parviennent à leur limite en un temps qui n’est jamais infiniment long , et qui même est en général fort court.

Voilà aussi pourquoi le mouvement ne peut s’entretenir ici-bas, dans lescorps, sans une dépense continuelle de travail ou d’action; et. voilà pourquoi le mouvement perpétuel , que rêvent des hommes privés des premières notions de la Mécanique et de la Physique , est une véritable chimère, quand on le recherche ailleurs que dans l’action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir les corps célestes dans un espace vide ou privé de toute résistance, et qui, sur la surface de la terre, servent, par leur renouvellement périodique plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.

243 . Idée de la manière dont le mouvement horizontal des corps peut s'anéantir complètement, même en un temps fort court. Nous avons supposé ci-dessus (240) que le mouvement horizontal du corps était uniquement retardé par l’effet de la résistance de l’air, qui, diminuant sans cesse d’intensité avec la vitesse, ne peut jamais parvenir à réduire entièrement le corps au repos; mais nous n’avons pas tenu compte d’un autre genre de résistance qui naît de ce que ce corps ne peut se moüvoir horizontalement sans être soutenu par un plan matériel qui détruise, à chaque instant, l’action de la gravité sur ses propres parties , et sans presser ce plan .matériel avec un effort égal à son poids ; d’où résulte une compression réciproque qui use les deux corps, ou altère, plus OU moins promptement, leur forme aux dépens de la force vive de celui qui est mobile. Or les expériences de Coulomb, que nous ferons connaître plus tard, prouvent que la résistance qui provient de cette cause , est indépendante de la vitesse, ou reste la même à chaque instant, et qu’elle est une fraction déterminée, bien qu’assez faible , du poids du mobile , soit qu’il roule ou ne fasse simplement qhe glisser en cheminant en avant.

Nommant donc f cette petite fraction, nous aurons (240) , F= R+/P ; de sorte que, quelle que soit la vitesse V du corps à un

certain instant, et par conséquent la valeur de R, la force motrice F, qui ralentit le mouvement, fera perdre à ce corps, dans chaque temps /, une portion de vitesse qui sera au moins égale

à — X t=fg'X /, ou qui serait exactement^/, si la résistance

de l’air ne venait l’augmenter ; et, comme ici /jou le frottement, est constant, on voit bien qu’au bout d’un temps plus ou moins long T, il aura détruit , à lui seul (lia), une vitesse fgT, qui pourra être une fraction notable de celle que possédait primitivement le corps, ou lui être même tout-à-fait égale: supposant, par exemple, la vitesse initia'e de 5oo m , et f — seulement, on aura, pour calculer le temps T , qui répond à la fin du mouvement ,

5oo n '= î ' i 9”,8 i X T =o m ,327XT ; d’oùT=i5a 9 ", environ 25' i. Mais, attendu que la résistance de l’air joint son action à celle du frottement du plan , et que cette action a une intensité très-grande dans les premiers instans (21 5); on voit qu’en réalité , il faudra un temps considérablement moindre encore pour que le mouvement soit complètement anéanti, comme on l’observe en effet dans tous les cas analogues.

Ce qui suit présente l’exemple de phénomènes de mouvement où la même circonstance se reproduit par l’action constante de la pesanteur. 1

a44 • Valeur de la force motrice dans le cas où le corps est lancé verticalement de bas en haut. Il est évident que le mouvement est à la fois retardé alors, et par la résistance R du milieu, et par l’action de la pesanteur sur le corps, ou de son poids P ; mais il convient ici (4i, 1 i3 et suiv.) de diminuer ce poids de celui du volume d’air qu’il déplace, puisqu’en vertu de la pression atmosphérique extérieure , il est poussé, de bas en haut, avec une force mesurée par ce dernier poids , que nous nommerons P', et qu’il sera facile de calculer connaissant la densité p du fluide (211). Nous aurons donc (202)

2 éf !

S’il s’agit, par exemple, du boulet du N° 21 5, en mouvement dans un air dont la densité est i l ,227, on aura, attendu que, sous le même volume, les poids sont comme les densités (33 et suiv.), et qu’ici la densité de la fonte est censée de 7207 1 ,

quantité excessivement petite par rapport au poids propre du boulet, et qu’on peut, sans inconvénient, négliger dans le cas actuel ; de sorte qu’on aura simplement (240)

F=o,ooi i£V a -+- i2 l ,68.

APPLICATIONS etc. 237

Le mouvement sera donc alors de plus en plus retardé, comme dans le cas qui précède (243), mais d’une manière bien autrement rapide; et l’on voit que, la force retardatrice conservant, à tous les instans, une valeur qui surpasse i2 k ,68, il faudra bien que le mouvement finisse par s’éteindre complètement, même en un temps fort court.

Mais, si le corps, au lieu de la densité 7207 k '', en avait une beaucoup moindre et comparable à celle de l’air, ou si c’était une boule creuse extrêmement légère, remplie d’un gaz quelconque r il ne serait évidemment plus permis d’en agir ainsi. Dans le cas , par exemple, d’un ballon, en taffetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le J, de celle de l’air (4o) ou -jy 1 1 , 227=0 , 082 pour i“°, le poids de l’enveloppe, réuni à celui du gaz qu’il contient, c’est-à-dire P, pourrait même devenir moindre que le poids du volume d’air déplacé ; et alors, nonseulement il rie faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-même, à s’élever avec une force mesurée par P' — P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir ; la force motrice totale serait donc alors

R— P' — P — kp

245 . Exemple particulier relatif d l'ascension verticale des ballons. Supposons, fig. 57, un ballon sphérique de iO m de diamètre , son volume sera à très-peu près 523”", 6 ; par conséquent le poids du volume d’air qu’il déplace sera 523”", 6 X i k ,227 = 642 l ,5, et celui du gaz hydrogène qu’il contieut yj 642 k ,5=4a k ,8 environ. Si donc le poids de son enveloppe, de la nacelle en osier qui est suspendue au-dessous et de tout le surplus de son équipage équivaut à 399 k , 7, ce qui suppose que la nacelle porterait des objets fort lourds, tels que des hommes, etc. , le ballon serait enlevé avec une force constante, de 64 a k , 5 — 4 2 \8 — 399 k ,7=200 kl1 , qui sera diminuée, à chacun des instans du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l’air, laquelle sera ici,

à vitesses égales (21 5 ), les ^ ™ ^ = ~ de celle

0,001 1 k V’qui a été trouvée pour le boulet de o“,i 5 de diamètre, attendu que les résistances sont sensiblement entre elles comme les carrés des diamètres; c’est-à-dire, en un mot, qu’on aura R = - X 0,001 1 RV : ‘=-^ ÂV’= 4>89 *V a environ , et

On voit que le ballon partira, de terre, avec une vitesse d’abord nulle , et qui augmentera , de plus en plus , tant que la résistance 4,89 kV 1 sera moindre que 200 k ; mais, quand elle égalera ce poids, c’est-à dire quand la vitesse V approchera de 8 m par

seconde, la valeur de k étant alors (210) d’environ 0,64, et la force motrice F devenant nulle, le ballon conservera, en vertu de l’inertie ( 55 ) , constamment la vitesse de 8“ qu’il possède à cet instant, ou se mouvra uniformément , avec ce degré de vitesse, tant que les circonstances resteront les mêmes, c’est-à-dire, tant que la densité de l’air et la force de la pesanteur 11e changeront pas pour les diverses positions du ballon ; en effet il est clair qu’alorsF restera aussi constamment nulle. Ur c’est ce qu’il n’est pas possible d’admettre (37 et 61), même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aërosta tiques, d’autant plus que l’expérience a appris que la température de l’air, qui influe notablement sur sa densité (211), diminue, comme la gravité, à mesure qu’on s’élève au-dessus de la surface des plaines. En effet , la hauteur de ces ascensions surpasse généralement 2000 à 3 ooo mètres; et l’on a vu , dans un célèbre voyage entrepris uniquement pour le progrès des sciences, un célèbre physicien français, M. Gay-Lussac , s’élever verticalement dans les airs à une liauteur de 70 t 5 m au-dessus du niveau des mers ; ce qui est la plus grande élévation qu’aient encore pu atteindre les hommes.

Ainsi les calculs qui précèdent ne peuvent concerner que des élévations médiocres, et qui ne surpasseraient pas, par exemple, 3 oo à 400 mètres de hauteur verticale; dans toute autre circonstance, on ne devra les considérer que comme de simples approximations servant à donner une idée des phénomènes, et qui souvent pourront suffire pour l’objet qu’on se propose. Il ne serait pas impossible , à la rigueur, de tenir compte de la variation de densité des couches atmosphériques, qui exerce le plus d’influence; on sait la calculer assez exactement quand on connaît la température et la pression barométrique au niveau de la terre , et pour un lieu déterminé ; mais ce serait nous jeter dans des calculs qui ne seraient pas ici à leur place, d’autant plus qu’ils n’auraient d’utilité que pour la question des ballons(*) , et qu’on peut se dispenser d’y avoir égard pour celle des projectiles qui, tels que les bombes,

(*) Nous rappellerons, à cette occasion, que les ballons aërostatiques furent découverts, en 178a, par le célèbre Monlgolfier d’Annonay, et que Pilastre de fiosiers, physicien distingué, ne à Metz, périt, en 1785, victime de son zèle

S our les progrès d’un art qui était encore dans son enfance, lorsqu’il tenta e franchir le détroit qui sépare la France do l’Angleterre. Il fut aussi le premier qui , au mois d’octobre 1783 , c’est-à-dire quelques mois seulement après l'époque où les frères Moutgolfier firent leur brillante expérience d’An— nonay , eût le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à l’aide des ballons. La ville de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de des Rosiers, a fait élever , à sa mémoire , un monument modeste naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi, une seconde fois, le courage malheureux d’un savant qui lui fut étranger.

•' APPLICATIONS, etc. ' 229

sont élevés dans l’air , par la force de la pondre , à des hauteurs’ généralement médiocres.

- 346. Calcul de la force motrice dans le cas où le corps est lanéé verticalement, de haut en bas, ou tombe par son propre poids. Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement du corps, toutes les fois que la densité de ce dernier est très-grande par rapport à celle du fluide: elle se compose évidemment alors du pends P de ce corps dans le vide, poids qui mesure proprement l’action de la gravité’ sur ses différentes parties , diminué et du poids P' du volume d’air qu’il déplace, et de la résistance R qu’il éprouve , à chaque instant , de la part de l’air extérieur ; on, aura donc, pour le cas dont il s’agit,

t AV

-kp

et le mouvement s’accélérera continuellement, tant que le poids P — P' du corps dans l’air surpassera la résistance R, qui lui est opposée. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s’accélérera de moins eu moins, attendu que la résistance R croîtra rapidement avec la vitesse, et il arrivera bientôt un instant où le mouvement ne s’accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d’être égale à P — P', ou quand la vitessq différera, très-peu de celle qui est donnée , par l’égalité

-P'=R=£d— , ouV’ :

kpk

au moyen de l’extraction de la racine carrée du quotient de 2 £fP — F) par kpA. Ainsi le mouvement tendra sans cesse, dans le cas dont il s’agit, à devenir uniforme, et il le deviendrait rigoureusement si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse ci-dessus qui en est la limite.

Ces circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R, dès l’origine du mouvement ou à l’instant du départ du mobile ; s’il eu était autrement , et que P fût d’ailleurs plus grand que P', comme on vient de le supposer, la vitesse serait évidemment diminuée ou retardée par l’açtion d’une force

et le serait continuellement jusque vers l’instant où, la résistance R, diminuant de plus en plus, deviendrait telle qu’ajoutée à F, elle serait simplement égale au poids P du corps dans le videj ce qui arriverait pour la vitesse donnée par l’égalité

P — P'=R = /ip

ou V’=

3ff(P— P)

kpA.

Cette vitesse limite étant la même que celle du cas précédent quand le corps et le milieu sont aussi les. mêmes, on voit que,,

a3o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

quelle que soit la vitesse avec laquelle on lance, du haut en bas et dans la direction verticale, un corps donné, dans un fluide indéfini dont la densité est moindre que la sienne propre, ce corps tendra toujours à acquérir la même vitesse limite, et il l’atteindrait sensiblement, au bout d’un temps plus ou moins long, si aucun obstacle étranger ne venait suspendre tout à coup son mouvement.

Enfin , si la densité de l’air surpassait celle du mobile , ou que P f fut plus grand que P, la vitesse serait de plus en plus retardée tant par L’action de P' que par l’action de la résistance R, de sorte qu’on aurait, dans le même cas,

quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse.

La valeur de R ■+■ P' surpassant constamment P, il est clair que le mouvement finira par s’éteindre, comme dans le cas duN° 244 j et, attendu qu’onaura,à cet instant, V=o, R=o,F=P' — P, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu d’une force motrice

il suivra donc dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rappportent à l’ascension des ballons (244 et 2 4 $) j ce qui nous dispense de poursuivre davantage l’examen de son mouvement. Ce cas est d’ailleurs analogue à celui que présente un corps dense, lancé , de bas en haut, avec une certaine vitesse, et qui , parvenu à sa plus grande élévation , redescend ensuite en vertu de l’action prépondérante de son poids sur celui du volume d’air qu’il déplace.

247. Exemples de calcul relatifs à la plus grande vitesse de chute des boulets. Dans le cas du boulet du N“ ai 5 , le mouvement deviendra uniforme à l’instant où l’on aura i2 k , 68 = 0, 001 îEV’,

puisqu’on peut négliger alors F vis-à-vis de P (244) > or on voit de suite, d’après la table du N ' 1 2 1 5 , que cette condition est satisfaite pour une vitesse d’à peu près )26 m par seconde, répondant (210) à la valeur 0,73 du multiplicateur k de la résistance. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu’un boulet, de ce poids et de cette dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l’air. Cette vitesse serait évidemment moindre pour un boulet d’eau congelée ou de bois de même diamètre ; car la résistance, à vitesse égale, resterait toujours la même, tandis que le poids P serait diminué.

Par exemple, pour un boulet en bois d’orme dont la densité est environ ( 35 ) le neuvième de celle de la fonte de fer, on aurait ~ i2 k , 68 — o,ooi iAV J , et la vitesse limite V serait un peu supérieureà-j i26 m =4 2m > ou plus exactementà 43 ”, 5 o, attendu que la valeur de k est ici (210) 0,69 au lieu de 0,73. Un boulet de

APPLICATIONS, etC.

platine, ayant de même i 5 c de diamètre, tomberait, au contraire, avec une vitesse qui surpasserait 126°“, à peu près de 0,73 X 126 = 92'". Enfin, pour des boulets, en fonte de fer, qui auraient un diamètre au-dessous de 1 5 e , la plus grande vitesse de chute serait nécessairement moindre que 126 1 " : pour un boulet de 3 e de diamètre, par exemple, on aurait (2i5) l’égalité

j-ij i2 k ,68 = ,Looi i ou l i2 k , 68— 0,001 1 ÆV’; ce qui donne , en supposant d’abord approximativement ^ = 0,7,

d’où on tire en extrayant la racine carrée, V=z 5 y m t 4 pour la plus grande vitesse de chute; et, comme, d’après la table du N° 210, la valeur de k relative à cette vitesse, est effectivement 0,70, il n’y a pas lieu à recommencer le calcul pour obtenir un plus grand degré d’approximation dans les résultats.

248. Observations sur le mouvement des parties très-fines des corps. Ceci explique pourquoi les poussières extrêmement tenues (7) tombent, dans l’air et à plus forte raison dans l’eau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse de beaucoup celle du fluide qui les renferme; nos formules peuvent même servir à calculer quel devrait être le diamètre, d’un grain sphérique d’une substance connue, pour que la vitesse de chute ne surpassât jamais une vitesse donnée : par exemple, pour un grain de fer coulé tombant dans l’air, dont la vitesse limite devrait être seulement de i”" l =o m ,ooi , et dont n serait le rapport du diamètre à celui du boulet de i 5 c , on aura (210)

n 3 X la N68— n’XOïOoi 1X0,59.(0,001)’, ou i2 k ,68n:=o, 000000000649;

et par conséquent n—— — =0,00000000005 environ;

donc enfin le diamètre du grain = o,oooooooooo 5 X o“, i 5 = o“, 0000000000075, quantité moindre qu’un cent millionième de millimètre. •

Les mêmes considérations peuvent aussi servir à expliquer pourquoi les courans d’air entraînent les poussières, d’un même corps , d’autant plus loin qu’elles sont plus tenues ; tandis que ces mêmes parties sont, à l’inverse, celles qui vont le moins loin quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Enfin on se rendra parfaitement raison de l’énorme différence qui existe entre les vitesses de chute de plusieurs corps , qui , sous le même volume, ont des densités ou des poids également très-distincts : la diversité des formes en apporte d’au moins aussi grandes comme on va le voir.

249* Calcul de la plus grande vitesse de descente des para-

aSa MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

chutes. On sait que les parachutes, à l’aide «lesquels les aëronéutes peuvent abandonner leurs ballons et descendre, sans danger, des régions supérieures de l’atmosphère, sont à peu près disposes comme les parapluies ordinaires, lig. 58 , si ce n’est qu’ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu’ils portent, à l’extrémité inférieure de leur tige verticale, une gondole ou petite nacelle en osier propre à recevoir le voyageur. On peut juger, d’après ce qui a été observé N° 204, que l’ouverture la plus avantageuse du cône formé par la surface du parachute, est celle qui donne à cè cône, une hauteur égale environ au ^ ou au \ du diamètre de sa hase; considérant donc (211) la résistance R = 0, 000253 Æ A V a Jtilog. , que présenterait la surface concave d’un tel parachute ayant 8 “' de diamètre ou 4“ de rayon à sa base , on aura (203 et ao 4 ), A = 3 , 1 4 1 6 X 4 m X 4 m = 5o“'',2656, Æ = 2,5o -f- } 2,5=3, au moins, et par conséquent

R=o,oÔ 253 X 3 X 5 o"‘ 1 , 656 V’ =9,4293 V 1 kilog.

Supposant que le poids du voyageur et de tout le surplus de l’équipage soit de 85 1 ' 1 environ, on aura, pour déterminer la plus grande vitesse qu’acquerrera le parachute , dans sa descente, la condition 9,4293 V a = 85 ’“ l , ou environ; d’où la vi-

tesse cherchée V = 3 ” 1 par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu’elle pût èLre atteinte par le parachute, serait assez faible pour prévenir tout accident à l’instant où la gondole toucherait terre.

Nous ajoutons en supposant quelle pût être atteinte , car nous n’avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute , etc. , et les calculs ne se rapportent qu’à la plus grande vitesse de chute que puisse acquérir le système , à celle qui répond à l’instant où le mouvement est devenu entièrement uniforme (245 et suiv.). Or il est aisé de se convaincre (jue. dans la réalité, les corps qui tombent ou s’élèvent verticalement dans l’air ne peuvent , ainsi que nous l’avons déjà insinué (246) et conformément au principe du N° 24 1 , jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu’ils en approchent sans cesse , et que, dans certains cas où la force motrice F possède une grande valeur par rapport au poids P ou à la masse M du corps , ils puissent en approcher, de très-près, au bout d’un intervalle de temps môme médiocre.

a 5 o. Démonstration géométrique de l’impossibilité que le mouvement continu atteigne rigoureusement une parfaite uniformité. Quoique ce fait résulte immédiatement des discussions du N° 241 déjà cité, il ne sera par superflu de le démontrer directement, sans calculs et par les seules considérations de la Géométrie , d’autant plus que le principe est important , et s’applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend ,. sans cesse, à se

APPLICATIONS, CtC. a 33

régulariser par l’action d’une force dynamique qui varie, en même temps que la vitesse, suivant une loi exactement continue et nn thématique.

JnV D n ( > 59 Ct 60)> U " e C r ° Url i e A1JC J ont les abscisses . * , , ] . représentent ( 5 o) les temps successivement

écoulés depuis 1 origine du mouvement, qui répond ici au point

O, et dont les ordonnées /V, <V', #"V", , correspondantes

représentent, au bout de ces temps respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force motrice; il est clair que, si cette force motrice et par consé quent la vitesse augmentent (Fig. 5 9 ), ou diminuent (Fia. 60) constamment, par succession insensible et par une loi rigoureusement continue, la courbe s’éloignera ou s’approchera aussi, sans cesse, de l axe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, a la lin, constante ou uniforme, la courbe devra également! des-lors, se confondre avec une ligne droite parallèle à OT- mais comme une courbe diffère essentiellement, dans sa nature , d’une’ simple ligne droite; comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci ; comme enlin nous avons supposé que le décroissement de la force motrice est essentiellement continu et suit une loi invariable, il faut nécessairement admettre aussi que la courbe ABC des vitesses ne dégénère jamais, rigoureusement parlant, en une simple ligne droite, mais bien qu’elle en approche de plu! en plus et indéfiniment; de sorte, par exemple, qu’au bout d’un temps excessivement long, ou à une distance excessivement grande de longne O, les vitesses ou les ordonnées différent aussi extremement peu de celles qui appartiennent à une droite DE parallèle a 1 axe OT des temps ou des abscisses. Or cette droite est ce qu on nomme une asymptote dans la Géométrie des courbes, et c est la valeur constante OD de ses ordonnées que nous avons , tout à 1 heure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans l’air.

Telle est l’interprétation géométritrique très -simple du fait qui nous a d abord clé signalé par le calcul et le raisonnement, ai qui se reproduit dans une infinité de circonstances, parce qu il existe aussi une infinité de lois, une infinité de courbes qui donnent lieu a des asymptotes, dont le caractère général est, comme on voit , de s approcher continuellement et indéfiniment

i tangentes au point suue a l'innni sur une teue uranene. Ees hyperboles, entre autres (*) , dont nous avons rencontré un exemple particulier dans le N” 181, possèdent deux asymp-

,P Gwnhe*» ce sujet, la i3« leçon du Coursde Géométrie de M. Di.pin 1 vol. , pag. 3i4 , ou la pagega delà Géométrie des courbes de M. Bergen .

totes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parties; car elles ont aussi deux branches infinies ; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n’ont pas pour cela des asymptotes : la parabole , entre autres, est dans ce cas (*). On doit voir, par là, combien l’étude des courbes géométriques est utile pour la Mécanique , puisque chacune de leurs propriétés répond essentiellement aussi à une propriété relative à une des lois du mouvement des corps ou de l’action des forces motrices.

a 5 l. Réflexions sur la manière dont les moteurs communiquent le mouvement aux machines. Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quelconque , il commence par la mettre en mouvement avec un effort qui d’abord est très-grand (148), il détruit à la fois , au point où il opère immédiatement, et la réaction provenant de l’inertie des pièces de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles; la force dynamique F, qui accélère le mouvement , est donc alors égale à l’excès de l’effort total du moteur sur l’effort que lui opposent directement celles des résistances dont il s’agit, qui sont indépendantes de l’inertie. Or , comme ces résistances , ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmentent de plus en plus avec la vitesse , et que l’effort du moteur décroît, au contraire (148), de plus en plus, il en résulte que le mouvement s’accélère, de moins en moins , à peu près comme dans les cas qui précèdent, de sorte qu’il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme ; mais ce n’est qu’au bout d’un temps , souvent fort long, que la vitesse atteint sensiblement la limite de sa valeur, à laquelle elle ne parvieut même jamais mathématiquement parlant.

Toutefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en ce qu’ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l’intensité entière de leur effort primitif, malgré l’augmentation de la vitesse , puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l’inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au point où elle est parvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n’est plus exactement applicable, et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, l’état moyen de mouvement qu’elle doit conserver. Or la même chose aura lieu (241) toutes les fois que la force motrice suivra une loi arbitraire, etqui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.

(*) Voyez les ouvrages ciLés dans la note précédente, pages 3a 1 et io3 respectivement.

APPLICATIONS , etc. 235

Calcul des lois du mouvement horizontal et vertical des corps dans les Jluides indéfinis.

25 a. Méthode pour trouver le temps qui répond à une vitesse donnée ou acquise par le corps. Nous avons fait connaitre (i 34 ) une méthode générale pour trouver, par des tracés géométriques, la loi du mouvement des corps quand celle de la force < motrice est donnée, ce qui est le cas actuel; mais cette méthode, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force et l’espace décrit à chaque instant, ne l’est pas quand il s’agit de calculer effectivement toutes les circonstances du mouvement ; parce qu’elle serait peu rigoureuse d’une part, et que, de l’autre, elle donnerait lieu à des opérations trop multipliées, trop pénibles. Or on peut atteindre le but par un procédé exempt de ces inconvéniens , et qui est fondé sur le principe de Thomas Simpson ( 1 8o) pour calculer l’aire des courbes. Ayant d’ailleurs appris, dans les numéros précédons , comment on peut , dans chaque cas et pour les vitesses successivement acquises par un même corps , trouver , en kilogrammes , la valeur de la force motrice F, qui modifie le mouvement à l’instant qui répond à chacune de ces vitesses , on n’éprouvera aucune difficulté à appliquer la méthode aux diverses circonstances que présente le mouvement vertical ou horisontal des corps dans les fluides indéfinis.

Nous avons ( 1 3 o) , d’après ce qui a déjà été souvent rappelé dans ces Applications, pour calculer le temps t que met la force F à accroître , de la quantité v , la vitesse V d’un corps dont le poids est P, la formule

i== gt ' X * = 9“,8o 88F X v '

Cela posé, concevons une courbe O'bfih'^ (Fig. 6i) dont les abscisses Oa, 06 , Oc,. ...G#, représentent les valeurs successives, en mètres, de la vitesse V du corps, et dont les ordonnées OO', aa ', bV ,...,gg , représentent les valeurs, en nombres, du quotient de P par 9“,8o88X F, relatives aux diverses abscisses ou vitesses correspondantes. Supposons, en outre, que les intervalles égaux Oa, ab , bc,...gh représentent la valeur très-petite et censée constante, de chacun des accroissemens ou de chacune des diminutions v, de vitesse, successivement éprouvés, par le mobile , dans des instans qui ici ne seront pas en général égaux , puisque le mouvement n’est point uniformément accéléré ou retardé (107 et suiv.^; il s’agira de trouver, pour chaque abscisse telle que Oc, par exemple , ou pour chaque valeur correspondante de la vitesse V du mobile, la mesure du produit de l’ordonnée ce' par v ou par cd , puis de faire la somme totale de ces produits pour l’in-

tervalle de mouvement ag, je suppose, qu’on veut considérer; car, d’après la formule , on obtiendra ainsi la valeur du temps qui s’est écoulé dans cet intervalle, et qui est la quantité que nous cherchons à calculer. Or, en raisonnant ici comme on l’a fût dans les N'” 72, 107, i 35 , etc.j il sera aisé d’apercevoir que la somme dont il s’agit, n’est autre chose que la superficie de l’aire trapézoïde a a' c' g' g a, comprise entre la courbe, l’axe OV des abscisses et les deux ordonnées aa', g^ ) qui répondent à l’intervalle de mouvement, ag t pour lequel on se propose de calculer le temps écoulé, par le moyen des vitesses Oa, O g, qui sont censées données immédiatement: le calcul de ce temps se fera donc aisément par la méthode du N° j8o.

2 53 . Applications particulières relatives à la chute des corps dans Pair. Prenons, pour exemple, une balle en bois d’orme de

3 * de diamètre, son poids sera (35 et 347) =o l , 01 »3 envi-

ron, et les résistances que lui opposera l’air, seront le de celles du tableau du N° 21 5 , pour les mêmes vitesses. Supposons que, cette balle étant tombée naturellement dans l’air, d’une certaine position pour laquelle la vitesse initiale était par conséquent nulle, il s’agisse de trouver quel sera le temps qu’elle mettra pour acquérir une vitesse de 8 m , représentée par Od, je suppose. On divisera cette vitesse en un certain nombre pair de parties égales, et on calculera les valeurs correspondantes de F (246), puis celles des ordonnées ou des quotiens de P par gF. En partageant seulement l’intervalle Oc? ou les 8 m de vitesse, en 4 parties égales aux points a,b,c, on pourra dresser la table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (21 5 et 247), en observant que le poids du volume d’air déplacé peut encore ici être négligé par rapport à celui du corps dans le vide, puisqu’il en est, au plus, le 65 ï' m \

points . y V ...... O, o, ê, o, d,

vitesses o“, a”, 4“, 6-, 8",

résistances R de l’air. ..... . o l , o k , 0001, o k , 0004, o l ,Ooio, o k , 0018, valeurs de F o*,oii3, o l ,oii2, o^oiog, o l ,oio3, o\oog5,

,, .P 0,001 15 valeurs de — ~

.0,1016, 0,1017, o,io 55 , 0,1117, 0,1211,

gF F Par conséquent on aura

somme des valeurs extrêmes de -= . . . . o, 1018 4 -o, tai 1 = 0,222g

3 fois celle des autres valeurs impaires aXo,io 55 — 0,3110

4 fois celle des valeurs paires 4(°î 10a 5 (* o ï ,II 7) — 0,8576

Total 1,191s

Cette somme totale, multipliée par le -1 de l’intervalle constant

APPLICATIONS , etC. 23 ^

ab entre les vitesses successives, qui est ici 2 mètres, donne jaX 1,8915=0", 861, parce que g répond (117) à une seconde qui est ainsi l’unité de temps. Si le corps fût tombé dans le vide, il eût acquis la vitesse des 8“, dans un temps qu’on obtient par la

formuleV=#T duN° 1 17, laquelle donne T=— =-^-=o", 8 i 5 $

ce temps est donc un peu moindre que celui qui répond à la chute dans l’air , comme cela doit être.

Si on se fût contenté de diviser l’intervalle de O à d y ou de zéro à 8 m ,en deux parties égales seulement, en 5 , l’on eût trouvé, pour la valeur du temps écoulé, 14“ X (o,iOi8-Ho,iai 1 ■+’ 4 - >< ' 0 » 1 o 55 ) =o",86o, laquelle ne diffère que de jj?de celle qui a été obtenue précédemment; or cela provient (180) de ce que la méthode est ici très-approchée , attendu que la première partie de la courbe, O 'a'b'c'e', diffère très-peu d’une ligne droite , et que les 8 m de vitesse sont encore loin de la limite 1 9“, 70, relative au plus grand mouvement de la balle (247)- On pourra donc, dans des cas semblables, abréger beaucoup le calcul du temps écoulé.

Cherchons maintenant le temps relatif à une vitesse de i6 m , laquelle approche de la vitesse limite 19”“, 70: en partageant l’intervalle, de 8 “ à 1 6", en 4 parties égales répondant aux vitesses de 10“, de 12“ et de i4 m , on trouvera pour résultat final, en opérant comme ci-dessus, i",389 , pour le temps écoulé entre l’instant où la vitesse est de 8 m et celui où elle est de i6"\ Si l’on eût seulement divisé Cet intervalle en deuxfparties égales , on eut trouvé i", 597, nombre qui ne surpasse le précédent que de — environ de sa valeur, et qui, même pour des opérations délicates, serait suffisamment approché. En ajoutant i", 389 à o",86i , temps qui répond à la vitesse de 8“ antérieurement acquise, le temps total relatif aux 16“, sera 2",a5o, tandis que, dans le vide , le temps

de la chute serait seulement i", 63 i. t >

Pour trouver le temps que le corps mettrait à acquérir la vitesse de 1 8“ qui approche encore plus dé la vitesse limite, il suffirait de partager l’intervalle des 2 m , compris depuis 16“ jusqu’à i8 m , en deux parties égales; on trouverait ainsi que le temps, écoulé dans cet intervalle, est d’environ o", 845 , c’est-à-dire peu différent de cejui qui, dans les premiers instans de la chute, a suffi pour imprimer la vitesse de 8“ à la boule. Ainsi le corps acquerrera, en 2",25o-i - o",845 ou en moins de 3 ",i, une vitesse de 18“ très -approchante de la plus grande vitesse de chûte 19™, 7, qu’il ne peut atteindre (a 5 o) réellement qu’a près un temps infini ou excessivement long. Dans le vide, le temps relatif aux 18" de vitesse serait seulement de i",84-

Il faudra opérer, d’une manière absolument semblable, quand il s’agira de trouver le temps qu’un corps quelconque , tel qu’un boulet, un ballon, un parachute, met pour ralentir ou augmenter

a 38 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

sa vitesse horizontale ou verticale d’une quantité donnée, par suite de l’action de la pesanteur et de la résistance du milieu ; seulement il faudra avoir soin , si on tient à une grande rigueur, de resserrer davantage les opérations vers les parties de la courbe qui diffèrent beaucoup de la ligne droite ; et l’on fera bien , sous ce rapport, de construire approximativement, dans chaque cas, cette même courbe , afin d’en étudier à l’avance la forme et les propriétés. Quant aux recherches qui exigent moins d'exactitude, on pourra diminuer le nombre des operations : voulant , par exemple, Calculer, tout d’un coup, le temps qui répond à la vitesse des îé” 1 ci-dessus, on se bornera à partager cette vitesse en deux parties égales de8 m chacune, et, ayant trouvé que les valeurs du quotient de P par^F, qui répondent à o”, à 8“ et à i6 m , sont 0,1018, 0,1211, 0,2875, respectivement, on obtiendra la quantité i 8“ (o, 1018-+-0, 2875-+- 4.0, 121 1 )= 2", 33, pour valeur approchée du temps dont il s’agit, laquelle est ainsi trop forte de ~ environ; en partageant l’intervalle en 4 parties égales, on trouverait 2", 256 , qui ne diffère plus que de yfr de la valeur 2", 2 5 trouvée ci-dessus.

254 " Trouver l'espace qui répond d une vitesse donnée du corps. Ayant calculé , selon ce qui précède, la table ou la loi qui donne les vitesses relatives aux temps écoulés, il ne sera pas difficile, d’après le N“ i 34 , de calculer aussi l’espace décrit, par le corps , pendant que sa vitesse a été augmentée ou diminuée d’une quantité donnée; mais, cette méthode exigeant que l’on ait préalablement calculé la loi dont il s’agit, ou qu’elle soit donnée immédiatement, deviendrait beaucoup trop laborieuse dans le cas où l’on ne connaîtrait que la loi qui lie la force motrice à la vitesse , ce qui est le cas actuel. On peut alors obtenir directement l’espace décrit sans calculer les temps écoulés.

En effet , nous avons , e étant l’espace décrit pendant le temps élémentaire l(io 8 ,i 34 et > 35 ),

P PV

e=VXfcVX-Xr=-V-

Raisonnant donc comme dans le cas précédent ( 252 ), et calculant, pour chaque valeur de la vitesse V, la valeur correspondante du quotient PV par 9“, 809F, on pourra former une nouvelle courbe

Oa"b" g" (Fig. 61), ayant ces quotiens pour ordonnées, et

toujours pour abscisses les valeurs correspondantes de la vitesse V. Or la surface comprise entre cette courbe, l’axe OV des abscisses et les ordonnées qui répondent à l’intervalle de mouvement qu’on veut considérer , donnera évidemment la somme des valeurs successives des élémens d’espace e, et par conséquent la longueur totale du chemin parcouru par le mobile dans cet intervalle : cette surface se calculera d’ailleurs absolument de la même manière que celle qui donne le temps, par la méthode du N° 180.

APPLICATIONS, etc. * 23 g

255. Applications particulières relatives à la chute verticale des corps dans Pair. Qu’il s’agisse, par exemple, de calculer, pour la balle de bois d’orme ci-dessus, l’espace décret quand cette balle a acquis la vitesse de 8 m ; on formera, en multipliant simplement , par les valeurs de V, les quotiens déjà trouvés (253) de P par ^F, ou de o,ooi 5 par F, la table suivante

vitesses o m , a™, 4 m i 6 m , 8"

, , P o,ooi5 „ .

valeurs de —XVr: — ^ — X», o, 0,3034, 0,4330, 0,6703, 0,9688 §* r

espace parcouru j3 n ’[o-l-o,9688-|-2.o,433o-f-4(o,ao54-j-o,C703)]=;3",54.

Dans le vide , l’espace décrit serait donné (118) par la formule

V a =agHj d’où H=p^=3“,ad,

puisqu’ici nous avons V = 8“. La balle devrait donc tomber de plus haut dans l’air que dans le vide , pour acquérir la vitesse en question, ce qui est naturel.

En recommençant les mêmes calculs pour la vitesse de i6 m , on trouvera que la hauteur correspondante de la chute serait de ai m ,3o pour l’air, et de i3 m ,o5 seulement pour le vide : nous n’avons divisé l’intervalle , de o m , à 16"“, qu’en quatre parties égales , ce qui suffit ici. On voit, par là, que les espaces décrits croissent d’une manière beaucoup plus rapide que les temps employés à les décrire (253) ; ce qui parait évident d’après la seule inspection des courbes qui leur correspondent dans la fig. 6 1 , et ce qui tient d’ailleurs à ce que les ordonnées aa'\ bb",..gg" croissent elles-mêmes plus rapidement que les ordonnées aa' t bb' ..eg, puisqu’elles ont, pour valeurs (aâ2 et 254), l es produits de celles-ci par les valeurs correspondantes de la vitesse V ou des abscisses.

256. Observations générales relatives au calcul des autres circonstances du mouvement, et conclusion. Les méthodes des N°* 252 et 254 serviront, quelle que soit la loi que suive la force motrice F par rapport aux vitesses, pour trouver directement l’espace et le temps qui répondent à une vitesse donnée ; mais, si c’était, au contraire, le temps où l’espace qui fût donné , et qu’il s’agit de calculer la vitesse correspondante, les opérations seraient beaucoup plus pénibles : on n’arriverait au résultat que par des tâtonnemens plus ou moins longs , ou par la formation d’une table complète des temps et des espaces qui répondent aux différentes vitesses, table qu’on calculerait, dans chaque cas, de la manière dont cela a été expliqué, N“‘ 253 et 255 , pour quelques valeurs particulières de la vitesse. Néanmoins une certaine habitude des calculs et le tact qu’on acquiert toujours en traitant une question spéciale , serviront à diminuer beaucoup le nombre des tâtonnemens , et feront pressentir d’abord certaines limitesentre lesquelles se trouvera comprise la valeur cher^lé^ ^ V

a4o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

En dire davantage sur ces opérations , ce serait sortir tont-àfaitdu cadre de cet ouvrage, sans en recueillir immédiatement un degré d’utilité quipût compenser la longueur des développemens. Nous ferons seulement remarquer, à ceux des lecteurs qui désireraient entreprendre de pareils calculs , que la Balistique , qui est devenue , de nos jours , une science à part très -difficile et trèsétendue, offre des méthodes particulières pour diminuer, mais non pour éviter entièrement, les tâtonnemens, et cela à l’aide des tables nommées logarithmiques et trigonométriques . Ces tables donnent, dans certains cas, la valeur toute calculée de la quan- tité qu’on cherche ; mais généralement elles ne la fou missent qu’a- » près qu’on a effectué un certain nombre d’opérations numériques sur les grandeurs données, ou qu’après qu’on a préparé convenablement ces quantités pour qué le résultat se trouve immédiatement ramené à celui qui est contenu dans les tables. C’est ainsi , par exemple , que la table de multiplication ordinaire fait obtenir le produit ou le quotient des nombres par une suite d’opérations particulières sur ces nombres, et que la table du N" 196, permet de calculer, par une simple proportion, la quantité de travail développée , par la vapeur, contre les pistons d’une machine à détente quelconque.

J’avais entrepris, en faveur des sous-officiers de l’Artillerie et du Génie, qui suivent ce Cours de Mécanique, de montrer comment le calcul des lois du mouvement dans l’air , peut se ramener, sans l’emploi de considérations transcendantes , et par les simples propriétés des figures géométriques , aux opérations qui se trouvent immédiatement effectuées dans les tables de logarithmes, dont il eût ici suffi de donner un extrait de quelques pages seulement; mais j’en ai été détourné par l’idée d’allonger

f iar trop ce volume, qui l’est déjà beaucoup sans doute. En effet', a formule qui donne les valeurs de la force dynamique F, relative au mouvement des projectiles dans l’air, variant , dans son expression , suivant les circonstances particulières de ce mouvement (24° etsuiv.), il en résulte qu’on a 8 questions distinctes à traiter, lesquelles, à la vérité, ont beaucoup d’analogie entre elles ; ■■ mais n’en exigent pas moins un certain développement, pour être convenablement exposées à des personnes qui ignorent les calculs transcendans et l’usage des tables. Je donnerai néanmoins,

S ar la suite , la solution de quelques-unes des plus importantes 'entre elles, si l’occasion favorable vient à s’en présenter, ou « l’on juge que la chose offre , en elle-même , un but suffisant d’utilité.

éc77 2

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TABLE DES MATIÈRES

N". Pag.

Dédicace iv

A VAUT- PROPOS vi

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LA CONSTITUTION ET LES PROPRIETES PHYSIQUES DES CORPS.

États principaux des corps. /

i . Corps à l'état solide , ou solides , ductilité , malléabilité.

а. Corps à l’état liquide , ou liquides.