Principe relatif au volume de F impression. On remar

Î iuera que, puisque la résistance R est proportionnelle à la surace de la projection transversale jW du mobile, la quantité de travail R XE développée, par cette résistance , contre le mouve- ' ment , est , de son côté , proportionnelle au volume A n d 3 X E de V impression ou du vide laissé, en. arrière du boulet, k mesure qu’il chemine dans l’intérieur du milieu ; car ce vide peut être considéré, à très- peu près, comme un cylindre droit à base circulaire , en négligeant la petite différence provenant de la portidn hémispérique située en avant , par rapport au surplus de ce vide. Mais on peut démontrer la proposition généralement en admettant, selon ce qui a déjà été observé ci-dessus (a 16) et conformément à l’opinion de plusieurs savans, qui se trouve également appuyée du résultat de quelques expériences spéciales (*), que la résistance demeure proportionnelle k l’étendue de la plus grande section transversale de la surface en contact avec le milieu , même dans les premiers instans de la pénétration.

U est facile de voir en effet , par un raisonnement analogue à celui du N° 186, que, si le mobile est lancé perpendiculairement à la surface qui limite le milieu , et que e soit, à un instant quelconque, la quantité très-petite dont ce mobile s’y enfonce, et enfin que a soit la moyenne valeur correspondante de la plus grande section transversale de l’impression, aXe sera aussi la

(*) Voyez, dans la nouvelle Architecture hydraulique de M. de Prony, tom. 1 , p. aig, et dans la note (x) de l ’ Architecture hydraulique de Beudor, tom. 1, p. 76, nouvelle Edition de M. Navier, une théorie particulière du choc, d’après D. G. Juan, savant espagnol qui a écrit sur les applications de la Mécanique à l'art maritime.

APPLICATIONS, etc. aoi

mesure du petit accroissemeinent de volume de cette môme impression ou du vide formé par le projectile dans le milieu. Mais le petit accroissement du travail, pendant la durée de L’instant dont il s’agit, est laXe ( 17a et 217); donc la somme de ces petits volumes, ou le volume total et effectif du vide , est proportionnelle à la somme des quantités de travail partielles correspondantes, ou au travail total développé, dans les divers instans , par la résistance variable du milieu, contre le projectile.

Le même raisonnement serait d’ailleurs applicable aux corps d’une forme quelconque, symétriques par rapport à un axe, et qui seraient mus dans la direction de cet axe, si on pouvait admettre, pour de tels corps, le principe relatif à la loi de la résistance; ce qui , je le répète , ne serait pas exact dans tous les cas.

221. Méthode pour calculer la profondeur et la durée des petites impressions. En supposant vrai le principe ci-dessus, pour les corps sphériques, comme il parait effectivement l’être alors, on voit qu’on n’aura pas beaucoup plus de difficulté pour calculer la profondeur de l’impression , dans le cas où le projectile pénétrerait très-peu dans le milieu résistant, que dans celui où il s’y enfoncerait d’une quantité très-appréciable, et telle qu’on pût considérer sensiblement le volume du vide comme un cylindre de même soction que la projection transversale du mobile , et ayant pour longueur la profondeur totale de l’impression.

En effet, si nous nommons B le volume de cette impression, le travail correspondant aura pour valeur ÆB ; de sorte que , selon le principe précédent , on aurait aussi

P PV J

-V’=2*B: d’oùB=: — ;

formule qui donnera le volume de l’impression maximum relative à une vitesse initiale V du projectile, et d’où l’on déduira ensuite aisément la profondeur de la pénétration totale par les principes de la Géométrie élémentaire; car on apercevra tout d’abord si le volume B surpasse ou non le volume de la demi-sphère antérieure du projectile ou d* . Dans le premier cas, B se composera d’une portion cylindrique, de diamètre d, et de l’hémisphère qui la termine; retranchant donc le volume de cette hémisphère, de B, on aura le volume et par suite la longueur de la portion cylindrique; augmentant cette longueur de irf, on obtiendra la profondeur totale de l’enfoncement. Dans le second cas, l’impression se réduira à un segment sphérique ayant une seule base et dont la flèche se calculera, par tâtonnement, selon les règles de la Géométrie : c’est-à-dire qu’on fera diverses suppositions sur la valeur de cette flèche, et qu’on calculera les volumes des segmens sphériques correspondans pour les comparer au volume B de l’impression, qui a été trouvé par les premières opérations.

Considérons, par exemple, le boulet de 24 dont il a été question ci-dessus , et supposons qu’il soit lancé , avec une vitesse de 25 o m seulement, dans le même milieu; on aura, en supposant P = 12 1 comme au N" 175,

ia k x(a5o m y 1 X6 a5 6 a, 5 mc

ig' n ,6aX5uooooo k 3,s7X3aooo 3a7X' J 6 ° ’°°7

Le volume de la sphère entière du projectile a été trouvé ( 2 i 5 ) de o””, 00176, lequel est beaucoup au-dessous de la valeur de B; retranchant donc , comme nous venons de le dire , A o"‘ r ,ooi 76 ou o mc , 00088, de o“ c , 00735, le reste o m %oo647 sera le volume de la partie cylindrique de l’impression; divisant ensuite ce volume par la surface o"" 1 , 01 76 du cercle de base de ce cylindre (1 77), on obtiendra, pour sa longueur, o m , 368 , à quoi il faudra ajouter la moitié du diamètre o“, i 5 du boulet, pour obtenir la profondeur totale de l’enfoncement, ce qui donne o m , 443 .

Si le volume B de l’impression eût été, au contraire, moindre que o m % 00088 , il eût fallu opérer par tâtonnement ainsi qu’on l’a expliqué ; mais nous ne saurions nous arrêter ici à donner un exemple de ce calcul qui ne présente guères plus de difficulté, et qui sera principalement utile dans les cas où le projectile sera animé d’une faible vitesse, ou viendra choquer directement un corps dont la dureté sera comparable à la sienne propre , tel que du 1er forgé, de la pierre, etc. Ce même calcul servira aussi à déterminer, d’après des expériences bien faites, la résistance k du milieu sur l’unité de surface: il ne s’agira que de mesurer, avec une grande précision, le volume B de l’impression pour chaque cas, ainsi que la vitesse V du projectile à l’instant où il va frapper normalement la surface qui limite extérieurement le milieu.

Quanta la durée de l’impression, il faudrait, pour l’obtenir, calculer séparément sa valeur pour l’intervalle où la résistance R varie, et pour celui où cette valeur reste constante. Ce dernier cas ne présente pas de difficulté, ainsi que nous l’avons déjà observé (219), et l’autre se traiterait par la méthode du N° 1 34 ; mais, comme nous aurons occasion, un peu plus loin , de résoudre des questions absolument analogues , nous nous contenterons d’y renvoyer le lecteur (*).

(*) On trouve, par les principes des calculs transcendans , que, quand le volume total de 1 impression est très-petit par rapport à celui du projectile, ce qui arrive dans beaucoup de circonstances, on a, en nommant e la profondeur de 1 impression, a un instant qui répond au nombre t de secondes écoulées depuis le commencement de la réaction et à la vitesse v conservée par le projectile, on a, dis-je, en conservant d’ailleurs aux autres lettres la même signification que dans les numéros précédons , et nommant a* le rapport donné de J 1 D à 6*^,

t —a Xarc ( sin. = ~ Y v’ssV* — — , V a\ / n’

MV J — M i/ knd

APPLICATIONS , etC. 203

22 2. Observations concernant la dureté du projectile et l’épaisseur du milieu. On ne doit pas perdre de vue que nos calculs supposent au projectile une dureté telle qu’il ne change pas de forme, d’une manière sensible, en s’enfonçant dans le milieu résistant. Dans le cas contraire, une portion plus ou moins notable de la force vive, dont il était animé avant son entrée dans ce milieu, serait employée (161 et 218) à produire ce changement de forme; il arriverait aussi, dans le même cas, que l’aplatissement du projectile ferait, comme nous l’avons déjà observé , croître la surlace, sur laquelle s’opère la résistance et par suite cette résistance ellemême, suivant une loi qu’on ne pourrait apprécier sans des expériences spéciales sur la dureté propre de la matière du projectile : ce cas arrive, en particulier, pour les balles de plomb qui s’aplatissent à mesure qu’elles pénètrent plus avant dans l’intérieur des terres, des bois, etc.; aussi faudra-t-il bien se garder d’y appliquer les calculs ci-dessus, sauf pour de très-faibles vitesses, ou pour des milieux peu résistans.

Nous avons également supposé que l’épaisseur du milieu, dans le sens du mouvement, était assez grande pour qu’il ne fût pas traversé entièrement par le projectile; lorsqu’il en est autrement et que ce milieu est limité par deux faces perpendiculaires au mouvement, la force vive du projectile est seulement, en partie, employée à vaincre la résistance de ce même milieu, et celle qu’il en conserve, après en être sorti, sert à le faire cheminer plus avant

d’où il sera aise de déduire , soit au moyen des tables connues , soit par une extraction de racine carrée, la valeur des quantités t, v ou e, quand on sc donnera- l'une quelconque d’entre elles.

On aura de même , en nommant T, E la durée et la profondeur totales de l'impression ,

/Drf’

gr=9 n, ,8o88, »=3,i4t6'

ira *sK

T — — = , errj iV, dans lesquelles i

La formule, qui donne T au moyen de a, montre que, quand le volume de la plus grande impression est , comme on le suppose , négligeable par rapport au volume du projectile , la durée de cette impression devient sensiblement indépendante de sa profondeur , ainsi que de la vitesse primitive V [du même projectile. Celte conséquence, qui s’étend aisément au choc de deux corps quelconques, quand l'impression est infiniment petite, est analogue à celle qui concerne les faibles oscillations du pendule , dont il sera fait mention plus tard , et dont la durée est également indépendante de l’amplitude de l’arc parcouru , etc.

La valeur de T montre d’ailleurs que la durée de l’impression est d’autant plus petite que la résistance ou la dureté de la matière du corps choqué ,

l’impres-

peu moindre que ne l'indique la formule ; de sorte que celle-ci ne donne véritablement qu’une limite supérieure de celte durée, d’autant plus exacte que l’impression est plus faible.

ao4 mécanique industrielle.

dans l’air. Connaissant l’épaisseur du milieu et la valeur de k qui lui correspond , on trouvera aisément la force vive qui reste au projectile: elle sera égale (137) à la force vive primitive , diminuée du double de la quantité de travail qui est relative à V épaisseur traversée , et qui a pour mesure le produit de la résistance k, sur l’unité de surface , par le volume total del’ impression , formant ici un véritable cylindre.

Des lois de l'impression dans les milieux très-consistans et d’une étendue limitée.

223 . Influence de l’inertie et de la flexibilité des milieux dont le mouvement est gêné par des obstacles. Nos calculs supposent que la masse du milieu soit très-grande par rapport à celle du projectile, et que, si ce milieu compose un corps solide peu épais, tel qu’une planche de bois, cette planche ne fléchisse pas, d’une manière sensible, pendant l’impression. En effet, dans le cas contraire, une portion de la force vive primitive serait employée à vaincre l’inertie des molécules du solide ou à produire sa flexion ; cette portion aurait pour valeur (97 et i 38 ) le double du travail que devrait développer, dans le sens du mouvement du projectile et au point où il agit, une force de pression quelconque pour amener la pièce au même degré de tension finale. On en tiendra donc aisément compte quand on aura observé cette flèche par expérience, ou qu’on l’aura déterminée à l’aide du calcul , ce qui n’est nullement impossible comme nous le verrons plus tard , puisque nous connaissons ici la loi que suit la pression. Quant à la portion de la force vive du mobile , qui est employée , dans le même cas, à communiquer une certaine vitesse aux molécules du milieu, elle sera d’autant plus grande que la masse de ce milieu sera moindre , et que son mouvement sera moins empêché par des obstacles étrangers. Nous verrons bientôt comment on peut calculer cette portion de force vive quand le milieu a la liberté de se mouvoir en tous les sens; examinons d’abord ce qui arrive dans le cas où son mouvement général est empêché par quelqu’obstaole solide , et tâchons de démêler le rôle que jouent séparément l’inertie et la force de ressort des parties.

Supposons , par exemple , que la planche ci-dessus qui constitue le milieu solide , soit appuyée , à ses extrémités , contre deux poteaux invariables; elle s’opposera donc au mouvement d’une balle qui s’y enfoncerait, non-seulement par sa force de ressort, mais aussi par l’inertie de ses différentes parties ; néanmoins , comme à l’instant où l’enfoncement de la balle cesse , la flexion est aussi à son maximum et la vitesse nulle , l’inertie des parties de la planche qui , dans les premiers instans de la flexion, a absorbé de la force vive , a dù ensuite ( 1 4 0 et l° rs Au ralentissement de la vitesse , restituer cette même portion de force vive; de sorte que,

APPLICATIONS , etc. 205

dans la réalité, il n’y a eu, à l’instant dont il s’agit, de consommée que la quantité de travail nécessaire pour produire l’enfoncement et la ilexion.

La force vive , primitivement possédée par la balle , se trouve donc égaler le double de cette quantité de travail, que, par hypothèse, on sait estimer; car les poteaux qui sont des masses inébranlables et très-grandes, par rapport au projectile, n’ont, par cela même (160 et 162), rien ou très -peu absorbé. Ainsi on pourra encore, pour l’instant dont il s’agit, calculer l’enfoncement total qui, d’ailleurs, sera nécessairement un peu moindre que dans le cas où la planche serait appuyée solidement dans toutes ses parties, ou serait suffisamment épaisse pour ne pas fléchir.

224* Influence de l’ élasticité du milieu. Si le ressort de la planche ci-dessus n’a pas été détruit par suite de sa flexion générale, cette planche retournera en arrière, et exécutera, autour de sa position primitive, une suite d’oscillations ( 1 9) de plus en plus petites, et qui finiront bientôt par s’éteindre, attendu les résistances de toute espèce qui s’opposent à ce mouvement. Si donc la balle s’est tellement enfoncée dans la planche, que la compression et le frottement qu’elle y éprouve , suffisent pour l’empêcher d’en sortir lors du mouvement général de retour, elle exécutera une série d’oscillations avec cette planche ; de sorte qu’au bout d’un certain temps , la force vive employée à mettre en jeu la force de ressort de celle-ci, n’en sera pas moins perdue inutilementpourl’impression. Je dis inutilement, bien qu’il soit évident, qu’à l’instant où la planche revient en arrière avec une vitesse croissante, la balle, qui était au repos, résiste par son inertie et reçoit, à son tour et de la part du milieu, un choc qui tend à l’y enfoncerun peu plus qu’elle ne l’était d’abord ; mais, comme la vitesse rétrogade de la planche diminue de plus en plus, et que la balle résiste à ce ralentissement (66) en vertu de son inertie, il arrive bientôt aussi qu’elle tend à s’en séparer avec là vitesse contraire qu’elle a acquise ; or, si son inertie est, à cet instant, vaincue pat le frottement, etc. , qu’elle éprouve delà part du corps, elle a dû l’être aussi dans la première période du retour; de sorte qn’en réalité, l’enfoncement n’a pas dû augmenter; et, attendu que les mêmes raisonnemens s’appliquent aux oscillations suivantes, il est bien vrai de dire que le travail , recélé par la force de ressort de la planche, a été consommé sur des résistances étrangères à l’impression. Ainsi donc , quoique le milieu soit plus ou moins élastique, la force vive possédée d’abord par la balle, se trouvera partagée-, à peu près , comme on l’a dit N" 2a3.

Quand, au contraire, la balle se. détachera de la planche, lors du mouvement de retour, ce qui arrivera généralement toutes les. fois que l’impression sera peu profonde, cette balle sera, conformément à ce qui a été admis aux N"*^, 1 15 et suiv. , projetée

en arrière avec une certaine -vitesse ; toutefois la force vire corredondante sera une bien faible portion, non - seulement de celle que possédait d’abord la balle, mais même de celle qui a été absorbée par la flexion générale de la planche; car le projectile quitte cette planche précisément à l’instant où elle a acquis sa plus grande vitesse de retour, et où elle a ainsi converti, en force vive et pour son propre compte, la majeure partie du travail qu’avait absorbé sa force de ressort.

On peut donc aussi affirmer que l’accroissement de l’impression, résultant du choc en retour, est également une quantité très-faible; de sorte qu’on pourra, dans bien des cas, admettre que la force vive initiale du projectile se compose seulement du double de la quantité de travail qui répond et à la flexion générale et au volume de l’impression , comme dans le cas où la planche est sans élasticité ( 220 ). Cette relation servira d’ailleurs à calculer la profondeur de l’impression quand on sera certain que cette impression persiste, ou que l’élasticité du milieu a été complètement détruite dans, l’enaroit même où elle s’est opérée ; autrement, en effet, la vitesse restituée à la balle pourrait être très-appréciable, et sa force vive très-comparable à sa force vive primitive.

225. Conclusions relatives à la pénétration des milieux flexibles retenus par des obstacles. On voit, par l’examen qui précède, que la force vive primitive du projectile sera composée, dans tous les cas, et de celle que conserve ce projectile après le choc, et du double de la quantité de travail qui a été absorbée tant pour produire l’impression persistante, que pour imprimer à la planche la vitesse et la flexion qu’elle conserve à l’instant où elle est quittée par la balle. Or l’expérience prouve que la vitesse de retour de la balle est généralement très-faible par rapport à celle qu’elle possédait d’abord , si ce n’est quand cette dernière est elle-même fort petite , et que la matière des corps qui se choquent est suffisamment raide et élastique pour que l’impression maximum soit, pour ainsi dire , insensible; ce qui n’est pas le cas que nous avons spécialement en vue ici.

On peut donc admettre généralement que la majeure portion de la force vive que possédait primitivement le projectile, a été consommée effectivement, soit à produire l’enfoncement du milieu ou l’aplatissement de ce projectile , soit à infléchir ce milieu d’une manière permanente, s’il est dépourvu de l’élasticité nécessaire pour reprendre sa forme primitive , soit enfin à lui imprimer, dans le cas contraire, des oscillations ou des vibrations, plus ou moins rapides , plus ou moins étendues.

Nous sommes entrés dans tous ces détails, afin de bien faire voir comment la force vive se consomme ou se détruit, inévitablement et sans retour, dans la réaction des corps , et pour éclairer, de plus en plus, les principes théoriques que nous avons

APPLICATIONS, etC. 207

exposés dans les Préliminaires , notamment ceux qui concernent la communication du mouvement, lesquels trouvent des applica-' tions nombreuses dans les questions que présentent la pratique' desarts et l’établissement des machines. Ces mêmes considérations serviront aussi à faire pressentir, à l’avance , les résultats de certains phénomènes , ou à apprécier certains effets plus ou moins compliqués de l’action des forces, qu’il serait impossible, en aucune manière , de soumettre à un calcul rigoureux ; et elles empêcheront, tout au moins, de commettre des fautes graves, quand il s’agira d’établir des projets dont les résultats se fondent sur les données de la Mécanique. C’est dans cette vue que nous allons ajouter quelques développemens à tous ceux qui précèdent, concernant la réaction des corps solides libres.

t V v m ,, ‘ ‘y.i '►V-VV’i'Vv. 1 ‘ * J t iy\a<j*viyv^

^26 . De la pénétration des milieux limités et entièrement libres . Nous avons supposé jusqu’ici que la masse du milieu soit très-grande par rapport à celle du projectile, en sorte qu’il n’en reçoive aucun mouvement sensible, ou qu’ayant des dimensions finies , il soit tellement appuyé , en certains points , contre des obstacles, que les parties voisines de celle où se fait l’impression, prennent seules un mouvement général de flexion , dépendant , soit de l’intensité de la force de réaction , de la pression exercée

Î >ar le projectile, soit de la durée même de cette réaction ou de a profondeur de l’impression. Or il est essentiel de remarquer que cette flexion aura également lieu quand la pièce choquée sera parfaitement libre de se mouvoir dans le sens du chemin suivi par le projectile, ainsi qu’il arriverait , par exemple, si cette pièce était simplement suspendue à l’extrémité d’une corde très-flexible.

En effet , le mouvement serait d’abord communiqué aux parties voisines du point où se fait l’impression , et il ne se propagerait que successivement et progressivement aux parties les plus éloignées ; celles-ci résistant donc par leur inertie , et demeurant un instant stationnaires, tandis que les autres ont déjà reçu, en grande partie, le mouvement du projectile et cheminent en avant , il est clair que la pièce doit nécessairement fléchir à mesure que ce projectile s’y enfonce, et fléchir d’autant plus que la masse , et par conséquent l’inertie des parties reculées , sont plus considérâmes.

Ainsi, dans le cas dont il s’agit, les choses se passent, en réalité, à très -peu près comme si le corps était appuyé contre des obstacles fixes vers les parties éloignées du centre d’impression, si ce n’est qu’immédiatement après l’instant de la plus grande flexion, et attendu la grande force de cohésion qui unit entre elles toutes les molécules du milieu, la vitesse se trouve propagée (*) , du centre d’action aux extrémités, de telle sorte que

(*) Voyei, plus bas, les N 01 a3i et a3a.

ao8

les différentes parties se sont mises en harmonie de mouvement avec la masse du projectile , conformément à ce qui a déjà été expliqué (i55 et suiv.). La formule du N° i56 donnera donc la vitesse commune dont il s’agit, et celle du N“ 1 6 ■ la portion de la force vive du projectile, qui a produit l’impression, la ilexion ou tout autre changement d’état moléculaire éprouvé, par les deux corps, à l’instant où cette impression atteint sa limite.

Par conséquent, si le milieu résistant est sans élasticité ou a perdu sa force de ressort à ce même instant , et que la dureté du projectile soit d’ailleurs très-grande par rapport à la sienne propre,

la portion de force vive — - ^ dont il s’agit, et dans laquelle M'

représente la masse entière du milieu, cette portion, dis-je, se trouvera alors égaler le double de la quantité de travail relative (2a i) au volume total de la pénétration du projectile dans l' intérieur de ce milieu, plus au double de celle qui a été absorbée pour produire la flexion générale et permanente de ce meme milieu.

Cette dernière quantité de travail, qui pourra s’estimer à peu près comme dans le cas (223) où le milieu est retenu par des obstacles fixes, sera d’ailleurs négligeable toutes les fois que ce milieu aura assez d’épaisseur, assez de raideur, pour ne pas éprouver de flexion générale sensible , et qu’il sera assez mou, par rapport au projectile, pour que ce dernier puisse s’enfoncer, d’une quantité plus ou moins considérable, dans son intérieur, sans en être expulsé (224).

227. Du cas où le milieu libre est flexible et élastique. Si le corps solide , qui constitue le milieu résistant , conserve, à l’instant de la plus grande flexion, assez d’élasticité pour retourner vers la forme générale qu’il avait avant le choc, sans en avoir assez pour que l’impression soit complètement effacée et que les corps se séparent immédiatement, il se passera des choses absolument analogues à celles qui ont lieu (224) , pour le cas où le milieu est retenu fixément par les extrémités; c’est-à-dire qu’il ne reprendra pas instantanément sa forme définitive , et qu’il n’y parviendra qu’après une série d’oscillations ou de vibrations de .plus en plus faibles et relatives à sa force de ressort, oscillations en vertu desquelles il arrivera que , tantôt ce seront les extrémités qui marcheront en avant , et tantôt le point où a commencé l’ébranlement.

On voit aussi qu’une certaine portion de la force vive du projectile aura été employée à produire ces oscillations et le mouvement général de transport du milieu, etc. Mais, comme il n’existe point ici d’obstacles extérieurs , le travail absorbé par la flexion aura servi, en majeure partie, et après les oscillations terminées, à augmenter la vitesse générale ou la force vive du milieu ; de

APPLICATIONS, etC. 2 OC)

sorte qu’on peut admettre que la force vive initiale du projectile se trouve simplement décomposée , après le choc , en deux parties , dont l’une égale le double de la quantité de travail relative au volume total de l’ impression ou de V enfoncement produit par ce projectile , et l’autre à la somme des forces vives finales conservées à la fois par les deux corps.

Cette somme de forces vives se calculant d’ailleurs encore au moyen de la formule du N° 1 56 , puisqu’ici les corps sont censés ne pas se quitter après l’impression (i 5 <)) , il en résulte nécessai-