COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DES FORCES APPLIQUÉES A UN MÊME POINT

Kl. Résultante tic deux forces. — Nous considérerons d’alxml deux forces commcnsurablcs. Soient P, Q (fig. 4) ces forces, A leur point d’application; AM, AN des longueurs proportionnelles à ces forces; ///, n deux nombres entiers, tels que l’on ait P : Q " m ; n “ AM : AN ; partageons les longueurs AM, AN en parties égales Ail, 11C, AU ,ctc., dont les nombres soient respectivement ni , h; ces diverses parties représenteront des forces, dans lesquelles on pourra décomposer les premières. Menons par les points 11, C, etc., des parallèles à AN, et par les points H, K, etc., des parallèles à AM ; ces droites partageront le parallélogramme AMIN en losanges égaux. Cela posé, les deux

PHF.MII.KK ANNEE. — STATIQUE. 1 1

forces égales AB, Ail peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes au point D de la bissectrice de leur angle; elles seront alors dirigées suivant les deux cotés BD, HD qui les représenteront aussi en longueur. En agissant de la même manière sur les deux forces BD, BC, on les transportera sur DE, CE; et, en continuant ainsi , la force AH sera transportée en MF, et AM en HF. De même, les forces HK, HF pourront être transportées en FG, KG, et ainsi de suite; de sorte que les deux forces AM, AN seront transportées en NI, MI, sans que leur effet soit changé. Or elles donneraient en I une résultante égale et parallèle à celle qu’elles donnaient en A; donc, d’après ce que nous avons démontré précédemment, le point I appartient à la direction de cette dernière.

11 suit de là que la résultante de deux forces commcnsurables est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes <pii représentent ces forces en grandeur et en direction.

1 i. On peut passer delà au cas des forces incommensurables par la considération des limites. On peut encore employer la réduction à l'absurde, comme il suit.

Si la diagonale AI ( fig . 5) n’est pas la direction de la résultante des forces incommensurables AM, AN, soit AI1 cette direction. Par le point H, où elle rencontre l’un des deux côtés du parallélogramme, menons la parallèle HK à l’autre côté; nous pourrons prendre entre M et K un point B, tel que AB soit commensurable tA-cc AN, et alors la diagonale AC du parallélogramme NABC donnera la direction de la résultante des forces AN, AB. Il faudrait donc qu’en la composant avec la force représentée par BM , cl qu’on peut supposer appliquée au point A, on trouvât la résultante des deux forces données, qui est dirigée suivant AH par hypothèse; ce qui est absurde, puisque cette dircc-

COURS »E MtCANIQUk.

lion n’est pas comprise dans l’angle CAM des deux forces composantes.

Donc, quel que soit le rapport des forces, leur résultante est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui les représentent.

15. Il reste encore à déterminer l’intensité de la résultante des deux forces P, Q. Pour cela nous observerons que si nous appliquons suivant la direction AX (fig. 5), opposée à celle de la diagonale AI, une force R égale à la résultante, il y aura équilibre entre les trois forces P, Q, R. l;a force Q, par exemple, sera donc égale et opposée à la résultante des deux autres P, R ; et, par conséquent, si par le point P nous menons une parallèle à AX , qui coupe en R le prolongement de A Q, cl que, par le point B, nous menions BC parallèle à AP, la longueur AC représentera la force R ; car toute autre grandeur, conjointement avec AP, donnerait un parallélogramme dont la diagonale serait dill'érenlc de AB. Mais AC = BP = AI ; donc la résultante des deux forces P et Q est égale à AI ; et , par conséquent , la diagonale du parallélogramme constriut sur les deux forces représente , en grandeur et en direction , la résultante de ces forces.

Les deux forces P, Q, et leur résultante R, sont donc les trois côtés d’un triangle dont les angles sont respectivement ceux que la direction de la résultante forme avec celle des deux autres , cl le supplément de l’angle que forment entre elles ces deux dernières. Chaque force peut donc être représentée par le sinus de l’angle des deux autres; ce qui s’exprimera ainsi :

P : Q : R : I siu QR : sin PR : sin PQ ; on a , de plus .

R ! z= PM- Q -t- a PQ cos PQ

Si l’angle PQ est droit, ccs relations deviennent

P = R cos PR, Q = R cosQR, R’ = P 3 -f- Q’.

Toutes les questions que l’on peut se proposer sur la composition de deux forces appliquées à un môme point, ou sur la décomposition d’une force en deux autres, sont donc ramenées à la construction ou à la résolution d’un triangle ; et il serait superflu d'entrer dans plus de détails à cet égard.

Composition et équilibre de forces en nombre quelconque appliquées à un point libre.

JG. La résultante de deux forces appliquées à un môme point étant représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les droites qui représentent ccs forces en grandeur et en direction, il s’ensuit que pour avoir la résultante d’un nombre quelconque des forces P, P', P", etc. , appliquées à un point A, et représentées par les droites AP, AP', AP", etc. , on pourra composer d’abord les deux forces P et P', puis leur résultante avec P", cette nouvelle résultante avec P'", et ainsi de suite, jusqu’à la dernière force. D’où il suit que si l’on construit un polygone APBCD (Jig. 7), dont les côtés soient égaux et parallèles aux droites AP, AP', etc. , et que l’on joigne le point A au dernier sommet D, la ligne AD représentera, en grandeur et en direction, la résultante de toutes les forces.

Ou conclut de là que la condition nécessaire et suffisante pour que les forces appliquées à un point libre soient en équilibre, consiste en ce que le point extrême D sc confonde avec le point A; c’est-à-dire que le polygone APB...D soit fermé. Lorsque les forces sont au nombre de trois, et que leurs directions ne sont pas dans un môme plan, il

l/ t COUDS DE MÉCANIQUE.

est facile de voir que la construction indiquée donne, pour la grandeur et la direction de la résultante, celles de la diagonale du parallélipipèdc construit sur ces trois forces.

17. Les polygones fermés , plans ou gauches, jouissent de cette propriété, que si on les parcourt entièrement dans l'un ou l’autre sens, la somme des produits de chaque côté par le cosinus de l’angle que fait la direction suivant laquelle il est parcouru, avec une direction fixe, est égale à zéro.

Donc, lorsqu'un système de forces appliquées à unpoint libre est en équilibre, la somme des produits de ces forces par les cosinus des angles formés par leurs directions avec une même direction quelconque est nulle. Réciproquement, si cette propriété avait lieu relativement à une direction quelconque, le polygone serait nécessairement fermé; et, par conséquent, il y aurait équilibre. Mais il est facile de voir qu'il suffit pour cela qu elle ait lieu pour trois directions partant d un même point et non comprises dans un même plan; car, si le polygone n’était pas fermé, la somme dont il s’agit ne pourrait être nulle que pour les directions perpendiculaires «à la droite qui joindrait les deux sommets extrêmes; or cette droite ne peut pas être perpendiculaire à troisdirectionspartantd’un même point, et non comprises dans un même plan. Donc, si la somme est nulle pour ces trois directions, le polygone est fermé, et il y a équilibre. Ou peut donc énoncer la proposition suivante:

Pour que des forces appliquées à un point libre se détruisent , il est nécessaire et suffisant que les sommes des projections de ces forces sur trois directions non comprises dans un même plan, soient séparément égales à zéro.

Il est clair, d’après ce qui précède, que dans cet énoncé nous regardons comme positives les projections des forces qui fout un angle aigu avec la direction fixe, et comme négatives , celles des forces cpii font un angle obtus. Le plus

l'IUtHlÈRF AXXKE. STATIQUE. l5

ordinairement, on prend ces trois directions perpendiculaires entre elles. Si donc on désigne par a, ê, y les angles formés par la direction d’une force quelconque P, avec les directions des axes positifs X, Y, Z, et que l’on désigne par le signe 2 la somme des termes semblables relatifs à toutes les forces, les conditions de l'équilibre seront exprimées par les équations

2 P cos a = o, 2Pcos6 = o, 2 P COS 7 = o.

18. Si les forces ne sont pas en équilibre, désignons par II leur résultante , et par a , b , c les angles formés par sa direction avec les axes : il y aura équilibre en introduisant dans le système une force égale à R et directement opposée , c’est-à-dire faisant avec les axes les angles ~ — a, n — &, 7 : — c, dont les cosinus sont égaux et de signes contraires à ceux de a , ft, c 5 on aura donc

ou

2 P cos a — U cosn = o, 2 P cosf> — R cos b — o , 2 P cos y — R cos c = o ,

R cosrt = 2 Pcos a, R cos b = 2 P cos 6, R cosc = 2 P cos y.

Ces équations s’obtiendraient immédiatement par la considération du polygone APBDA , qui montre que la projection de la résultante sur une direction quelconque est égale à la Somme algébrique des projections des composantes. Elles déterminent la direction et la grandeur de la résultante. Si l’on fait, pour abréger,

2Pcosa = X, 2 P cos 6= Y, 2 P cos y — Z, on trouvera R = y/X* - 4 - Y ® Z ! ,