CHAPITRE VI

ÉQUILIBRE n’UN SYSTÈME RIGIDE, QUI N’EST l*AS ENTIÈREMENT LIRRE.

53. Cas d’un point fixe. — Si l’on prend le point fixe pour origine, les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites par la résistance de ce point. Or, des couples appliqués à un système qui renferme un point fixe doivent se faire équilibre comme si le corps était entièrement libre; . car, s’ils donnaient un couple résultant différent de zéro, on pourrait le transporter de manière qu’une de ses forces passât par le point fixe, qui la détruirait: il resterait donc uue force qui ne passerait pas par le point fixe , et mettrait ce système en mouvement. Les conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre du système seront donc ,

2(/Z — sY) = o, Z(zX — xZ) = o, 2(*Y-.^X) = o. * / '

Les couples se détruisant indépendamment du point fixe, n’exercent aucun effort sur lui , et ne tendent qu’à rompre le système. Le point Gxe n’est donc sollicité que par la résultante des forces 2X, S Y, S Z ; cette résultante est •

rOliaS DK MKCANÏOUF..

égale cl opposée à la force que développe ce point pour établir l’équilibre.

Un corps qui peut tourner librement autour d’un point fixe, constitue la machine que l’on nomme levier; le point fixe se nomme point d’appui. On voit donc que l’équilibre du levier exige que les couples qui naissent du transport de toutes les forces parallèlement à elles-mêmes au point d'appui , se détruisent d'eux-mêmes. S’il n’y a que deux forces , il faut alors qu elles soient dans un même plan avec le point d'appui, et que les deux couples qu'elles produisent soient de sens contraires et aient des moments égaux. Ces moments sont aussi les moments des forces par rapport au point d’appui.

La résultante des forces transportées au point d’appui , 'constituant tout ce qui n’est pas détruit par la rigidité seule du corps , ne lest que parle point d'appui et forme ce que l’on appelle la charge de ce point.

Si le levier n’était que posé sur une surface solide sur laquelle il pourrait glisser librement, il faudrait pour l’équilibre que cette résultante fût normale à la surface fixe.

54. Cas d’un axe Jixe. — Si deux points du système sont fixes, tous les points situés sur la droite qui les renferme sont invariables de position , et le corps est dans le même cas que s'il était assujetti à tourner autour d’un axe fixe, dont les points seraient susceptibles d’offrir en tous sens une résistance indéfiuie. Si l’on prend cette droite pour axe des z , les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites, ainsi que les couples qui sont situés dans les deux plans qui passent par l'axe des z , et dont les bras de levier pourraient être transportés sur cet axe même. Il ne reste donc plus que le couple résultant situé dans le plan xj, et qui 11 e saurait être détruit par l’axe fixe. La condition nécessaire et suffisante pour l’équilibre est donc,

l'HF.MItRK ANNIE. — STATIQUE.

dans ce cas ,

ï(xY-/X)=o.

55. Pour couuaitrc les efl'orts exercés sur Taxe fixe , il faut composer les forces qu'il détruit. Les couples situés dans le plan ZX et la force SX se réduisent à une force qui rencontre l’axe, à moins que l’on n’ait ZX = o, auquel cas on aurait un couple seulement : il en est de môme dans le plan ZY. Outre ces efforts appliqués à l’axe, il y a encore la force £Z qui tend à l’entraîner dans le sens où elle est dirigée. L’axe produit donc des forces égales et contraires à celles-ci, puisqu’il les tient en équilibre.

Si deux points seulement du système sont fixes, les 'résistances ne peuvent provenir que des deux points , et l’on devra décomposer les forces qui rencontrent l’axe en d’autres qui passent par ces points , et feront connaître les forces qu’ils produisent pour détruire celles-ci. Quant à la force dirigée suivant la droite qui les joint, elle peut être décomposée d’une infinité de manières en deux antres appliquées à ces points; cl il en serait de même s’il y avait un plus grand nombre de points fixes sur la môme droite. ■

56. On pourrait supposer que le corps eût la liberté de glisser le long de l’axe fixe, et en même temps de tourner autour de lui. Dans ce cas, l’axe détruirait toutes les forces dont la direction lui serait perpendiculaire, et n’en pourrait détruire aucune autre. 11 faudrait donc décomposer chaque force qui rencontre l’axe en deux autres, l’iiuc suivant l’axe, l’autre perpendiculaire. Mais alors il est plus simple de prendre des axes rectangulaires, et les conditions d’équilibre seront exprimées par les deux équations

ï P cos y — o, S P (a- cos 6 — y cos y ) = o.

On connaîtra la résistance de l’axe en composant les couples situés dans les plans ZX , ZY, et les forces dirigées suivant les axes des .r et des > .

5o COURS UE MÉCANIQUE.

Si le côrps lie pouvait <jue glisser sans tourner, l’équation 2 P cos y = o serait suffisante et nécessaire, et le couple situé dans le plan xy ferait connaître la résistance opposée par l’axe à la torsion.

La machine que l’on nomme tour ou treuil, n’est autre chose qu’un corps solide qui a la liberté de tourner sans glisser autour d’un axe fixe. Ce qui précède fait donc connaître la condition d'équilibre de celte machine et la charge que supporte l’axe.

Lorsque les forces sc réduisent à deux, situées dans des plans perpendiculaires à l’axe, la condition d’équilibre consiste en ce que ces forces sont en raison inverse de leur distance à l’axe.

57. Remarque. — Les deux derniers cas particuliers que nous venons de traiter donnent une interprétation, qu’il est bon de connaître, aux six équations de l’équilibre relatives à des axes coordonnés rectangulaires. Si l’on considère trois droites rectangulaires qui sc coupent en un même point, et qu’on fixe l’une quelconque d’entre elles de manière que le corps n’ait que la liberté de glisser le long de cet axe sans tourner, les trois premières équations d’équilibre expriment que les forces données ne permettront aucun de ces trois mouvements. Les trois autres expriment que si le corps avait successivement la liberté de tourner sans glisser autour de chacun des mêmes axes successivement, aucun de ces mouvements ne sera produit par les mêmes forces.

Ces trois dernières équations peuvent être énoncées d’une manière qu’il n’est pas inutile de connaître. Si , par le point d 'application de la force P, on mène un plan perpendiculaire à AZ qui coupe cette ligne en O, et qu’on décompose la force en une force parallèle à cet axe et uuc autre située dansle plan perpendiculaire, la première seca P cos y, et la seconde P sin y sera la résultante des forres P cos a»

l'IU.MlUIK ANNKK. — STATDjUE. 5l

P cos c , pat allèles à AX , AV. Le moment de celle force Q par rapport à O, que l’on appelle aussi le moment de lu force P f>ar rapport à AZ, sera donc la somme algébrique des moments des deux autres, ou

P (x cos " — y cos a).

Ce qui esi le couple relatif à la .force P estimé suivant l’axe des z. D’où l’on voit que les trois dernières équations d'équilibre expriment que les sommes des moments de toutes les forces par rapport à trois axes rectangulaires , sont séparément égales à zéro.

On peut remarquer que la distance du point O à la force Q, n’est autre chose que la distance de O au plan mené par la force P parallèlement à l’axe des s; c’est donc la plus courte distance de la force P à cet axe. De sorte que le moment d’uue force par rapport à un axe est le produit de ' la plus courte distance de ces deux droites par la composante de cette force perpendiculairement à l’ax'e.

Cas où te corps s appuie sur un plan fixe.

5$. On prendra pour plan des x et y celui sur lequel ' le corps s’appuie par un nombre quelconque de points. Ce plan ne peut produire que des forces normales et de même sens, appliquées aux points de contact avec le corps, cl ces forces ont nécessairement une résultante normale égale a leur somme. 11 est donc nécessaire que toutes les forces appliquées au corps aient une résultante parallèle à l’axe des z : d oit résultent les équations

2 P cos a = :o, 2 P cos 6 = 0 , IP(ï cos? — y cos a) = o.

De plus, en composant successivement les forces développées par le plan lixe, on reconnaît facilement que leur résultante ne peut avoir son point d’application en dehors

52 COURS DE MÉC.VNIyUÏ.

du polygone convexe qui renferme tous les points de contact : il est donc nécessaire que la résultante de la force S P cos y et des deux couples situés dans les plans ZX , ZY,

. ait son point d'application dans l’intérieur de ce même polygone et tende à appuyer le corps sur le plan. Réciproquement, si cette condition est remplie, l'équilibre aura lieu, parce que cette résultante pourra toujours être décomposée en forces normales au plan et appliquées aux divers points de contact.

Ces forces devront satisfaire aux trois équations données par la théorie des forces parallèles; elles seront donc indéterminées, s’il y a plus de trois points; elles le seront même dès qu’il y en aura plus de deux en ligne droite. S'ils y sont tous, le point d'application de la résultante devra se trouver sur celte droite; enfin, s’il n’y avait qu’un point de contact, il serait nécessaire qu'il fût situé sur la direction de la résultante.

Conditions pour qu'un sy stème de forces ait une résultante. — Détermination de cette résultante.

59. Pour qu'un système de forces , non en équilibre , soi t réductible à une force unique, il est nécessaire et sullisanl qu'en introduisant une force convenable, on établisse l’équilibre; car le système proposé pourra être remplacé par une force égale et opposée à celle-ci. Or, nous avons vu que tout système de forces appliquées à un corps rigide, pouvait être réduit à une force et un couple; il est donc nécessaire que cette force et celle que l’on introduira détruisent le couple résultant. Or, ces deux forces peuvent toujours se réduire à un couple et une force, et il faut que cette dernière soit zéro; car, sans cela, il faudrait qu’elle fût en équilibre avec le couple résultant des deux autres. Les deux forces doivent donc former un couple qui détruise le couple

piw.uitnt'. uinkc. - — statiqu*.

résultant du système donné.' Il faut donc que la force résultante soit parallèle au plan du couple résultant, et ne soit pas nulle. Et réciproquement, s’il en est ainsi , il existera une force qui formera , avec la force résultante , un couple qui détruira le couple résultant; et, par conséquent, le système proposé sera réductible à une seule force.

(K). Cherchons maintenant à déterminer la résultante totale du système ; et prenons les axes de coordonnées de la manière la plus générale. t

Soient x,, y,, s, les coordonnées de son point d’application , et X,, Y,, Z , ses composantes; il y aura équilibre en introduisant dans le système une force appliquée au même point, ayaul pour composantes

d’où l'on lire , d’après les équations générales de l’équilibre, en représentant par X, Y, Z les sommes des composantes suivant les trois axes,

Z, y, Y,z, = L, X,z, — Z,*, — M , f 1X1 — Xi y , — N ;

et réciproquement , si l’on satisfait à ces équations , il y aura une résultante appliquée au j>oint (x, , y,, z ( ). et ayant pour composantes X,, Y,, Z,. Iles trois premières fout connaître les composantes de la force cherchée, et, par suite, la direction de cette force et son intensité. Les trois autres déterminent les coordonnées de son point d application , et deviennent, en vertu des premières,

Zy, — Y*, = L, Xî, — Zx, = M, Y -r, — Xy, = N.

Or, si on les ajoute après avoir multiplié la première par X, la seconde par Y, et la troisième par Z, on trouve