COS II

cosr — — •

iG couns on mécanique.

19. L’expression de la résultante peut être rendue indépendante de la direction desaxes. En effet, si on forme les carrés de X, Y, Z, en observant que cos* a. ■+■ cos* o -t- cos’y = i , cl que pour les directions de deux forces P et P' faisant

entre elles un angle désigné par PP', on a

cos a cos a' -t- cos 6 cos fi' -t- cos 7 cos 7' = cos PP' ,

on obtiendra

R J = ZPH- 2 S PP' cos PP'.

20. On peut obtenir ces résultats par des considérations différentes. Si , suivant la règle du parallélipipèdc des forces , on décompose chacunedes forces P, P', etc., suivant les trois axes rectangulaires, les composantes de la force quelconque P seront Pcosa, Pcoso, P cos y, et l’on remarquera que , d’après les signes des cosinus , ces composantes seront positives quand elles agiront dans le sens des axes positifs, et négatives quand elles agiront en sens contraire. Donc, si l’on fait la somme algébrique des composantes qui sont dans le môme axe, on aura la grandeur et le signe de la foi •ce à laquelle elles se réduisent. Ainsi toutes les forces seront remplacées par trois autres , agissant suivant les axes, et ayant pour valeurs respectives

IP COSa, ïPcosfi, ÏPCOS7.

Or il ne pourrait y avoir équilibre si elles n’étaient pas nulles séparément, car elles se composeraient en une seule qui ne serait pas nulle; les conditions nécessaires et eu même temps suffisantes pour l’équilibre sont donc

ïPcosa = o, ïPcosfi = o, 2 Pcos7 = o.’

S’il n’y a pas équilibre, ces trois forces donneront pour résultante du système, la diagonale du parallélipipèdc dont

statique .

A ' PR RM I h. RK ANNI-.K. — STATIQUC.

elles seront les arêtes. Si donc on pose

* î. PCos * =r 3t , s P cos 6 = Y, ï P cos •/ = Z ,

et

cos a — — > cos v = — j cos c = — • R R R

21 . Cas général où les axes sont obliques. — Si les trois.Tlircc lions, choisies pour la décomposition des forces, ne sont pas rectangulaires, -il sera toujours nécessaire cl suffisant que le*s sommes algébriques des composantes soient nulles suivant chaque axe, en affectant de signes contraires celles qui sont en sens opposé. Les trois équations de l’équilibre n’ont pas la même forme, parce que les parallélipipèdes sont obliques; mais elles constituent un système . équivalent à celui que donneraient trois axes rectangulaires, puisque l’un et l’autre système sont nécessaires et suffisants pour l’équilibre. Si l’on désigne par X,, Y,, Z,. les composantes positives ou négatives de l’une quelconque des forces données, toutes ces forces pourront être- remplacées par trois forces dirigées suivant les axes et représentées, en grandeur et en-signe, par les trois sommes

JX„ sY,, I Z, .

Les trois forces qu’elles représentent sont donc les composantes de la force qui peut remplacer les forces données, c’est-à-dire de leur résultante, elles conditions d’équilibre de ces forces seront exprimées par les équations

S.X, = o, 2Y;±=p,- IZ, = or

On arriverait aux .mêmes conséquences par la considération des projections des côtés du polygone fermé , parallèlement à trois plans non parallèles à une. même droite, et pouvant former un systèmede plans coordonnés.

1 8 COURS [>r. MECANIQUE. ■

22. Nous appellerons quelquefois force estimée suivant une direction, la projection de cette foçec sur cette direction ; c’cst la composante déterminée que l'on trouve en décomposant la force en d'autres, dont l'une soit dans cette direction et les autres dans le plan perpendiculaire. Ainsi , dans les formules précédentes, P cos a, P cos 6, Pcosy sont respectivement les valeurs de la force P estimée suivant les axes des x, des y et des z.

Equilibre d'un point assujetti à rester sur une surface on une courbe fixe.

23. Si un point , situé sur une surface qu'il ne peut quitter, est sollicité par une force normale à cette surface, il restera en équilibre; car toutes les directions suivant lesquelles il pourrait se mouvoir étant semblablement placées par rapport à la force, il n’y a aucune raison pour qu’il prenne l’une plutôt que l’autre , et , par conséquent, il h’en prendra aucune : ce principe est confirmé par toutes les expériences. Mais si le point est sollicité par une force oblique, on peut la décomposer en deux autres, dont l’une soit normale et l’autre dans le plan langent; la première est détruite parla résistance de la surface, mais rien ne s’oppose à ce que la seconde mette le point en mouvement , si l’on suppose qu’il puisse se mouvoir librement sur la surface dans toutes lès directions. C’est cé qui n'aurait pas nécessairement lieu s’il y avait ce que l’on appelle un frottement; mais nous en faisons abstraction pour le moment, et nous supposons tous les mouvements entièrement libres sur la surface.

Une surface ne pouvant donc détruire que les forces qui lui sout normales, produit toujours le même effet qu’une force égale à la somme de celles qu elle détruit et agissant dans la direction normale opposée. Il en est de même de la

PREMIÈRE A\Z»fcF.. — STATIQUE. K)

résistance d’une courbe sur laquelle un point peut se mouvoir librement. Elle détruit les forces dont la direction est comprise dans le plan normal mené au point d’application , et n'en détruit aucune autre. Sa résistance pourrait donc toujours être remplacée par une force normale, égale et contraire à la résultante de celles qu’elle détruit.

24. Cela posé, soit F (x, y, z)=o l’équation d’une surface sur laquelle doit rester un point sollicité par des forces quelconques,. P, P', etc.; il n’est plus nécessaire, pour son équilibre, que ces forces se détruisent; il suflit que leur résultante soit normale à la surface, et, par conséquent, que les cosinus des angles formés avec les axes par la direction de la résultante soient proportionnels à ceux qui se rapportent à la normale. Or les premiers sont entre eux comme les quantités désignées précédemment par X, Y, Z. Les autres peuvent s’exprimer en fonction de r , y , z au moyen de l’équation de la surface; désignous-les par cos a , cos b , cos c.

Les conditions d’équilibre sont donc exprimées par les équations

X Y L cos a cos b - cos c

Si ces équations n’étaient pas satisfaites, il n’y aurait pas équilibre; et si l’on voulait savoir en quel point de la surface les forces proposées seraient détruites, il faudrait trouver les valeurs de x, y, z , qui satisferaient à ces deux équations et à celle de la surface.

Si la surface ne résistait que dans un sens, il faudrait s’assurer si la résultante des forces agit dans le sens contraire , sans quoi elle ne serait pas détruite. Ce cas est celui d’un point qui ne serait que posé sur une surface qu il ne pourrait pénétrer, mais dont il pourrait être détaché. #

2o. Si le point était assujetti à rester sur une courbe

20** - COURS >»F MÉCAWIQUK. *. • *

donnée, il faudrait, pour qu'il fût en équilibre, que la résultante fût perpendiculaire à la tangente. Or celle dernière ligne fait avec les axes des angles a, £>, c dont les cosinus sont déterminés en fonction de x, y, z par les équations de la courbe. La condition d’équilibre sera donc • . exprimée par l’équation. • ’• - -

X cos a - 4 - Y cos b 4- Z cos c = o.

Si celte équation n’était pas satisfaite pour le point", donné, il n’y aurait pas équilibre. On déterminerait le point de la courbe où les forces données seraient détruites,

' en cherchant les valeurs de x,j, z ,qui satisferaient à-cettc équation et aux deux équations de la courbe. .

/I titre manière <1 avoir éjard à la résistance des sùrf aces ou -des lignes.

.20. La résistance d'uné surface ou d'une courbe produisant toujours une force normale, on pourrait substituer celle dernière à la surface ou à la courbe, et considérer alors le point comme entièrement libre.. La grandeur de celte force sera une des inconnues de la question } sa direction sera dans l’un ou l’autre sens de la normale, s’il s’agit d'une surface, et ne sera assujettie qu’à être perpendiculaire à la tangente, s’il s’agit d’une courbe.

27. Considérons d’abord le cas d'uuc surface dont l'équation soitF(x, y, z) — o-, soient N l’intensité delà force normale qui la remplace, et a, b, c les angles qu’un des ' deux sens de la normale fait avec les axes -, les composantes de.N seront ,

± N cos n , ± N cos b , dz N cos r ,

les signes supérieurs correspondant à l’un dépens de la normale, et les signes inférieurs à l’autre. Maintenant, le

STATIQUE

PH K. VI 1 KH K N % N fc, K .

[>oint devant être considéré comme libre, les deux forces qui le sollicitent doivent être égales et opposées, ainsi que leurs' composantes respectives ; les équations d'équilibre . .seront donc . '■ -■/

X dt N cos a — o , Y ±* iN cos b — o , / + >' cos r = o ,

d’où., en éliminant N,

cbs a cos b

cos c

Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes pour l’équilibre , parce qu’elles en remplacent deux des précédentes , et que la troisième sera toujours satisfaite en prenant une valeur convenable de N et un signe convenable pour le second terme.

- •’ Mais. on calculera plus facilement jN en observant que, puisqu’elle est égale et opposée à la force donnée, sa valeur , sera

N = ^X , Vy'+ Z‘. . .

28. Considérons maintenant un point assujetti à rester sur une courbe, dont les équations soient

La force N , -qui remplace la résistance de la courbe, peut avoir une direction normale arbitraire. Les angles a , b , c , que la tangente à la courbe fait avec les axes, sont des fonctions de x , y , a données par les deux équations précédentes. Si l’on désigne para, o, y les angles que fait avec les axes la direction de la force N, on aura

. cos a cos x cos b cos 6 cos r. cos y — o ,

et les équations de l'équilibre seront

X +- N cos z = o , Y -+- N cos 6 = o , 7 . -J- Ç! cosy =r n.

COUnS I»E MÉCANIQUE.

On éliminera les inconnues «, 6, y, N en multipliant ces équations , respectivement par cos a , cos b , cos c , et les ajoutant; on trouve ainsi , en vertu de la précédente,

X cosn -t- Y cos b -+- 7. cos c = o ,

équation nécessaire et suffisante pour que les quatre équations puissent avoir lieu en même temps. Les trois précédentes détermineront la grandeur et le signe des composantes N cos «, N cos 6, N cos y, qui sont égales et de signescontraires à X , Y, Z, et donneront pour la résistance de la courbe une force égale et opposée à la résultante des forces données, comme cela devait être évidemment.